2025-2026学年浙江省衢州市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年浙江省衢州市高二（上）期末数学试卷考试注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.1．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．2．已知数列为等差数列，，，则（）A．3 B．6 C．9 D．123．函数在点处的切线方程为（）A． B． C． D．4．已知向量满足，，，则（）A． B．2 C． D．45．在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（）A． B． C． D．6．已知奇函数的定义域为，当时，，则（）A．（1）（2） B．（1）（2） C．（2） D．（1）7．已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，为数列的前项和，对，，则（）A． B． C． D．8．已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，当时，△的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）过抛物线焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（）A．抛物线的准线方程为 B．当的倾斜角为时， C．当垂直于轴时，弦长最小 D．（多选）10．（6分）若函数，则（）A．只有一个零点 B．为的极大值点 C．当时， D．当时，（多选）11．（6分）已知数列，满足，，，为数列的前项和，则（）A． B．数列为等比数列 C． D．三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。12．已知数列满足，，，则．13．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与该椭圆交于，两点，若，则．14．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为．四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知直线，圆．（1）求证：直线过定点；（2）若直线与圆交于，两点，求弦长的取值范围，并求取到最值时对应的值．16．（15分）如图，在三棱锥中，，，．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17．（15分）已知数列的前项和为．（1）若，（ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ）数列满足，，求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1，公差为的等差数列，且，，求证：．18．（17分）设函数．（1）当时，求的单调区间；（2）已知的导函数为，若有两个零点，求实数的取值范围；（3）若有解，求实数的取值范围．19．（17分）已知抛物线，过点的直线交于，，，两点，点在线段上．（1）求证：；（2）若点不在直线上，斜率为的直线分别交直线，，于，，三点，（ⅰ）求证：点为线段的中点；（ⅱ）当直线经过点时，记△的面积为，△的面积为，求的最大值．

参考答案一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分1．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．解：根据题意，直线，即，其斜率，其倾斜角为；故选：．2．已知数列为等差数列，，，则（）A．3 B．6 C．9 D．12解：因为是等差数列，所以，所以．故选：．3．函数在点处的切线方程为（）A． B． C． D．解：因为，所以，所以在点处的切线方程为，即．故选：．4．已知向量满足，，，则（）A． B．2 C． D．4解：根据题意可知，，由得，，得，则，得．故选：．5．在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（）A． B． C． D．解：因为，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，所以，所以点的轨迹为以，为焦点的椭圆，设其方程为，，所以，因为，为轴上关于原点对称的两点，所以椭圆的焦点在轴上，设其方程为，，，，则，将代入方程得，因为，所以，解得，故椭圆方程为．故选：．6．已知奇函数的定义域为，当时，，则（）A．（1）（2） B．（1）（2） C．（2） D．（1）解：令，当时，，所以，在单调递增，定义域为，，，且，所以是偶函数，对于、：因为（1）（2），即，所以（1）（2），、错误；对于：因为（1）（2），即，所以（2），正确；对于：因为（1）（2），即，所以（1），错误．故选：．7．已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，为数列的前项和，对，，则（）A． B． C． D．解：数列是首项为2，公比为2的等比数列，为数列的前项和，，整理得，对，，对于、，由指数函数性质可知，，单调递减，当时，，故、均错误；对于、，当时，，，，故错误，正确．故选：．8．已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，当时，△的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．解：因为双曲线的左右焦点分别为，，且为双曲线右支上一点，设，，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，因为△的周长为，且△的内切圆半径为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，因为双曲线的离心率为，所以．故选：．二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）过抛物线焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（）A．抛物线的准线方程为 B．当的倾斜角为时， C．当垂直于轴时，弦长最小 D．解：对于选项：因为抛物线，所以焦点，准线方程为，故选项正确；对于选项：如图根据抛物线的定义可知：，，由，故选项正确；对于选项：设，则，同理可得：，所以，此时取到最小值，故选项正确；对于选项，故选项错误．故选：．（多选）10．（6分）若函数，则（）A．只有一个零点 B．为的极大值点 C．当时， D．当时，解：由可得或，故函数有两个零点，因此选项错误；，由可得，由可得或，因此函数的减区间为、，增区间为，故为函数的极大值点，因此选项正确；当时，，，则，因此选项正确；因为函数在上单调递减，且当时，，因为，由不等式的性质可得，即，故，因此选项错误．故选：．（多选）11．（6分）已知数列，满足，，，为数列的前项和，则（）A． B．数列为等比数列 C． D．解：选项，因为，，，所以，即，，，所以，，即，故正确；选项，由可得，即，则，又，所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列，故正确；选项，由选项可知，则，因为，所以，令，则，所以，故错误；选项，，因为，所以，由，，可得，则，，所以，故正确．故选：．三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。12．已知数列满足，，，则0．解：因为，，所以，，，．所以数列是周期为2的周期数列，所以．故答案为：0．13．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与该椭圆交于，两点，若，则．解：因为椭圆，可得，得，由椭圆的定义可得则，而，得，则点为椭圆的短轴的一个端点，不妨设点为上顶点，即，则直线的方程为：，即，由，整理可得，得或，得．故答案为：．14．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为，．解：不等式恒成立，则，，令，则，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，当时，取得极大值也是最大值，又时，，时，，所以，，又，所以原不等式可化为，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增．又（1），所以要使对任意成立，则区间不能取得使的值，由函数性质可知当时会出现负值，故须满足，解得，又，所以，即实数的取值范围为，，故答案为：，．四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知直线，圆．（1）求证：直线过定点；（2）若直线与圆交于，两点，求弦长的取值范围，并求取到最值时对应的值．【解答】（1）证明：将直线；可化为，联立，解得，所以直线过定点；（2）解：将圆整理可得：，可知圆心为，半径为．直线的斜率为，设定点为，，点在圆内，当直线过圆心时，弦长最长，即弦长的最大值为，此时直线的斜率，所以，当直线时，此时圆心到直线的距离，此时弦长最短，且最小值为，此时直线的斜率，所以，故弦长的取值范围为，时弦长最大，时弦长最小．16．（15分）如图，在三棱锥中，，，．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取中点，连接，，，，，又，，平面直线平面，平面，；（2）解：，，，且，又，，又，，，如图建立空间直角坐标系，则，，，，可得，，设平面的法向量，则，即，令，解得平面的一个法向量，可得，，，直线与平面所成角的正弦值为，．直线与平面所成角的正弦值为．17．（15分）已知数列的前项和为．（1）若，（ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ）数列满足，，求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1，公差为的等差数列，且，，求证：．解：（1）（ⅰ）因为，所以令，，解得，当，，所以，即，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以；（ⅱ）因为，所以，所以；（2）证明：因为，所以数列是常数列，所以，，所以，则，因为，故．18．（17分）设函数．（1）当时，求的单调区间；（2）已知的导函数为，若有两个零点，求实数的取值范围；（3）若有解，求实数的取值范围．解：（1）当时，，其定义域为，求导得，令，求导得，由，得；由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，则（1），所以在上单调递增，无减区间．（2）依题意，，由（1）得在上单调递减，在上单调递增，（1），当，时，，则当有两个零点时，（1），解得，所以实数的取值范围是．（3）不等式有解，即有解，令，求导得，由，得；由，得函数在上单调递增，在上单调递减，则（3），因此，解得，所以实数的取值范围是，．19．（17分）已知抛物线，过点的直线交于，，，两点，点在线段上．（1）求证：；（2）若点不在直线上，斜率为的直线分别交直线，，