2026年高考数学终极冲刺压轴13 与球有关的切、接问题的4大核心题型（原卷版）

压轴13与球有关的切、接问题的4大核心题型

空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体

的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题

位置

题型01空间几何体的外接球

技法指导

（1）求几何体外接球半径的方法

①补体法：把几何体补成长方体、正方体、正四面体，再利用它们的外接球半径公式求解；②性质法：

球心与截面圆心的连线与截面垂直，球心与弦中点的连线与弦垂直.

（2）确定球心的常用结论

①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心

连线的中点；③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；④正棱锥的外接球的球

心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.

1.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点

都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A．100πB．128πC．144πD．192π

ππ

2.已知三棱锥PABC的四个顶点均在球O上，BAC,ACB,AC3,PB平面ABC．若

26

tanPAB23，则球O的体积为（）

4π16π32π64π

A．B．C．D．

3333

3.已知四面体ABCD的4个面为全等的等腰三角形，且CACB2AB4，A，B，C，D四点在同一个球面

上，则该球的表面积等于（）

A．8πB．12πC．18πD．24π

4.（2023·全国乙卷T16）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，ABC是边长为3的等边三角形，SA平

面ABC，则SA．

题型02空间几何体的内切球

技法指导

空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求

半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.

5.（2025·吉林长春·模拟预测）所有棱长都是2的正四棱锥的内切球半径为（）

236262

A．B．C．D．

3324

6.（2025·江西南昌·模拟预测）已知正三棱锥PABC的体积为3m3，侧面积为2m2，底面积等于1m2，则这

个正三棱锥内切球的体积为（）

4

A．36πm3B．12πm3C．108πm3D．πm3

3

7.某圆台的下底面半径是上底面半径的3倍，一个半径为3的球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个

圆台的体积为（）

A．39πB．60πC．78πD．117π

8.（2025新高考Ⅱ卷T14）一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内

有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm．

题型03空间几何体的棱切球

技法指导

解决棱切球问题的常用方法

（1）外形：转化为内切球求解；

（2）找切点定球心构造直角三角形求解.

⇒⇒

9．（2026·江西南昌·期末）正三棱锥PABC的底面边长为23，侧棱长为22，若球H与正三棱锥所有

的棱都相切，则这个球的表面积为（）

179

A．B．(44166)C．D．32

42

10．（2026·山东菏泽二模）已知正三棱柱ABCA1B1C1的体积为18，若存在球O与三棱柱ABCA1B1C1的各

棱均相切，则球O的表面积为（）

A．8B．12C．16D．18

题型04与球切、接有关的最值问题

技法指导

求解与球切、接有关的最值问题的策略

（1）转化为函数最值问题：通过引入线参数或角参数，建立关于这些参变量的函数关系，转化为函数的

最值问题来解决；

（2）转化为平面几何问题：根据题目的特征，寻找或确定一个数量关系比较集中的平面，将题目的其他

条件逐步向该平面转移，然后利用几何方法或三角方法来解决；

（3）利用基本不等式：可通过引入多个变量建立数学模型，然后利用基本不等式求其最值.

11.（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球

面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

1132

A．B．C．D．

3232

12.（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为23的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球O2后，

还可以放入一个半径为1的小球O1，则小球O2的体积与容器体积之比的最大值为（）

441

A．B．C．D．

2438181

1．（2025·广东中山·二模）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若O1O22，

则圆柱O1O2的表面积为（）

A．4πB．5πC．6πD．7π

2．（2025·河南·三模）已知圆锥的母线长为5，侧面展开图的面积为25π，则该圆锥的外接球的表面积为

（）．

A．25πB．10πC．9πD．4π

3．（2025·甘肃白银·三模）如图，在三棱锥PABC中，ABAC,PA平面ABC，PA3,AB1,AC2，

D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥ADEF的外接球的表面积为（）

5π7π9π

A．B．C．D．3π

222

4．（2025·江西·二模）在三棱锥PABC中，平面ABC平面PAC，PAPC，ACAB，ABAC10，

若点P、A、B、C均在球O的表面上，则球O的体积为（）

10002π

A．200πB．2002πC．D．10002π

3

5．（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥ABCD中，ABC和△BCD均为边长为3的等边三角形，若

二面角ABCD的大小为90，则三棱锥ABCD外接球的表面积为（）

A．5πB．8π

C．6πD．9π

6．（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八

S2

面体的内切球表面积为S1，外接球表面积为S2，则的值为（）

S1

43

A．B．C．3D．4

32

7．（多选）（2025·甘肃金昌·二模）如图，在圆柱O1O2中，轴截面ABCD是边长为2的正方形，M是以AO2

为直径2的圆上一动点（异于点A,O2），AM与圆柱的底面圆交于点N，则（）

A．MO2∥平面NBO1

B．平面MO1O2平面ANO1

C．直线NB与直线AO1有可能垂直

D．三棱锥MAO1O2的外接球体积为定值

8．（多选）（2025·四川自贡·三模）如图1，在ABC中，ACBC，B，AB8，D、E分别在AB，

3

AC上，且4DE3BC.将ADE沿DE翻折得到图2，其中ACCE.记三棱锥ABCD外接球球心为O1，

球O1表面积为S1，三棱锥AECD外接球球心为O2，球O2表面积为S2，则在图2中，下列说法正确的有（）

A．BDAD

10

B．直线AB与DE所成角的正弦值为

5

C．O1O2//平面BCDE

D．S1S278

9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆

周在同一个球的球面上，则该球的表面积为．

10.（2024·河南新乡·二模）在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABBC,AC12AA14，则该三棱柱的体积的最

大值为．

11．（2025·上海徐汇·一模）如图，在ABC中，ACB90，ABC30，BC3，在三角形内挖去一

个半圆，圆心O在边BC上，半圆与AC,AB分别相切于点C,M，与BC交于另一点N，将ABC绕直线BC

旋转一周得到一个旋转体.

(1)求该旋转体中间空心球的表面积的大小；

(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.