2026年山东省日照市高考数学一模试卷（含解析）

2026年山东省日照市高考数学一模试卷考试注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．设复数满足，则（）A．1 B． C．2 D．3．若向量，记，则（）A． B． C． D．4．已知空间中三条直线，，与平面分别交于不同的三点，，，则“，，三点共线”是“直线，，共面”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知，，则（）A． B． C． D．6．某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（）A．120种 B．144种 C．240种 D．288种7．已知正方体的棱长为，圆锥在正方体内，且垂直于圆锥的底面，则该圆锥底面半径的最大值为（）A． B．1 C． D．28．作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习．在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式．设两组数据分别为，，，和，，，，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数．若，，则（1）的最小值为（）A． B．1 C．2 D．3二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列说法正确的是（）A．数据1，2，3，5，7，8的分位数为2 B．若随机变量，且，则 C．通过样本数据得到的回归直线一定经过点 D．在独立性检验中，的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小（多选）10．（6分）已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，下列说法正确的有（）A．数据，，，，的平均数是 B．数据，，，，的平均数是 C．若，，则数据，，，，的中位数大于数据，，，，的中位数 D．若，，则数据，，，，的平均数大于数据，，，，的平均数（多选）11．（6分）对于函数，下列说法正确的是（）A．曲线关于直线对称 B． C． D．记的最小值为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知数列为公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则．13．已知椭圆与抛物线有相同的焦点，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为．14．已知集合，2，3，，，从集合中随机抽取一个数记为，再从，，，中随机抽取一个数记为，则．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1，2，3，4，5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：12345频率0.10.45（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求实数，，的值；（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为，，，等级系数为5的2件日用品记为，，现从，，，，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．16．（15分）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于，两点．当直线的倾斜角为时，△是等边三角形．（1）求双曲线的标准方程；（2）求证：为定值．17．（15分）在△中，角，，的对边分别为，，，，且．（1）求的大小；（2）如图所示，为△外一点，，，求△外接圆半径的长．18．（17分）已知四棱锥的底面为平行四边形，，分别是，的中点，二面角为直二面角．（1）证明：；（2）设直线与平面所成角为，且，求的取值范围；（3）与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．已知点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线，如图所示，记四面体的内切球半径为，证明：．19．（17分）设函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递增，求的最大值；（3）已知数列满足：①；②且．设，求证：．注：．

参考答案一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合，，则（）A． B． C． D．解：由得，则，集合，则．故选：．2．设复数满足，则（）A．1 B． C．2 D．解：复数满足，则，故．故选：．3．若向量，记，则（）A． B． C． D．解：因为，所以，所以．故选：．4．已知空间中三条直线，，与平面分别交于不同的三点，，，则“，，三点共线”是“直线，，共面”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：如图，空间中三条直线，，与平面分别交于不同的三点，，，且，，三点共线，但直线，，不共面，充分性不成立；若直线，，共面，设其为，则，，均在平面内，也在平面内，则，，在平面与的交线上，，，三点共线，必要性成立；“，，三点共线”是“直线，，共面”的必要不充分条件．故选：．5．已知，，则（）A． B． C． D．解：由可得，对于，由于，，故错误，对于，，由于，，故，，故，则，故错误，对于，由于，故，故错误，对于，，由于，得，故．故选：．6．某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（）A．120种 B．144种 C．240种 D．288种解：已知食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出两天吃同一种套餐，然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中，则不同的方案共有种．故选：．7．已知正方体的棱长为，圆锥在正方体内，且垂直于圆锥的底面，则该圆锥底面半径的最大值为（）A． B．1 C． D．2解：如图所示，取，，，，，的中点，记为，，，，，，易知六边形为正六边形，且平面，又因为垂直于圆锥的底面，所以当圆锥底面内切于正六边形时，圆锥的底面积最大，此时半径也达到最大值，且的中点在正六边形的中心，设此时圆锥的半径为，因为正方体的棱长为，可得，所以，所以．故选：．8．作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习．在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式．设两组数据分别为，，，和，，，，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数．若，，则（1）的最小值为（）A． B．1 C．2 D．3解：由题知，（1）．令，则可以表示为数轴上所对应的点到数轴上与所对应的点的距离的和．由数轴上两点间距离的性质可知，当位于和之间时，取得最小值，即，令，则，令，解得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以在处取得极小值也是最小值，（1），所以，，即，，所以（1）的最小值为1．故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列说法正确的是（）A．数据1，2，3，5，7，8的分位数为2 B．若随机变量，且，则 C．通过样本数据得到的回归直线一定经过点 D．在独立性检验中，的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小解：对于，因为，所以数据的分位数为2，故正确；对于，由正态分布的对称性可知，，即，解得，故错误；对于，由回归方程的性质可知直线恒过样本中心，故正确；对于，在独立性检验中，的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，故错误．故选：．（多选）10．（6分）已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，下列说法正确的有（）A．数据，，，，的平均数是 B．数据，，，，的平均数是 C．若，，则数据，，，，的中位数大于数据，，，，的中位数 D．若，，则数据，，，，的平均数大于数据，，，，的平均数解：是各项均为正数的等差数列，且公差，设的前项和为，则，所以数据，，，，的平均数是，故正确；取为2，4，8，此时平均数为，故错误；，，，，的中位数是，，，，，的中位数，而，故正确；数列的前项和为，所以数列的前项和的平均数为，数列是各项均为正数，且公比的等比数列，所以，所以的前项和，所以数列的前项和的平均数小于，由选项知，，所以数列的前项和的平均数比的前项和的平均数大，故正确．故选：．（多选）11．（6分）对于函数，下列说法正确的是（）A．曲线关于直线对称 B． C． D．记的最小值为，则解：对于：由已知，令，，则，，当时，，即曲线关于直线对称，因此正确；对于，所以由，，得，因此错误；对于：当时，，又恒成立，即，且，，则，因此正确；对于时，的最小值为，时，设，则，，，则，，又，易知函数在，上单调递减，且当时，，即当时，，，即，；当时，，，即，；即函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数，即，时也符合上式，所以，令，，，，所以在，上单调递减，且，所以，所以，因此正确．故答案为：．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知数列为公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则4．解：由数列为公差为2的等差数列，且，，成等比数列，得，即，解得．故答案为：4．13．已知椭圆与抛物线有相同的焦点，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为．解：已知椭圆与抛物线有相同的焦点，由焦点，得，所以抛物线的方程为，准线为，设点的横坐标为，根据抛物线的定义可得：，得，代入抛物线方程可得，设椭圆的左焦点为，有，故，可得椭圆的离心率为．故答案为：．14．已知集合，2，3，，，从集合中随机抽取一个数记为，再从，，，中随机抽取一个数记为，则．解：由题意可知，随机变量的取值为1，2，，，由全概率公式有：，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1，2，3，4，5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：12345频率0.10.45（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求实数，，的值；（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为，，，等级系数为5的2件日用品记为，，现从，，，，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．解：（1）根据题意，若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，则，，则；（2）根据题意，从，，，，这5件日用品中任取两件，则，，，，，，，，，，其中等级系数恰好相等的种，故要求概率．16．（15分）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于，两点．当直线的倾斜角为时，△是等边三角形．（1）求双曲线的标准方程；（2）求证：为定值．解：（1）设双曲线的焦距为，则可得，当的倾斜角为时，不妨设，，如下图所示：将点代入，可得，又，解得，由△是等边三角形可得，即，联立解得或（舍，所以可得，故双曲线的标准方程为．（2）证明：由（1）得，即，分两种情况讨论：①当直线斜率不存在时，此时的方程为，代入双曲线得，即过，则，②当直线斜率存在时，设直线，不妨设，，，，联立直线和双曲线方程，消去得．则，计算可得，代入韦达定理，结果化简得：，因此，即为定值．17．（15分）在△中，角，，的对边分别为，，，，且．（1）求的大小；（2）如图所示，为△外一点，，，求△外接圆半径的长．解：（1）在△中，，，结合正弦定理，可得，因为△中，，所以，化简得，结合△中，，可得，即，所以，即，结合为三角形的内角，可得，；（2）在△中，由正弦定理得，结合，可得，在△中，，，在△中，，所以，可得，由余弦定理得，即，所以，因为和均为锐角，正弦值为正，所以，即，解得，可得，在△中，由正弦定理得，解得，即△的外接圆半径为．18．（17分）已知四棱锥的底面为平行四边形，，分别是，的中点，二面角为直二面角．（1）证明：；（2）设直线与平面所成角为，且，求的取值范围；（3）与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．已知点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线，如图所示，记四面体的内切球半径为，证明：．【解答】（1）证明：由题意知，又因为，是的中点，所以，又因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：在平面内作的垂线作为轴，所以轴，如图以为坐标原点，分别以，为，轴正