专题4.4 对数函数（知识解读）（含解析）（人教A版2019必修第一册）【考点精练】2022-2023学年高一数学

专题4.4对数函数（知识解读）【学习目标】1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.【知识点梳理】知识点一：对数函数的概念1、对数函数的概念一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.判断一个函数是对数函数的依据（1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数.2、两种特殊的对数函数特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.知识点二：对数函数的图象及其性质函数的图象和性质如下表：底数图象性质定义域值域单调性增函数减函数【典例分析】【考点1对数函数的判断】【典例1】（2021·全国高一课时练习）已知下列函数：①y＝log(－x)(x＜0)；②y＝2log4(x－1)(x＞1)；③y＝lnx(x＞0)；④，(x＞0，a是常数)．其中为对数函数的是________(只填序号)．【变式1-1】（2021·全国·高一专题练习）给出下列函数：①；②；③；④.其中是对数函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-2】（2021·全国高一课时练习）下列函数表达式中，是对数函数的有（）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.A．1个 B．2个C．3个 D．4个【变式1-3】（2021·全国高一课时练习）若函数为对数函数，则（）A． B． C． D．【考点2对数函数的解析式或函数值】【典例2】（1）（2021·上海高一专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（）A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x（2）（2021·全国高一课前预习）设（且），若，则（）.A．2 B． C． D．【变式2-1】（2021·全国高一专题练习）若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.【变式2-3】（2021·全国高一课时练习）已知对数函数的图象过点，则_________．【考点3对数函数的定义域】【典例3】（2022·福建·高二学业考试）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【变式3-1】（2021·全国）函数的定义域为（）A． B． C． D．【变式3-2】（2021·四川自贡·）函数的定义域是（）A． B． C． D．【考点4对数函数的定点】【典例4】（2021·全国）函数的图像恒过一定点______．【变式4-1】（2021·四川高一开学考试）函数（，且）的图象一定经过的点是（）A． B． C． D．【变式4-2】（2021·全国）函数的图象必过的点是（）A． B． C． D．【变式4-3】（2021·湖北高一开学考试）已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则（)A． B．2 C．1 D．【考点5对数函数的值域（最值）】【典例5】（2022·山西运城·高二期末）已知函数，则的值域为（

）A． B． C． D．【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．【变式5-2】（2022·河南·封丘一中高二期末（理））若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是________.【考点6对数函数的单调性】【典例6】（1）（2021·湖南省邵东市第三中学高一月考）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A． B．C． D．（2）．（2021·全国高一课时练习）函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．（3）（2021·新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．（4）（2021·全国高一专题练习）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（）A． B． C．或 D．或【变式6-1】（2021·江西抚州·高一期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A． B．C． D．【变式6-1】（2021·雄县第二高级中学高一期末）已知函数在R上是单调函数，则的解析式可能为（）A． B． C． D．【变式6-3】（2021·河北高一期末）函数的单调递减区间为___________.【变式6-4】（2021·全国高一专题练习）函数的单调递减区间是________．【考点7对数函数比较大小】【典例7-1】（2021·北京丰台·）已知指数函数是减函数，若，，，则m，n，p的大小关系是（）A． B． C． D．【典例7-2】（2022·云南玉溪·高一期末）设，则（

）A． B．C． D．【变式7-1】（2021·全国）已知，，，则（）A． B．C． D．【变式7-2】（2021·广西南宁三中）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为A． B． C． D．【考点8解对数不等式】【典例8-1】（2021·全国高一专题练习）不等式log(5＋x)<log(1－x)的解集为________．【典例8-2】（2021·运城市新康国际实验学校高一开学考试）设函数，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．【变式8-1】（2021·全国高一单元测试）“”是“”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式8-2】（2021·全国）已知，则（）A． B． C． D．【变式8-3】（2021·河南漯河·高一期末）已知函数，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【考点9图像问题】【典例9】（2021·全国）图中曲线分别表示的图像，，的关系是（）A． B．C． D．【变式9-1】（2022·山西大同·高一期末）已知函数恒过定点，则函数的单调递增区间为______．【变式9-2】（2021·广东广州·高一期末）已知函数，，的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A． B．C． D．【变式9-3】（2021·浙江）函数的图象是（）A．B．C． D．【考点10反函数】【典例10】（2021·上海高一课时练习）已知函数的图像过点，而且其反函数的图像过点，则是（）A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数【变式10-1】（2021·陕西西安市第三中学高一期末）已知函数图像与函数的图像关于对称，则____.【变式10-2】（2021·上海高一专题练习）若函数的图像与的图像关于直线对称，则___________.专题4.4对数函数（知识解读）【学习目标】1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.【知识点梳理】知识点一：对数函数的概念1、对数函数的概念一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.判断一个函数是对数函数的依据（1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数.2、两种特殊的对数函数特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.知识点二：对数函数的图象及其性质函数的图象和性质如下表：底数图象性质定义域值域单调性增函数减函数【典例分析】【考点1对数函数的判断】【典例1】（2021·全国高一课时练习）已知下列函数：①y＝log(－x)(x＜0)；②y＝2log4(x－1)(x＞1)；③y＝lnx(x＞0)；④，(x＞0，a是常数)．其中为对数函数的是________(只填序号)．【答案】③【解析】由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，lnx的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数，当时，底数小于0，故④不是对数函数．故答案为：③【变式1-1】（2021·全国·高一专题练习）给出下列函数：①；②；③；④.其中是对数函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选:A.【变式1-2】（2021·全国高一课时练习）下列函数表达式中，是对数函数的有（）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】B【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义.故选：B【变式1-3】（2021·全国高一课时练习）若函数为对数函数，则（）A． B． C． D．【答案】（1）A（2）B【解析】（1）①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选:A.（2）由题可知：函数为对数函数所以或，又且所以故选：B【考点2对数函数的解析式或函数值】【典例2】（1）（2021·上海高一专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（）A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x（2）（2021·全国高一课前预习）设（且），若，则（）.A．2 B． C． D．【答案】（1）A（2）C【解析】（1）设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)．由于对数函数的图像过点M(125，3)，所以3＝loga125，得a＝5.所以对数函数的解析式为y＝log5x.故选：A.（2）因为（且），，所以，即，解得，所以，所以.故选：C【变式2-1】（2021·全国高一专题练习）若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.【答案】-3【解析】设（且），将代入得.所以，.故答案为：【变式2-3】（2021·全国高一课时练习）已知对数函数的图象过点，则_________．【答案】【解析】设，因为函数的图象过点，则，，，．故答案为：【考点3对数函数的定义域】【典例3】（2022·福建·高二学业考试）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B由解得：．故选：B．【变式3-1】（2021·全国）函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使函数有意义，只需，即，解得或．故选：．【变式3-2】（2021·四川自贡·）函数的定义域是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得，解得，所以函数的定义域为，故选：D【考点4对数函数的定点】【典例4】（2021·全国）函数的图像恒过一定点______．【答案】【解析】由函数图像的平移公式，我们可得：将函数的图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到函数的图像．又函数的图象恒过点，由平移向量公式，易得函数的图像恒过点故答案为：【变式4-1】（2021·四川高一开学考试）函数（，且）的图象一定经过的点是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，则，即函数图象过定点．故选：B．【变式4-2】（2021·全国）函数的图象必过的点是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，则当，即时，是与的值无关的定值，故函数的图形必过的点是.故选：D.【变式4-3】（2021·湖北高一开学考试）已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则（)A． B．2 C．1 D．【答案】C【解析】函数中，令，解得，此时；所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，所以，解得；所以，所以．故选：C．【考点5对数函数的值域（最值）】【典例5】（2022·山西运城·高二期末）已知函数，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，故选：D【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由对数函数的值域为，向右平移2个单位得函数的值域为，则的值域为，故选：A.【变式5-2】（2022·河南·封丘一中高二期末（理））若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.【答案】【解析】因为的最大值为0，所以应有最小值1，因此应有解得.故答案为：.【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是________.【答案】【解析】令，则，因为，所以的值域为，因为在是减函数，所以，所以的值域为，故答案为：【考点6对数函数的单调性】【典例6】（1）（2021·湖南省邵东市第三中学高一月考）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A． B．C． D．（2）．（2021·全国高一课时练习）函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．（3）（2021·新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．（4）（2021·全国高一专题练习）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（）A． B． C．或 D．或【答案】（1）A（2）C（3）D（4）C【解析】（1）由幂函数性质知是奇函数，是偶函数，由指数函数性质知不是奇函数也不是偶函数，由绝对值性质和对数函数性质知是偶函数，又是定义域内是增函数．故选：A．（2）由，而对数函数在上是减函数，在上是增函数，所以函数单调递增区间为．故选：C（3）对于函数，有，解得或，故函数的定义域为，内层函数在上单调递减，在上单调递增，外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.故选：D.（4）函数是由与复合而成，①当时，因为为减函数，且函数在区间上单调递增，所以在上单调递减，结合的图像可得，解得②当时，因为为增函数，且函数在区间上单调递增，所以在上单调递增，又因为此时，结合的图像可知此时符合题意综上所述：实数a的取值范围为或.故选：C【变式6-1】（2021·江西抚州·高一期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】在区间上单调递增，A不符合题意；是奇函数，B不符合题意；在区间上单调递增，D不符合题意；既是偶函数又在区间上单调递减，C符合题意.故选：C【变式6-1】（2021·雄县第二高级中学高一期末）已知函数在R上是单调函数，则的解析式可能为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，为增函数，则在上为增函数，且，A.在上为增函数，，故不符合条件；B.为减函数，故不符合条件；C.在上为增函数，，故符合条件；D.为减函数，故不符合条件．故选：C．【变式6-3】（2021·河北高一期末）函数的单调递减区间为___________.【答案】【解析】由题知：，解得或.令，则为减函数.所以，为减函数，为增函数，，为增函数，为减函数.所以函数的单调递减区间为.故答案为：【变式6-4】（2021·全国高一专题练习）函数的单调递减区间是________．【答案】【解析】由得，因此函数的定义域为．，设，又是增函数，在上是减函数，因此的单调递减区间为．故答案为：【考点7对数函数比较大小】【典例7-1】（2021·北京丰台·）已知指数函数是减函数，若，，，则m，n，p的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由指数函数是减函数，可知，结合幂函数的性质可知，即结合指数函数的性质可知，即结合对数函数的性质可知，即，故选：B.【典例7-2】（2022·云南玉溪·高一期末）设，则（

）A． B．C． D．【答案】D因为，，，又由对数函数的性质:当时，底数越大，图像越低，可得，所以.故选:D.【变式7-1】（2021·全国）已知，，，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，，，，，，所以故选:A.【变式7-2】（2021·广西南宁三中）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.本题选择C选项.【考点8解对数不等式】【典例8-1】（2021·全国高一专题练习）不等式log(5＋x)<log(1－x)的解集为________．【答案】{x|－2<x<1}【解析】不等式满足解得－2<x<1．故答案为：{x|－2<x<1}【典例8-2】（2021·运城市新康国际实验学校高一开学考试）设函数，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】定义在上的函数满足，所以为偶函数，当时，为增函数，由结合偶函数图象的对称性可知，两边平方并化简得，解得.所以不等式的解集为.故选：A【变式8-1】（2021·全国高一单元测试）“”是“”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，.所以“”是“”的充分条件；当是，.所以“”是“”的必要条件.所以“”是“”的充分必要条件.故选：C【变式8-2】（2021·全国）已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】为单调递减函数，若，则，又为单调递增函数，所以.故选：A【变式8-3】（2021·河南漯河·高一期末）已知函数，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以可化为，因为和在上单调递增，所以在