北京市石景山区2026届高三一模数学试题（含答案）

北京市石景山区2026届高三一模数学试题本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题共40分）选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，则（A） （B）（C） （D）（2）已知，则（A） （B） （C） （D）（3）下列函数中，是偶函数又在上单调递减的是（A） （B） （C） （D）（4）设为单位向量，且，则（A） （B） （C） （D）（5）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的是（A） （B） （C） （D）（6）直线与圆相交于两点，则（A） （B） （C） （D）（7）数列为各项均为正数的等比数列，为正整数，则“”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（8）已知，点在曲线上，则的面积（A）有最大值，无最小值 （B）无最大值，有最小值（C）有最大值，有最小值 （D）无最大值，无最小值（9）设，则（A） （B）（C） （D）（10）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“对应点”为，当是原点时，定义的“对应点”为它自身；将曲线上所有点的“对应点”构成的曲线定义为曲线的“对应曲线”．现有下列命题：①若点的“对应点”是点，则点的“对应点”是点；②单位圆的“对应曲线”是它自身；③直线的“对应曲线”一定是直线.其中正确命题的个数是（A） （B） （C） （D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）若的展开式的二项式系数和为，则_______，的系数为_______．（12）已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为_______．（13）已知，则_______．（14）设函数当时，的值域为_______；若方程有两个不同的解，则实数的一个取值可以是_______．（15）已知为数列的前项和，记，且满足．给出下列四个结论：①的第项小于；②为等比数列；③为递减数列；④当时，存在．其中所有正确结论的序号是_______．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在中，，若的平分线交于，求的长.（17）（本小题14分）如图，在三棱锥中，为等边三角形，分别是的中点．，与平面交于点．（Ⅰ）求证：是的中点；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．条件=1\*GB3①：平面平面；条件=2\*GB3②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．（18）（本小题13分）为了研究需要，将高三年级男生肺活量检测值(单位：)划分为如下个等级：肺活量(单位：)小于及以上等级某校为研究高三年级男生米长跑成绩是否达标（成绩达到合格标准）与肺活量等级的关系，随机从该校抽取了名高三年级男生作为研究对象，记录他们的长跑成绩与肺活量等级,整理得到如下统计图与统计表.长跑成绩达标组（Ⅰ）从名研究对象中随机选取人，求此人肺活量等级为的概率；（Ⅱ）用频率估计概率，假设每名高三年级男生的肺活量等级相互独立，长跑成绩也相互独立．从该校全体高三年级男生中肺活量等级为的学生中随机选取人，肺活量等级为的学生中随机选取人，设这人中长跑成绩达标的人数为，估计的数学期望；（Ⅲ）研究人员提出可以按照下述方式判断高三年级男生长跑成绩是否达标：选取常数，若一名高三年级男生的肺活量等级大于，则判断其长跑成绩达标；若肺活量等级小于，则判断其长跑成绩未达标．从名研究对象中随机选取人，按照上述方式判断其长跑成绩是否达标．写出使得判断错误的概率最小的的值（只需写出结论）．（19）（本小题15分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数是上的单调递增函数，求的值；（Ⅲ）若存在，使得成立，求的取值范围．（20）（本小题15分）已知椭圆的左顶点为，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）为椭圆的右顶点，为椭圆上异于的任意一点，直线分别与直线交于两点，直线与椭圆的另一个交点为.求证：①；②直线恒过定点.（21）（本小题15分）已知集合，其中，若对于任意的，总有，则称集合具有性质．由中的元素构成两个相应的集合：，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．（Ⅰ）检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；（Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明：；（Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论．参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）C（3）B（4）C（5）C（6）B（7）D（8）A（9）D（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）,（12）（13）（14）（答案不唯一）（15）①④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ），所以的最小正周期为.函数的单调递增区间为．由，得.所以的单调递增区间为.【6分】（Ⅱ）因为，所以，，因为，所以，.因为为的平分线，所以，根据，有，即，解得.【13分】（17）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱锥中，因为分别是中点，所以.因为平面，且平面，所以平面．因为平面平面，所以．因为是中点.所以是中点．【6分】（Ⅱ）选条件①：平面平面．连结，因为为等边三角形，是中点，所以.因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以．所以.如图建立空间直角坐标系，则.所以，，．设平面的法向量为，则即令，则．于是．设直线与平面所成角为，则．【14分】选条件②：．因为，所以.因为，所以．又因为，所以平面.因为平面,所以.因为，所以，.因为为等边三角形，是中点，所以,以下同条件①如图建立空间直角坐标系.（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据题中数据，在名研究对象中，肺活量等级为且长跑成绩达标的人数为，肺活量等级为且长跑成绩不达标的人数为，因此肺活量等级为的总人数为.因此，从名研究对象中随机选取人，此人肺活量等级为的概率为．【3分】（Ⅱ）设事件为“从该校高三年级男生中肺活量等级为的学生中随机选取一人长跑成绩达标”，事件为“从该校高三年级男生中肺活量等级为的学生中随机选取一人长跑成绩达标”．根据题中数据，估计为，估计为．根据题意，随机变量的所有可能值为，且；；；．所以，估计为；估计为；估计为；估计为．所以，估计为．【11分】（Ⅲ）.【13分】（19）（共15分）解：（Ⅰ）根据题意，，，，所以，所求切线方程为.【4分】（Ⅱ），令，，①当时，，在上单调递增，又，所以当时,，当时，.所以的单调增区间为，单调减区间为，不符合题意；②当时，令，解得，所以，当时，；当时，；所以，在上单调递减，在上单调递增.所以，当时，有最小值，所以，当在上单调递增时，有，令，，得.所以时,;时,.所以在上单调递增，在上单调递减.所以，所以，即.综上所述的值为.【9分】（Ⅲ）法1：由已知可得当时，①当时，由（Ⅱ）知；所以在单调递增，所以，所以在单调递增，所以，，不合题意；②当时，，因为在上单调递减，所以当时，所以在上单调递减，又所以存在，成立.综上所述的取值范围是.【15分】（Ⅲ）法2：由已知可得当时，①当时，，设，则，所以在单调递增.,;所以,在上单调递增，所以，，不合题意；②当时，，因为在上单调递减，所以当时，所以在上单调递减，又所以存在，成立.综上所述的取值范围是.【15分】（20）（共15分）解：（Ⅰ）由已知可得，解得，.故椭圆的方程为.【5分】（Ⅱ）①由已知得.设,则，所以，所以直线的方程为，所以直线的方程为.令，得，.因为，，所以，所以.【10分】②当直线的斜率存在时，设其方程为.由化简得，其判别式.设，可得，.由，得，即因为，所以，化简得.因为，所以，化简得，，或.所以直线的方程为或（舍）.所以直线过定点.当直线的斜率不存在时，其方程为，满足题意.综上所述直线恒过定点.【15分】（21）（共15分）解：（Ⅰ）因为，所以不具有性质；因为，所以具有性质.，【4分】（Ⅱ）解法1：因为对于任意的，总有，所以，从而.因为，所以当时，和至多有一个成立.所以集合中的元素个数最多为，即.【9分】法2：首先，由中元素构成的有序数对共