高一数学寒假讲义第十讲 三角恒等变换（学生版）

第十讲三角恒等变换【知识梳理】一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）；（2）（3）；（4）（5）（6）二、二倍角公式（1）（2）（3）三、公式的常用变形（1）；（2）降幂公式：；；（3）升幂公式：；；；（4）辅助角公式：，其中，题型01两角和与差的正（余）弦公式的简单应用【解题思路】对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，或化为正负相消的项并消项求值，将分子、分母形式进行约分求值．要善于逆用或变用公式【例1】求下列各式的值：(1)；(2)．【例2】已知，均为锐角，且，，则（

）A． B． C． D．【变式1-1】已知，，则.【变式1-2】已知，，则（

）A． B．C． D．【变式1-3】求下列各式的值：(1)；(2)；(3).题型02两角和与差的正切公式的简单应用【解题思路】利用公式的正用求角步骤：①计算待求角的正切值；②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息；③根据角的范围及三角函数值确定角公式的逆用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”、“”时,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换,如“,这样可以构造出公式的形式,从而可以进行化简和求值.【例3】（

）A． B． C．1 D．2【例4】已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（

）A． B． C． D．【变式2-1】的值为（

）A． B． C． D．【变式2-2】已知，其中，，则，.【变式2-3】已知，则（

）A． B． C． D．题型03二倍角公式的简单应用【解题思路】①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂．③重要结论：.【例5】已知，则（

）A． B． C． D．【例6】求下列各式的值:(1)(2)(3)(4)【变式3-1】已知，则（

）A． B． C． D．【变式3-2】已知，则（

）A． B． C． D．【变式3-3】已知，则（

）A． B． C． D．题型04给值求值问题【解题思路】给值求值问题的解题策略：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角【例7】已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【例8】已知，则（

）A． B． C． D． 【变式4-1】已知，，，则（

）A． B． C． D．【变式4-2】在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点为角终边上一点.若，且，则.【变式4-3】已知，，则．题型05给值求角问题【解题思路】解给值求角问题的一般步骤：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．【例9】设，且，则（

）A． B． C． D．【例10】已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且.求(1)；(2).【变式5-1】设，，且，则.【变式5-2】若，，，，则.【变式5-3】已知，且.(1)求和的值；(2)若，且，求的值.题型06积化和差与和差化积【解题思路】积化和差公式：，，和差化积公式：，$，【例11】的值为（

）A． B． C． D．前三个答案都不对【例12】（

）A．0 B．C． D．【变式6-1】若，则等于（

）A． B． C． D．【变式6-2】（1）；（2）．【变式6-3】．题型07辅助角公式的简单应用【解题思路】辅助角公式：，其中，【例13】已知，则（

）A． B． C． D．【例14】已知函数在上有两个零点，，则（

）A． B． C． D．【变式7-1】“是第二象限角”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【变式7-2】若，则的取值可以为（

）A． B． C． D．【变式7-3】已知．(1)求的值；(2)求的最小正周期及单调增区间．题型08三角恒等变换的化简问题【解题思路】化简问题中的“3变”：①变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式；②变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切；③变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．【例15】（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期为B．C．是图象的一条对称轴D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称【例16】已知函数，则函数在区间上的值域是.【变式8-1】已知，且，求的值．【变式8-2】设函数．(1)求的值；(2)求在区间上的最大值和最小值．【变式8-3】设．(1)求的值及的单调递增区间；(2)若，，求的值．题型09利用三角恒等变换判断三角形的形状【解题思路】①三角之和为；②若没有特殊要求，则角的范围：【例17】在中，若，则是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能【例18】中若有，则的形状一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等腰直角三角形【变式9-1】已知角，，为的内角，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形【变式9-2】在△ABC中，若，则△ABC是（

）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形【变式9-3】在△ABC中，若，则△ABC是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形题型10三角恒等变换与三角函数性质的综合应用【解题思路】①为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．②解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．【例19】已知，函数在单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例20】（多选）已知函数的最大值为，则下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．C．函数的图象关于直线对称D．函数在区间内有两个不同实根【变式10-1】（多选）已知偶函数的周期为，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（

）A．B．函数的图象关于直线对称C．不等式的解集为D．在上有两个相异实根【变式10-2】已知函数.(1)解不等式；(2)设，求在上的最值.【变式10-3】已知函数的最小正周期为.(1)求的值；(2)若方程在区间上有两个不等的实根，求的取值范围.课后作业一、单选题1．计算：（

）A． B．2 C． D．2．已知，则等于（

）A． B． C． D．13．若关于x的方程在内有两个不同的解，，则的值为（

）A． B． C． D．4．已知是锐角，，则（

）A． B． C． D．5．已知函数在处取到最大值，则的值为（

）A． B． C． D．6．已知（，）在上存在唯一实数使，又，且有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题7．下列化简结果正确的是（

）A． B．C． D．8．关于函数有下列4个结论：①函数的最小正周期为；②函数的图象经过点；③函数的图象关于点对称；④函数的图象关于直线对称若这4个结论中恰有3个是正确的，则这3个结论的序号可以是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④9．若函数，则下列结论正确的是（

）A．是偶函数B．的最小值为C．曲线关于直线对称D．函数在上有3个零点三、填空题10．已知，则．11．已知且，则．12．已知函数，若在区间上的值域为，则的取值范围是