高一数学寒假讲义第七讲 图象变换及零点（学生版）

第七讲图象变换及零点【知识梳理】一、函数图象变换：平移变换对称变换伸缩变换翻折变换二、函数的零点1．函数零点的概念对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点．2．函数的零点与方程的根之间的联系函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点．3．零点存在性定理如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.4．常用结论（1）若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；（2）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；（3）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.三、二分法1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法．温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．二分法求函数零点的一般步骤给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下：（1）确定的初始区间,验证；（2）求区间的中点；（3）计算,并进一步确定零点所在的区间①若(此时),则就是函数的零点；②若(此时零点),则令；③若(此时零点),则令.（4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）．题型01根据解析式选择函数图象【解题思路】（1）判断奇偶：在函数定义域关于轴对称的前提下，判断与的关系；（2）取特殊值：根据函数表达式和选项区别，当取特殊值时，进而得到的取值或取值范围，从而确定大致的图像位置；（3）极限思想：主要将自变量取如下的极限：①；②；③；④；⑤；⑥，判断函数的取值时，首先判断函数式的正负，再判断大小。【例1】函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【例2】函数的部分图象为（

）A． B．C． D．【变式1-1】我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【变式1-2】函数的图象大致为（

）A． B． C． D．【变式1-3】函数在内的大致图像为（

）A．

B．

C．

D．

题型02图象变换问题【解题思路】由基本函数根据平移变换，对称变换，伸缩变换及翻折变换一步一步地增加，最终得到解析式的图象【例3】将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于轴对称，则（

）A．-4 B．-2 C．0 D．4【例4】（多选）设函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象与函数的图象关于x轴对称B．函数的图象关于y轴对称C．函数的图象在上单调递增D．【变式2-1】已知函数的图象沿轴向左平移个单位后与函数的图象关于轴对称，若，则（

）A． B． C． D．【变式2-2】为了得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位B．向左平移3个单位，再向下平移2个单位C．向右平移3个单位，再向下平移2个单位D．向左平移3个单位，再向上平移2个单位【变式2-3】（1）函数与的图象之间有什么关系？（2）已知函数的图象如图所示，画出下列函数的图象：①；

②；③；

④.题型03求零点及判断零点所在区间【解题思路】判断函数零点所在区间的3个步骤：①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断；③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．【例5】函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．【例6】函数的零点个数为（

）A．l B．2 C．3 D．4【变式3-1】已知，则的零点所处的区间是（

）A． B． C． D．【变式3-2】已知函数，则2（用“”“”“”填空）；的零点为.【变式3-3】已知是函数的零点，则.题型04利用二分法求方程的近似解【解题思路】利用二分法求方程近似解（函数零点）的步骤：①构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常限制在区间.②利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间.③区间内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间的一个端点．【例7】若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根精确度为可以是（）A． B． C． D．【例8】用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（

）A． B． C． D．【变式4-1】已知函数的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（

）

A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．5，4【变式4-2】若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（

）A． B．2，3 C． D．【变式4-3】用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到0.1.题型05求零点的个数【解题思路】判断函数零点个数的方法：①图象法：结合函数图象进行判断，即转化为两函数图象的交点个数问题．②单调性法：借助函数的单调性进行判断．若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间上单调,满足,则函数在区间上有且仅有一个零点,【例9】已知函数，则函数的零点个数为（

）A．2 B．1或2 C．3 D．1或3【例10】函数的零点个数为（

）A． B． C． D．【变式5-1】函数的零点的个数为（

）A． B． C． D．【变式5-2】（多选）函数的零点个数可能为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-3】已知函数．(1)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；(2)试讨论函数的零点的个数．题型06根据零点的个数求参数【解题思路】已知函数零点个数求参数常用的方法：①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.【例11】已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【例12】已知函数，若函数有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．【变式6-1】已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是.【变式6-2】已知函数，，若函数和的图象有且仅有1个公共点，则实数的取值范围是【变式6-3】已知函数．若函数有三个零点，则的取值范围为．题型07零点之和问题【解题思路】零点之和问题一般伴随着对称，通过对称可得到零点之间的关系【例13】设函数，若关于x的方程有四个实根，则的最小值为（）A． B． C．10 D．9【例14】已知若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式7-1】（多选）已知函数，若方程有四个不同的实数根，从小到大依次记为，则（

）A． B．C． D．【变式7-2】设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是．【变式7-3】已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是．题型08镶嵌函数的零点问题【解题思路】处理复合函数的零点问题的方法：①确定内层函数和外层函数；②确定外层函数的零点；③确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为【例15】用表示中较小的数，，则的解的个数为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【例16】已知函数，则函数的零点个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式8-1】已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（

）A．当，有1个零点 B．当时，有3个零点C．当时，有9个零点 D．当时，有7个零点【变式8-2】已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是；函数的零点个数是.【变式8-3】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，．若函数恰有个零点，则实数的取值范围是．课后作业一、单选题1．函数的零点一定位于区间（

）A． B． C． D．2．函数的图象如图所示，则可能是（

）A．B．C．D．3．已知函数，若正实数，，互不相等，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．4．已知函数，，当时，方程根的个数为（

）A． B． C． D．5．已知函数若方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．6．已知函数，若方程仅有两个不同的根，则的取值范围为

()A． B． C． D．二、多选题7．某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:则方程的近似解(精确度)可取为（

）A． B． C． D．8．已知函数，有4个零点，则（

）A．实数的取值范围是B．函数的图象关于原点对称C．D．的取值范围是9．设常数，函数，若方程有三个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C．的取值范围为 D．不等式的解集为三、填空题10．已知函数，若有2个零点，则实数的取值范围是.11．设函数，若关于的方程有四个不相等的实数根、、、，则的取值范围为.12．已知函数，设是四个互不相同的实数，满足，则的取值范围是.13．已知函数，，若存在3个零点，则实数的取值范围为．四、解答题14．已知函数是偶函数．(1)求实数a的值；(2)当时，函数有零点，求实数t的取值范围．15．已知是定义在上的奇函数．