复杂行程问题解题技巧与范例

复杂行程问题解题技巧与范例设相遇点为C。3.分段与转化：*相遇前：甲乙相向而行，速度比5:4，同时出发到相遇，所用时间相同。*相遇后：甲从C到B，乙从C到A，速度发生改变，甲到达B时，乙离A还有10km。4.方程法：*设元：设出发时甲速为5v，乙速为4v。相遇时所用时间为t。则相遇前甲走的路程AC=5v*t，乙走的路程CB=4v*t。AB总距离S=AC+CB=9v*t。*相遇后速度变化：甲的新速度：5v*(1-20%)=4v乙的新速度：4v*(1+20%)=4.8v*相遇后甲到B地所用时间：甲从C到B的路程是CB=4v*t，速度是4v，所以时间t甲后=4v*t/4v=t。*这段时间内乙所走路程：乙的速度是4.8v，时间是t，所以路程CE=4.8v*t(E为此时乙的位置)。*乙离A地的距离：AC-CE=5v*t-4.8v*t=0.2v*t=10千米。*求解：0.2v*t=10→v*t=50。而AB距离S=9v*t=9*50=450千米。5.验证：将S=450代入，可反推各段路程和时间，验证乙车确实还差10千米，符合题意。点评：本题关键在于抓住相遇前后的速度变化以及时间关系，通过设而不求（v*t作为整体）简化计算。画图能清晰看出相遇前后的路程关系。范例二：涉及分段变速与停留题目：一辆汽车从甲地开往乙地，前两小时按原计划匀速行驶，之后以原计划速度的1.5倍行驶，结果比原计划提前1小时到达乙地。若该车从乙地返回甲地时，前100千米按原计划速度行驶，剩余路程以原计划速度的1.2倍行驶，返回时比去时少用了1小时。求甲、乙两地之间的距离。解题过程：1.审题破题：从甲到乙，前2小时匀速，之后提速1.5倍，提前1小时到。从乙到甲，前100km原速，剩余提速1.2倍，比去时少用1小时。求甲乙距离。2.图示法（简略）：甲--(2h,v)--A--(1.5v,t1)--乙(提前1h)原计划：甲--(v,T)--乙返回：乙--(100km,v)--B--(1.2v,t2)--甲(比去时少1h)3.分段与转化：*去程分析：设原计划速度为v，原计划总时间为T，总距离为S。实际去程：前2小时走了2v，剩余路程S-2v以1.5v速度行驶，用时t1=(S-2v)/(1.5v)。实际总时间=2+t1。根据“提前1小时到达”：T-(2+t1)=1→T=3+t1。原计划：S=v*T=v*(3+t1)。又S=2v+1.5v*t1。联立可得：v*(3+t1)=2v+1.5v*t1→3+t1=2+1.5t1→t1=2小时。则T=3+2=5小时。S=v*5。*返程分析：返程总时间=去程实际时间-1=(2+2)-1=3小时。返程：前100km以速度v行驶，用时t前=100/v。剩余路程S-100以1.2v行驶，用时t后=(S-100)/(1.2v)。总返程时间t前+t后=3→100/v+(S-100)/(1.2v)=3。因为S=5v，代入上式：100/v+(5v-100)/(1.2v)=3。两边同乘1.2v：100*1.2+5v-100=3*1.2v→120+5v-100=3.6v→20+5v=3.6v→1.4v=20→v=20/1.4=100/7(千米/小时)。则S=5v=500/7≈71.42？显然不对，这里计算出错了。（重新检查返程时间表述：“返回时比去时少用了1小时”，去时“实际”用时是2+2=4小时，所以返程用时应为4-1=3小时。前面正确。代入S=5v：）100/v+(5v-100)/(1.2v)=3。通分，分子分母同乘v：100+(5v-100)/1.2=3v。两边同乘1.2：120+5v-100=3.6v→20+5v=3.6v→1.4v=-20？出现负数，显然是“返回时比去时少用了1小时”理解错误！应该是比“原计划”去时少用1小时？还是比“实际”去时少用1小时？题目说“返回时比去时少用了1小时”，“去时”应指“去程实际用时”。但这里计算出负数，说明之前“去程实际用时”的计算可能与“原计划”的关系有误。（回到去程）“结果比原计划提前1小时到达乙地”，原计划时间T，实际去程时间为T-1。相遇前用时t，相遇后甲用时t甲后。之前设相遇前时间为t，AC=5vt,CB=4vt。甲后速度4v，所以t甲后=CB/4v=4vt/4v=t。所以实际去程总时间t总去=t+t=2t。原计划时间T=t总去+1=2t+1。原计划路程S=v甲原*T=5v*(2t+1)。同时S=AC+CB=9vt。所以5v*(2t+1)=9vt→10vt+5v=9vt→vt+5v=0→v(t+5)=0，这不可能。啊！我之前范例一的设元在这里惯性代入了！范例一中是甲乙速度比5:4，这里是同一辆车，“原计划速度”是一个整体！我混淆了！（修正去程分析，这是同一辆车，没有甲乙速度比！）去程修正：设原计划速度为v，原计划总时间为T，则AB距离S=v*T。实际去程：前2小时以速度v行驶，路程为2v。之后速度变为1.5v，行驶剩余路程(S-2v)，用时t后=(S-2v)/(1.5v)。实际总时间t实去=2+t后。根据“比原计划提前1小时到达”：T-t实去=1→t实去=T-1。所以：2+(S-2v)/(1.5v)=T-1。又因为S=v*T，代入上式：2+(vT-2v)/(1.5v)=T-1→2+(T-2)/1.5=T-1。两边同乘1.5：3+T-2=1.5(T-1)→T+1=1.5T-1.5→0.5T=2.5→T=5小时。则S=5v。t实去=5-1=4小时。t后=4-2=2小时。验证(S-2v)/(1.5v)=(5v-2v)/(1.5v)=3v/(1.5v)=2小时，正确。返程重新分析：返回时比去时（实际去时4小时）少用1小时，所以返程时间t实返=4-1=3小时。返程：前100km以速度v行驶，用时t1=100/v。剩余路程S-100=5v-100，以1.2v行驶，用时t2=(5v-100)/(1.2v)。t1+t2=3→100/v+(5v-100)/(1.2v)=3。两边同乘1.2v：100*1.2+5v-100=3.6v→1