高一数学寒假讲义第六讲 对数运算与对数函数（解析版）

第六讲对数运算与对数函数【知识梳理】一、对数与对数运算1．对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）对数式与指数式的互化：.（3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.2．对数的性质（1）1的对数等于0，即；（2）底数的对数等于1，即；（3）对数恒等式.3．对数的运算性质如果，那么：（1）；（2）；（3）.4．对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式的变形及推广：（1）；（2）；二、对数函数及其性质1．对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：图象定义域值域性质过定点，即时，在上是减函数在上是增函数当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．3．对数函数与指数函数的关系指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.题型01指对数的互化及对数运算【解题思路】根据定义进行指数与对数的互化，利用对数的性质和运算性质进行对数运算【例1】在科技史上，对数的发明大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数对估算“天文数字”具有独特优势.已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指对互化及对数的运算即可得出答案.【详解】由于，设，则，所以，即.故选：C．【例2】（1）;（2）.【答案】（1）3；（2）【分析】（1）根据对数运算公式求解.（2）根据对数运算与指数运算公式求解.【详解】（1）.（2）.【变式1-1】已知，，则．（用数字作答）【答案】6【分析】将对数式化为指数式，利用指数幂的运算法则计算出结果.【详解】因为，所以，故.故答案为：6【变式1-2】.【答案】13【分析】利用指对数运算律计算.【详解】原式.故答案为：13.【变式1-3】（1）若，，求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据指对互化得出，，进而根据指数幂的运算性质，化简求值即可得出答案；（2）根据指数幂的运算性质，以及对数的运算性质、对数恒等式，化简求值即可得出答案.【详解】（1）由，，可得，，所以，，所以.（2）.题型02换底公式的运用【解题思路】（1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．【例3】化简的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用换底公式计算.【详解】=故选：D【例4】已知，，则用，表示.【答案】【分析】根据换底公式即可求解.【详解】，故答案为：【变式2-1】记，那么．【答案】【分析】利用对数的换底公式计算可得答案.【详解】因为，所以.故答案为：1.【变式2-2】若，则.【答案】【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确运算，即可求解.【详解】由对数的运算性质，可得，可得，所以.故答案为：.【变式2-3】求下列各式的值.(1)(2)已知试用表示【答案】(1)(2)【分析】（1）利用对数的公式进行化简求值即可；（2）利用换底公式求解即可.【详解】（1）.（2）,题型03识别对数(型)函数图象及定点问题【解题思路】处理对数函数图象问题的3个策略：（1）抓住特殊点：对数函数的图象过定点，求对数型函数图象所过的定点时，只要令真数为1，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点．（2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．（3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势．【例5】函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据对数函数的性质判断．【详解】，当或时，，，排除AD，当时，，，排除C，故选：B．【例6】已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为.【答案】【分析】先根据函数过定点求出；再根据分式不等式的解法即可求解.【详解】因为函数的图象恒过定点，所以.则不等式为，等价于，解得：.所以不等式的解集为.故答案为：【变式3-1】已知，则函数与函数的图象可能是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】根据条件可得，化简可知两函数底数相同，利用单调性相同求解即可.【详解】因为，所以，所以，故与函数单调性相同，因为①③④中函数单调性不同，②中函数单调性相同，故①③④错误，②正确.故选：B【变式3-2】函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函数的奇偶性及其在上的增长速度，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，当时，，，当时，，，故对任意的，，所以，函数为偶函数，排除BD选项；当时，，则函数在的增长速度快于函数的增长速度，排除C选项.故选：A.【变式3-3】（多选）已知函数（且）恒过定点，则函数的图象不经过不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】CD【分析】确定函数过定点，得到，根据函数的平移得到答案.【详解】函数，当时，，故函数过定点，故，，函数可以由向上平移2个单位得到，不经过第三象限和第四象限.故选：CD题型04根据对数型函数图象求参数【例7】已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是（

）A．m>0，0<n<1 B．m<0，0<n<1C．m>0，n>1 D．m<0，n>1【答案】C【分析】与对数函数的图象与性质比较可得．【详解】解析：由题中图象知函数为增函数，故n>1．又当x＝1时，f(x)＝m>0，故m>0．故选：C．【例8】如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为（用“＞”号连接）．

【答案】【分析】由对数函数的图象与性质判断【详解】由题图可知，，，．直线与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为，，，，故答案为：【变式4-1】若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】作出函数的大致图象，结合图象可得，即可得解.【详解】函数的图象关于对称，其定义域为，作出函数的大致图象如图所示，由图可得，要使函数的图象不过第四象限，则，即，解得，所以实数a的取值范围为.故答案为：.【变式4-2】已知函数，若且，则的取值范围为.【答案】【分析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.【详解】画出的图象如图：∵，且，∴且，，∴，即，∴，，由图象得在上为减函数，∴，∴的取值范围是.故答案为：.【变式4-3】已知函数且关于的方程有四个不等实根，写出一个满足条件的值．【答案】（在之间都可以）.【分析】画出函数的图象，结合图象可得答案.【详解】如图，当时，，当且仅当时等号成立，当时，，要使方程有四个不等实根，只需使即可，故答案为：（在之间都可以）.题型05求对数(型)函数的值域【解题思路】（1）求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．（2）形如型的函数值域求解常用换元法、配方法等解题技巧．【例9】设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的单调性解集合A，根据对数函数的单调性解集合B，结合补集的定义和运算即可求解.【详解】由，得，所以.故选：C【例10】函数的最小值为．【答案】/【分析】利用对数的运算法则与换元法得到，结合配方法即可得解.【详解】因为，令，则，则，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.【变式5-1】若定义运算，则函数的值域是.【答案】【分析】根据给定的定义，求出函数的解析式，再分段求出值域作答.【详解】依题意，由，得，即，解得，由解得，因此，显然函数在上单调递减，取值集合为，在上单调递增，取值集合是，所以函数的值域为.故答案为：【变式5-2】已知（且）的图象过点.(1)求的值；(2)当时，求的值域．(3)若，判断的奇偶性.【答案】(1)(2)(3)奇函数【分析】（1）把点的坐标代入函数的解析式求得即可；（2）根据对数函数的性质可求得函数在上的值域；（3）求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义验证可得出结论.【详解】（1）解：∵（且）的图象过点，则，，又且，解得.（2）解：由（1）可知，则在上单调递增，当时，，，所以，函数在上的值域为.（3）解：，则，可得，即函数的定义域为，，故函数为奇函数.【变式5-3】已知函数.(1)求方程的根；(2)求在上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用一元二次方程的解法，结合对数的定义，可得答案.（2）根据复合函数的性质，结合对数函数、指数函数、二次函数的单调性，可得答案.【详解】（1）由，可得，整理可得，分解因式可得，由，解得，则.（2）由，根据函数在上单调递增，则，令，，根据二次函数的性质，则，由函数在上单调递增，则.题型06对数(型)函数的单调性问题【解题思路】（1）求形如的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由，先求定义域．（2）求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求解；②借助函数的性质，研究函数和在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定的单调性．【例11】下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数奇偶性的定义及基本函数的单调性逐项判定即可.【详解】因为的定义域为，关于原点对称，又符合，所以函数为偶函数，当时，函数，单调递增，故A正确；因为函数的定义域为，不关于原点对称，故不具有奇偶性，故B错误；因为的定义域为,且满足，故函数为偶函数，又函数为开口向下，对称轴为的二次函数，故函数在上单调递减，故C错误；因为函数的定义域为，关于原点对称，且满足，故函数为奇函数，故D错误，故选：A.【例12】设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由解得方程的解，利用二次函数、对数函数和复合函数的单调性可得，建立不等式组，解之即可求解.【详解】由题意知，令，解得，所以，对于函数，对称轴为，所以该二次函数在上单调递增，在上单调递减，又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，则，得，即，解得，所以实数a的取值范围为.故选：B【变式6-1】已知.（1）求函数的解析式及其定义域;（2）求的单调区间.【答案】（1）；（2）递增区间，递减区间【分析】（1）根据列方程，解方程求得的值，也即求得解析式，解一元二次不等式求得的定义域.（2）根据复合函数单调性同增异减，结合函数的定义域，求得的单调区间.【详解】（1）由得，所以.由，解得，故函数的定义域为.（2）函数的对称轴是，开口向下；函数在上递增.根据复合函数单调性同增异减可知，函数在区间上递增，在上递减.【点睛】本小题主要考查根据函数值求函数解析式，考查对数型函数的定义域、单调区间的求法，属于基础题.【变式6-2】已知在上是关于的减函数，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】利用一次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出a的范围.【详解】由，得且，因此函数单调递减，而，则，由在上是关于的减函数，得函数在上单调递增，且，因此，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：【变式6-3】已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围.【详解】因为且，所以当时，函数只能单调递减，所以函数在上单调递减，所以，解得，即实数a的取值范围是.故答案为：题型07比较指对幂的大小【解题思路】比较对数值大小的方法：（1）同底的利用对数函数的单调性；（2）同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化；（3）底数和真数都不同，找中间量；（4）若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论【例13】已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用幂函数和对数函数的性质来判断即可.【详解】幂函数在上单调递增，故，又，所以.故选：A.【例14】已知奇函数在R上是增函数，若，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用指数函数和对数函数单调性及中间值比较出，从而根据的单调性比较出大小关系.【详解】，，，，由于在R上是增函数，故，所以.故选：A【变式7-1】已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，结合中间值比较大小即得.【详解】，，，所以.故选：A【变式7-2】定义在上的偶函数，记，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由偶函数的性质求出的值，即可得的解析式，进而可得在上的单调性，再根据对数函数的性质即可得解．【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，即，解得，所以，当时，为增函数，因为，，，,所以，所以，即.故选：B.【变式7-3】（多选）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据给定条件，判断函数在上的单调性，利用指数、对数、幂大小比较结合偶函数的性质，比较大小作答.【详解】因为对任意的，总有，所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，又函数是定义在上的偶函数，所以函数在上单调递增，对于A，因为在上单调递增，所以，所以，正确；对于B，因为在上单调递减，所以，所以，正确；对于C，因为，所以，又，所以，正确；对于D，因为在上单调递增，所以，所以，又，所以，错误.故选：ABC题型08解不等式【解题思路】（1）形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分和两种情况讨论；（2）形如的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解.【例15】已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的定义域，然后分析的单调性，再根据求解出不等式解集.【详解】的定义域为，因为均在上单调递增，所以在上单调递增，又因为，所以，所以不等式解集为，故选：B.【例16】设函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析函数的奇偶性及在上的单调性，再求解不等式即可.【详解】的定义域为，关于原点对称，，故为偶函数，当时，，，即，故，令，因为在上单调递增，在上单调递增，故在上单调递增，又因为在上单调递增，所以在上单调递增，又为偶函数，故在上单调递减，因为，所以，解得.故选：C【变式8-1】已知函数，且.(1)求的值及的定义域；(2)求不等式的解集.【答案】(1)，定义域为(2)【分析】（1）根据题意，直接利用，即可求得参数的值，继而可求得函数的定义域；（2）变化不等式，利用函数的单调性列出不等式组，解出即可.【详解】（1）因为，解得．所以，由题意可得解得，故的定义域为．（2）不等式等价于，即，由于在上单调递增，则解得．故不等式的解集为．【变式8-2】已知定义在实数集R上的偶函数在区间上是减函数，则不等式的解集是【答案】【分析】通过奇偶性和单调性并结合对数不等式进行计算即可【详解】因为定义在实数集R上的偶函数在区间上是减函数，所以函数在区间上是增函数，所以由不等式，得所以，即或，解得或即不等式的解集是故答案为：.【变式8-3】已知函数（且），.(1)求使成立的的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)或(2)【分析】（1）由结合对数运算可求得的值，可得出函数的解析式，然后解方程，可得出满足条件的的值；（2）分析可知，是上的增函数，根据可得出关于实数的不等式组，解之即可.【详解】（1）解：因为，则，解得，所以，得，即，解得或.（2）解：由（1）知是上的增函数，又，则，解得.故实数的取值范围是.题型09反函数的应用【解题思路】反函数的性质：（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（3）函数的定义域是其反函数的值域:函数的值域是其反函数的定义域【例17】函数的反函数为.【答案】【分析】利用反函数的定义求解即可.【详解】因为的反函数为，所以，则.故答案为：.【例18】函数反函数的定义域为.【答案】【分析】求得原函数的值域，即可得出反函数的定义域.【详解】当时，单调递增，可知．所以反函数的定义域为．故答案为：．【变式9-1】若是函数的零点，是函数的零点，则的值为（

）A．1 B．2023 C． D．4046【答案】B【分析】利用指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于对称，结合反比例函数的图象也关于对称，从而数形结合即可得解.【详解】因为是函数的一个零点，是函数的一个零点，所以，，即，，设函数与的交点为，则，，设函数与的交点为，则，，因为函数与函数互为反函数，所以它们的图象关于对称，而的图象也关于对称，所以点关于对称，即，所以由得，即.故选：B.【变式9-2】若的反函数为，且，则的最小值为.【答案】【分析】先利用指、对数式的互化得到函数的反函数，再利用对数的运算性质化简，最后由基本不等式求得最值即可．【详解】因为和（，）互为反函数，若，则，又因为，所以，所以，且，，又，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.【变式9-3】函数（且）的反函数过定点．【答案】【分析】根据指数函数的性质及反函数的性质计算得到.【详解】对于函数（且），令，即，所以，即函数（且）恒过点，所以函数（且）的反函数恒过点.故答案为：题型10根据值域(最值)求参数【例19】已知函数的值域为，的值域为，则（

）A．0 B．1 C．3 D．5【答案】A【分析】由已知可得函数的值域为，从而可得的值，的最小值为9，从而可得的值，即可得解．【详解】因为函数的值域为，所以函数的值域为，所以，解得，因为的值域为,，所以的最小值为9，所以，解得，所以．故选：A．【例20】（多选）已知函数，若的值域为，则的取值可以是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】AB【分析】结合图象，对选项逐一分析即可得.【详解】在同一坐标系中画出函数及的图象，结合图象，当时，有时，，当时，，其中，故的值域为为，不符合题意，故舍去；当时，易得时，，当时，，此时，故的值域为，符合要求；当时，易得时，，当时，，故的值域为，符合要求；综上所述，的取值可以是3、4，不能是5或6.故选：AB.【变式10-1】已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则．【答案】2【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，函数在区间上单调递增.又对数函数在区间上的最大值比最小值大1，所以，，解得.故答案为：2.【变式10-2】已知函数（）的最大值与最小值分别为3和．求a的取值范围．【答案】【分析】应用对数运算性质得，换元法令，结合二次函数性质求最值对应的，进而求参数范围.【详解】，令，则可化为，函数的最大值与最小值分别为和，所以或时；时，又，则，故，∴，解得，∴的取值范围为【变式10-3】若函数（且）的最小值为－4，则实数a的值为.【答案】/【分析】结合复合函数的单调性、最值以及二次函数的性质即可求出.【详解】由题意知，，解得，因为，因为，则，又因为的最小值为－4，则，所以，即，得，因为，所以.故答案为：.题型11恒成立问题【解题思路】（1）若在集合中恒成立,即集合是不等式的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围);（2）转化为函数值域问题,即已知函数的值域为,则恒成立,即;恒成立,即.【例21】若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据对数运算将问题等价转化为对于任意恒成立，进而根据的单调性求最值即可得答案.【详解】解：，，，即对于任意恒成立，对于任意恒成立，∴，∵函数在上单调递减，，即，所以，实数的取值范围是故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用对数运算将问题转化为对于任意恒成立.【例22】已知是偶函数.(1)求m的值；(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，化简求得的值.（2）由分离常数，然后利用构造函数法，结合函数的最值来求得的取值范围.【详解】（1）因为为偶函数，且定义域为，所以对任意的，，即对任意的恒成立，则恒成立，所以，.（2）不等式对任意的恒成立，需对任意的恒成立.令，，因为，所以，所以，即，所以的取值范围是.【变式11-1】已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2).【分析】（1）根据题意，由复合函数的单调性，即可得到结果；（2）根据题意，将原式化为在上恒成立，且，则可得在上恒成立，然后分与讨论，即可得到结果.【详解】（1）令，得函数，易得在上单调递减，在上单调递增，因为函数在上单调递增，所以根据复合函数单调性的性质可得的单调递减区间为.（2）不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，因为当时，，所以，则在上恒成立，即在上恒成立.当时，，当时，因为，当且仅当，即时，等号成立.所以，故的取值范围为.【变式11-2】已知函数．(1)若的值域为，求的取值范围；(2)设对恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，分，，根据的值域为，由的值域包含求解；（2）将对恒成立，转化为，对恒成立求解.【详解】（1）解：令，当时，，满足的值域为，当时，的值域包含，则，解得，综上：实数的取值范围是；（2）因为对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，即，对恒成立，令，，则，所以，所以的取值范围是.【变式11-3】已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)增区间为，减区间为(2)【分析】（1）根据对数复合函数的单调性即可求解，（2）根据一元二次不等式恒成立，结合判别式即可求解.【详解】（1）当时，，，，解得：或，令，，则，的对称轴为，的增区间为，减区间为，又为增函数，根据“同增异减”法则：的增区间为，减区间为；（2），恒成立，恒成立，，即恒成立，，解得：题型12对数函数的实际问题【例23】生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍所需要的时间为（

）天．（结果保留一位小数．参考数据：）A．19.5 B．20.5 C．18.5 D．19【答案】A【分析】根据题意，利用结定的函数模型求得，进而利用对数的运算法则列式即可得解.【详解】因为，，，所以，解得，设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍的时间为，则（天．故选：A.【例24】2023年11月，大批红嘴鸥从西伯利亚飞越数千公里抵达云南昆明过冬，昆明已开启观鸥季．科学家研究发现候鸟的飞行速度（单位：）可以表示为，其中表示候鸟的耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟的耗氧偏差的单位数．（参考数据：）．(1)当时，计算海鸥静止时耗氧量的单位数；(2)若雄性海鸥的飞行速度为，雌性海鸥的飞行速度为，那么此时雄性海鸥的耗氧量是雌性海鸥的耗氧量的多少倍．【答案】(1)900(2)1.93【分析】（1）将，，代入求解；（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为个单位，雌鸟每分钟耗氧量为个单位，由题意列关于，的方程组，整理后得答案．【详解】（1）将，，代入，得，则，即，解得．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为900个单位；（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为个单位，雌鸟每分钟耗氧量为个单位，由题意得，两式相减得，解得．所以雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的1.93倍．【变式12-1】中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若带宽W不变，信噪比从1000提升到12000，则C比原来大约增加了（

）．(附：)A．32% B．43% C．36% D．68%【答案】C【分析】根据和表示出对应，然后根据结合对数的运算求解出结果.【详解】当时，最大信息传递速度为，当时，最大信息传递速度为，所以比原来增加了，故选：C.【变式12-2】西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现，鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的27倍时，它的游速是.【答案】【分析】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，计算出的值，再将代入，即可得解.【详解】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，则，可得，将代入，得，所以它的游速为.故答案为：【变式12-3】学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（i）函数的图象接近图示；（ii）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（iiii）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③.(1)请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由；(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.【答案】(1)(2)，(3)55【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型，（2）将，代入求解系数即可.（3）将代入解析式即可.【详解】（1）根据题中材料和题图选择合适的函数模型从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选；（2）将，代入解析式得到，即，解得，，即.当时，，满足每天得分最高不超过6分的条件.所以函数的解析式为；（3）由，，得，得，所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.课后作业一、单选题1．计算的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】直接由指数函数、对数函数的运算性质运算即可.【详解】由题意.故选：C.2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件先求解出的定义域，然后结合分式分母不、对数的真数大于列出关于的不等式组，由此求解出的定义域.【详解】依题意，函数的定义域为，所以，即函数的定义域为，所以在函数中有，解得，所以的定义域为，故选：A.3．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数型复合函数的单调性求出的单调区间，即可求出参数的取值范围.【详解】对于函数，令，解得或，所以函数的定义域为，又在上单调递减，在上单调递增，在定义域上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，因为函数在上单调递增，所以，即的取值范围是.故选：A4．若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数的图象可推得，，且，可得函数的图象递减，且，从而可判断答案.【详解】由函数的图象为减函数可知，，再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知，故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象故选：B.5．函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用对数函数及二次函数的性质逐项分析即得.【详解】对于A，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项A可能；对于B，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能；对于C，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为>1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能；对于D，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项D不可能.故选：D.6．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】利用换元法将不等式转化为在有解，构造新函数，然后利用对号函数的单调性求解新函数的最小值并结合不等式有解的含义即可得出答案.【详解】不妨设，当时，，故不等式在区间上有解等价于在有解，即在有解，不妨令，则只需，由对号函数的性质易知在上单调递增，在上单调递减，又因为，，所以的最小值为，即，故实数的取值范围为.故选：A.二、多选题7．已知，则下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】先得到，A选项，由基本不等式“1”的妙用求解；B选项，根据得到；C选项，由A选项得到；D选项，先计算出，利用基本不等式得到D正确.【详解】，故，故，A选项，由于，故，A正确；B选项，因为，所以，B正确；C选项，由A选项知，，故由基本不等式得，C错误；D选项，，且，故，D正确.故选：ABD8．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的单调递增区间是 B．函数的值域是RC．函数的图象关于对称 D．不等式的解集是【答案】BC【分析】由对数复合型函数的定义域即可判断AD，由于的值域满足，即可判断B，由函数的定义域以及的关系即可判断C.【详解】对于A，当时，，此时无意义，故A错误；对于B，由于的值域为，满足，所以函数的值域是R，故B正确；对于C，由题意，且定义域为，它满足，即函数的图象关于对称，故C正确；对于D，由于的定义域为，故D错误.故选：BC.9．已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据给定条件，分析判断函数取得最小值0，最大值1的区间在1及左侧可使区间长度最小，再求出a的取值范围作答.【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，，因为函数在的值域为，则，即，由，得，则