2026年高考数学终极冲刺压轴06 函数与导数中的创新与融合问题的3大核心题型（原卷版）

压轴06函数与导数中的创新与融合问题的3大核心题型

1.导数与函数与其他知识识交汇命题，考查考生的知识迁移能力、现场学习能力与现场运用能力，逐渐

成为命题的热点，难度较大，一般作为压轴题出现；2.导数与函数的新定义问题通常涉及三种类型：定义新

概念、定义新运算、定义新性质.解决导数与函数的新定义问题过程中，借助类比的方式有助于深化对新定

义的认识，尽管新定义的外表可能颇具挑战，但其实质仍旧根植于数学的基础知识中。

题型01导数与函数与其他知识的交汇

技法指导

1.函数与导数与解析几何、概率、立体几何均有可能交汇，在求解最值、范围时发挥工具性作用;

2.函数与导数与数列交汇，结合图形变换寻找点的坐标的规律，构造数列问题

1（.2025·河北张家口·二模）已知正三棱柱的表面积为63，则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为（）

234352

A．3B．C．D．

334

2（.2025·内蒙古包头·模拟预测）过点P1,0且与抛物线C:x2y有且仅有1个公共点的直线l的条数为（）

A．0B．1C．2D．3

22

3.（2025·四川南充·三模）已知曲线fxxcosx，圆C:x1y19，若直线l与曲线fx在0,0

处的切线平行，且直线l被圆C截得的弦长为6，则直线l的方程为.

4.（2026·山东·模拟预测）已知等差数列an的前n项和为Sn，满足

π3π3π

sina33a3cosa19993a1999，则S2001.

442

题型02导数与函数新定义问题

技法指导

三步法：1.翻译：将新定义精准转化为数学等式/不等式。2.转化：识别其本质（如凹凸性、对称性、

极值点偏移）。3.构造：针对目标（证不等式、求参数）构造函数，利用导数分析单调性、最值求解。

核心是化新为旧，导数工具。

5.（2025湖北新八校协作体联考）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数

的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若x1，x2，，xn为a,b上任意n个实数，满足

x1x2xnfx1fx2fxn

f，当且仅当x1x2xn时等号成立，则称函数fx在

nn

a,b上为“凸函数”.也可设可导函数fx在a,b上的导函数为fx，fx在a,b上的导函数为fx，

当fx0时，函数fx在a,b上为“凸函数”.若x1，x2，，xn为a,b上任意n个实数，满足

xxxfx1fx2fxn

f12n，则称函数fx在a,b上为“凹函数”当且仅当

nn

x1x2xn时等号成立.也可设可导函数fx在a,b上的导函数为fx，fx在a,b上的导函数为

fx，当fx0时，函数fx在a,b上为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等

式.

1π

(1)讨论函数y，x0,的凹凸性；

sinx2

111

6

(2)在ABC中，求证：ABC；

sinsinsin

222

n1

，，x1x2xn

(3)若n个正实数xii12,n满足xn1，求证：x1x2xn.

i1n

6.（2026·湖南邵阳·一模）已知初等函数ux的定义域为D，令vxux，若xD，vx0，则ux

是一个下凸函数.

32

(1)分别判断ux2xxx1是否是R上的下凸函数？请说明理由；

(2)已知x1，x2，x3，x4是公差不为0的等差数列，fx的定义域为R，求证：fx为下凸函数是

fx2fx3fx1fx4成立的充分不必要条件；

(3)已知下凸函数gx的定义域为R，且x,0，gx0，求证：xR，gx0.

题型03以高数中的定理为背景的新定义问题

技法指导

以高数中定理为背景的新定义创新类题目，一般是借用该高数中某定理表述的基本数学思想、基本

数学表达式构建能够适应中学知识解决的问题.本题依据微分学中无限逼近思想为情境，以拉格朗日中值

定理为数学模型证明两类不等关系成立.求解此问题的关键：（1）利用函数f（x）的单调性、零点所在

区间及待证函数不等式所在区间之间的包含关系，结合拉格朗日中值定理数学表达式采用适当放缩证明；

（2）利用无限逼近思想及函数图象上过一点的切线与x轴的交点横坐标构造数列x0，x1，x2，…，xn，

xn＋1…，再利用拉格朗日中值定理构造出误差函数证明数列不等式成立.

7.（河南省部分示范性高中2025届高三上学期12月联考）约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学

家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数fx满足如下条件：

①函数fx在区间a,b上连续（函数图象没有间断）；

fbfa

②函数fx在开区间a,b内可导（导数存在）．则在区间a,b内至少存在一点，使得f

ba

成立，其中称为“拉格朗日中值点”．

(1)求函数fxx32x在1,1上的“拉格朗日中值点”的个数；

(2)对于任意的实数t1，t2，证明：cost2cost1t2t1；

x2

(3)已知函数hxxexalnxa0在区间0,上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当x2x10时，

hx1hx2xx

证明：h12．

22

8.罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定

理、柯西中值定理．罗尔定理描述如下：如果R上的函数f(x)满足以下条件：①在闭区间[a,b]上连续，

②在开区间(a,b)内可导，③f(a)f(b)，则至少存在一个(a,b)，使得f0．据此，解决以下问题：

(1)证明方程4ax33bx22cxabc0在0,1内至少有一个实根，其中a,b,cR；

(2)已知函数fxexax2ea1x1,aR在区间0,1内有零点，求a的取值范围．

2xa

1．（2025·广东佛山·二模）已知函数fxaR，命题p：fx是奇函数，命题q：fx在0,

2x1

上是减函数，则p是q的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．（2025·福建泉州·二模）设函数fx满足：x,yR，都有fxyfxfy，且f22.记anfn，

则数列log2an的前10项和为（）

5545

A．55B．45C．D．

22

3．（2025·山东临沂·模拟预测）若定义在D上的函数fx，x1,x2,x3D，fx1，fx2，fx3可以作

为一个三角形的三条边长，则称fx是D上的“三角形函数”．已知函数fxxlnxt是定义在区间

1

,e2上的“三角形函数”，则t的取值范围是（）

e2

2221

A．2e,B．2e,

ee

11

C．2e,D．e,

ee

4．（2025·江西景德镇·二模）某公司举行抽奖活动，在箱子里装有nn2个红球和4个黑球，这些小球

除颜色外完全相同.在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为

中奖，其余情况均未中奖.假设在有放回地连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率为p，则当p取到最大值时n

的值为.

5．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数f(x)x3ax2bx．

*

(1)若ab0，函数f(x)的图象在点(n,f(n))(nN)处的切线与x轴的交点坐标为(an,0)，求an的前n

项和Sn；

(2)若a0，函数f(x)的图象与x轴有且只有两个公共点，且f(1)0，求a，b的值以及函数f(x)在a,0

上的最小值．

6．（2025·上海黄浦·三模）已知函数yfx是定义在D上的连续函数，其导函数为yfx，函数yfx

的导函数为yfx，定义函数运算：fxfxfxfx．

1

(1)若fxx3x2，求出函数yfx的极值点x，并判断fx的符号；

300

(2)若fxlnx，aR，讨论方程afx解的个数；

(3)若Da,b，当xa,b，fx0，记fa与f(b)中较大者为MM0．证明：fxM．

7.（陕西省榆林市2024-2025学年高三下学期第三次模拟）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的，用有

理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m,n，函数fx在x0处的m,n阶帕德近似定义为：

Pmx

Rx，其中Pmx和Qnx分别是m和n次多项式，且满足

Qnx

nn

f0R0,f0R0,f0R0,,f0R0.其中

''4'nn1

fxfx,fxfx,fxfx,,fx为fx的导数.已知fxlnx1在x0处的1,1

ax

阶帕德近似为Rx.

1bx

(1)求实数a,b的值，利用fx的1,1阶帕德近似估计ln1.2的近似值（结果保留3位有效数字）；

(2)当1x0时，fxkRx恒成立，求实数k的取值范围；

11

(3)证明：当x0时，xx.

16

8.（2026·上海徐汇·月考）定义：对于fx，gx，若fx0gx0，则称xx0为fx和gx的“一一

''

值”；若fx0gx0，则称xx0为fx和gx的“零二值”．

(1)求fxx33x24x与自身所有“零二值”的取值集合的子集；

2

x2x,x2,03

(2)求fx和gxx3,x2,2的“一一值”的个数；

22

x2x,x0,2

x

(3)判断：对于定义域为R的函数fx和gx，大于1的正数a满足：“任意x均为fx和gxa·a的‘一

一值’和‘零二值’”是命题“fxgxex1”的什么条件并说明理由．

9.定理如果函数fx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，那么在开区间a,b内至少存在一点c，

fbfa

使得fc，这个定理称为微分中值定理，也称为拉格朗日中值定理.定理表明，如果函数

ba

fx的图象是闭区间a,b上的一条连续曲线，且当xa,b时，曲线上的每点都存在切线，那么，在曲线

上至少存在一点c,fc，使得该曲线在这一点处的切线平行于曲线两个端点的连线AB，如图所示.

3

(1)已知A3,33，P为函数fxx图象位于O,A之间的部分上的一点，其中O为坐标原点，求点P到

直线OA的距离的最大值；

cosxcosxcosxcosx

ππ2132

(2)如果x1x2x3，证明：.

22x2x1x3x2

(3)如果函数fx在a,b内可导，且对于任意的xa,b，都有fx0，证明：函数fx在a,b内单

调递减.

10.已知区间IR，定义域为I的函数yfx的图像是一条连续不断的曲线，点P不在函数yfx的

图像上，点A在函数yfx的图像上．若线段PA与函数yfx的图像有且仅有一个公共点，则称点A

是“P－可见”的．

2

(1)若IR，fxx，点P的坐标为1,0，判断点A1,1与B1,1是否是“P－可见”的；

32

(2)已知m为实数，若IR，fxxmx，点P的坐标为1,0，点A1,1m是“P－可见”的，求m的

取值范围；

(3)若Ia，点P的坐标为a,b，证明：“函数yfx的图像上任意一点都是‘P可见’的”是“函数

fx,b

y在I上严格增或严格减”的充要条件．

xa

n

11.（25-26高三上·安徽六安·月考）记aia1a2an．已知函数f(x)和g(x)的定义域都为D，若存在

i1

m

x1,x2