2026届湖南天壹名校联盟高三下学期3月质检数学试卷+答案

12345【解析】由题意可得A＝{2,3,4},B故∁RB,故选C．【解析】对于甲,由lnx＞0得x∈(1,+∞),对于乙,由lnx≥0得x∈[1,+∞),可知甲是乙的充分不必要条件,故选A．【解析】由题意可得x(a.b),即(x(a.b)＝(x(x+2)=0,解得x或-2,故选D．【解析】因为BM＞AM,所以点M在y轴左侧,如图,作MN⊥x轴,垂足为N．由tan∠BAM,得sin∠BAM,所以MN＝AMsin∠BAM=8,即 yM=8,则ANBN所以AB=2a=18,即a=9,则xM=-9+6=-3,故选B．【解析】先安排队头有A种排法,再安排队尾有A种排法,然后安排4名女同学有A种排法,最后在4名女同学中安排剩下男同学有A种排法,根据分步乘法计数原理可知,不同的排法种数为AAAA=432,故选C．cos于是sinsin2θ+cos,故选D．【解析】注意到x∈[n-1,n)时,f(x)≤0,由周期性可知在定义域上f(x)≤0,而当x∈[n-1,n)时,若n≥2,则f在[n-1,n)上单调递增,注意到f(n-1)(n-1),可知f(x)在[n-1,n)上的值域为[－(n-1),0),于是当k∈[-1,0)时,y＝kx与y＝f(x)在[n-1,n)上有交点,故在(0,+∞)上必有无穷个交点,符合要求．当k<-1时,x＞0时有kx＜f(x),x<0时kx＞0>f(x),故交点个数有限．当k=0时,注意到f(－n)＝f(－n+1)=…=f(0)=0,可知f(x)有无穷个零点,符合要求．当【高三数学试题参考答案第1页(共5页)】k＞0时,注意到x∈[0,1)时f＝x＞-1,故x时kx<-1<f故在(-∞,0)上的交点个数有限,而x＞0时kx＞0>f(x),可得交点个数有限．综上,由题意知k∈[-1,0],故选A．【解析】对于A,f(x)的最小正周期T=π,可得A错误;对于B选项,显然f(x)在区间上有定义,显然其在连续定义域上单调递增,故B正确;对于C,f＝tan＝tantan-f(x),可得曲线y＝f(x)关于点中心对称,故C正确;对于D,由单调性和周期性可知f(x)=3在(0,π]和(π,2π]上各只有一个解,矛盾,故D错误,故选BC．x2xx),(1,+∞)上单调递减,在区间(-1,1)上单调递增,所以x=-1,x=1分别为f(x)的极小值点和极大值点,则f(x)有两个极值点,故A正确;因为0<x<1,所以0<x＜x<1,根据f(x)在区间(0,1)上单调递增,所以f(x)＞f(x),故B错误;f(x)极小值＝f(-1)=-4<0,f(x)极大值＝f(1)=0,f(-3)=16>0,结合f(x)的单调性,作出f(x)的大致图象,由右图可知,f(x)有两个零点,故C错误;结合图象可知不等式f(x)<0的解集为{xx＞-2,且x≠1},故D正确;故选AD．【解析】由双曲线定义及点P在右支上可知,|AP|－|PB|=2a,又已知|AP|=2|PB|,解得|PB|=2a,|AP|=4a,由三角形三边关系得4a-2a<2c<4a+2a,化简得a＜c<3a,故双曲线离心率e∈(1,3),在△APB中,由余弦定理得cos∠PBAcos∠APB5a2c2,对于选项A,若△APB为锐角三角形,则必须满足cos∠PBA＞0且cos∠APB＞0,解得3<e<5,故A正确;对于选项B,若△APB为钝角三角形,则满足cos∠PBA<0或cos∠APB<0,解得1<e<3或5<e<3,故e＞5不一定成立,故B错误;对于选项C,cos∠PAB,因为e∈(1,3),由基本不等式得当且仅当e=3时等号成立,此时cos∠PAB取得最小值,即∠PAB取得最大值,将e=3代入得cos∠PBA=0,即∠PBA=90°,此时△APB为直角三角形,故C正确;对于选项D,△APB的面积SAP||PB|sin∠APB=4a2sin∠APB,当∠APB=90°,即e=5时面积取得最大值4a2,但当∠PBA=90°,即e=3时△APB也为直角三角形,此时面积为23a2并非最大值,故D错误;故AC．【解析】由等差数列的定义可得=2n-1,故an＝(2n-1).2n,故a3=5×23=40,故答案为40.【解析】设材料乙的透射光光强为I,A甲＝lglglg2+lg,A乙＝lg,于是A甲－A乙＝lg2,故2答案为lg2.故X~B,P(X＝k)＝Ck6-k．P(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3),P(X=4),P(X=5),P(X=6),可知P(X＝k)的最大值为P(X=4)= ,故答案为．15.【解析】(1)平均每年的研发投入为…平均每年的营业额为+60)=650.…4分(2i1-(－)(3)由题意知,回归直线过样本中心点(12,650),即650=12b+170,解得b=40.………11分所以回归方程为=40x+170.将x=13.5代入回归方程,得=13.5×40+170=710,故预测该公司今年的于是,而A1E1不与CE2共面,可得CE2∥A1E1,…3分由A1E1⊂平面A1C1E1,CE2⊄平面A1C1E1,可得CE2∥平面A1C1E1.……4分 →→→(2)以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,AD的方向为y轴正方向,AA1的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系A－xyz,…………………5分不妨设AB=1,AA1=λ>0,则A(0,0,0),C(1,1,0),E1(1,0,),A1(0,0,λ),C1(1,1,λ),＝A1=z2)z可取n2=(-2)记平面ACE1与平面A1C1E1夹角为θ,则cos…………12分17.【解析】(1)抛物线C:x2=2py(p＞0)的准线为y,由点T(t,-1)在C的准线上,得p=2……所以抛物线C的方程为x2=4y．…………………(2)由(1)知,抛物线C:yx2,设A(x1,x),B(x2,x),求导得y′x,……x2.2整理得x-2tx1-4=0同理x-2tx2-4=0x2.2因此x1,x2为方程x2-2tx-4=0的两个根,x1x2=-4,而直线TB斜率kTB＝2,则kTA.kTB＝1=-1,所以TA⊥TB．………………………11分(3)若点A(x1,y1),B(x2,y2),即x=4y1,x=4y2,则由(2)知,4y1-2tx1-4=0,4y2-2tx2-4=0,因此点A,B的坐标满足方程4y-2tx-4=0,即2tx-4y+4=0……………13分则直线AB的方程为2tx-4y+4=0,其斜率为k,所以当t=1时,直线AB的斜率为．………15分18.【解析】(1)由题意可得f′(x)=3x2exsinx＋3exsinx＋x3excosx＝x2ex(xsinx＋xcosx+3sinx),…3分故曲线y＝f(x)在x=0处的切线斜率为f(0)=0.……………………4分(2)(i)即极值点满足xn(sinxn＋cosxn)+3sinxn=0,……………………5分显然sinxn≠7分即<-1,可得-1<tanxn<0,…………8分(ii)注意到xn于是fexnsinxn=题中不等式等价于而(sinxn＋cosxn)3=cos3xn(tanxn+1)3,显然tanxn+1>0,可知不等式等价于(exn－exn)cosxn<0,…………………13分设g(x)＝ex－ex,g′(x)＝ex－e,x∈(-∞,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;x∈(1,+∞)时,g′(x)＞0,于是g(x)≥g(1)=0,而xn≠1,可得exn－exn＞0,故cosxn<0,………16分结合-1<tanxn<0可得xn为第二象限角．………………17分19.【解析】(1)由题意可知,三角形OPnPn+1为直角三角形,且∠OPn+1Pn=90°.在Rt△OPnPn+1中,|OPn+1|=|OPn|cosθ,又因为|OP1|=1,所以数列{|OPn|}是以1为首项,cosθ为公比的等比数列,则|OPn|=-1=cosn-1在Rt△OPnPn+1中,|PnPn+1|＝|OPn|sinθ=sinθ.cosn-1θ,所以数列{|PnPn+1|}是以sinθ为首项,cosθ为公比的等比数列,其前n项和Sn为Sn………………4分(2)存在这样的实数λ.设射线l1,l2,l3方向上的单位向量分别为1,2,3,由(1)可知|OPn|＝cosn-1θ.对于向量P1,有P1=O－O＝|OP2|2-|OP1|1=cosθ2-1.………………6分对于向量,由于点列Pn所在射线按l1,l2,l3顺序循环,故P4在l1上,P5在l2上,则由(1),代入可得P4=cos4θ2-cos3θ1=cos3θ(cosθ2-1),对比可得P4=cos因此存在实记a．由向量模长公式可得an＝|P1|2=|O－O|2=|O|2+|2-2O.O,|=1,且由(1)知cosn-1θ,故an＝cos2(n-1)θ+1-2O.O．…12分当n=3k-2(k∈N∗)时,此时Pn位于射线l1上,O同向．O.O＝|OPn|.|OP1|.cos0°=,则an＝cos2(n-1)θ+1-2cosn-1θ=(1-cosn-1θ)2.当n≠3k-2(k∈N∗)时,此时Pn位于射线l2或l3上．由题意知,射线l1与l2、l3的夹角均为θ.O.O＝|OPn|.|OP1|.cosθ=cosn-1θ.cosθ=cosnθ,则an=1+cos2n-2θ-2cosnθ.综上所述,|P1|2=214分下面证明:当n≥2时,点Pn始终在以P1为球心,1为半径的球内,即证明对于任意n≥2,都有当n=3k-2(k∈N∗)且n≥2时,|P1|2=(1-cosn-1θ)2,因为,所以0<