2026年新七年级下册数学【实数-十大题型】（含答案）新版

实数·十大题型(学生版) 1【题型2实数的运算】 2【题型3估算无理数的大小】 3【题型4估算无理数的整数部分或小数部分】 4【题型5实数与数轴】 5【题型6实数的大小比较】 6【题型7程序设计中的实数运算】 7【题型8新定义中的实数运算】 8【题型9实数运算的实际应用】 8【题型10实数运算中的规律探究】 9知识点1:实数有理数负整数有限小数或无限循环小数无限不循环小数叫做无理数.常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003...(两个3之间依次多一个0).②含有π的绝大部分数，如2π.【题型1实数的概念理解】【例1】下列各数是无理数的是()A.0.101001B.-2D.√⑥V-125,⑦·,⑧0..(相邻的两个3之间依次多1个0),⑨0.23,⑩3.14(1)整数集合：((2)分数集合：((3)无理数集合：(实数·十大题型(学生版)【题型2实数的运算】【例2】计算：【变式2-1】计算：【变式2-2】计算：【变式2-3】计算：实数·十大题型(学生版)知识点2:估算法的大小.例如：9<a<16,则3<√a<4;8<a<27,则2<√a<3.【题型3估算无理数的大小】【例3】如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数A.3【变式3-2】在学习《估算》一课时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏，数值大的为赢家，小丽抽到的卡上写的是√6-1,小颖抽到的卡上写的是2,那么赢家是_我们知道面积是2的正方形的边长是√2,易知√2>1.因此可设√2=1+x,画出如下示意图.1x1x1略去x²,得方程2x+1=2.(2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m,若a<√m<a+1,且m=a²+b,请估算的值为()A.-√6B.4-√6C.4+√6D<√2>=√2-1,则<3-√3>+【√7】的值是()A.4-√3B.1-√无理数的估算差就是小数部分.实数·十大题型(学生版)_(3)任务三：x+y=10+√3,其中x是整数，且0<y<1,求2x-y的相反数.【题型5实数与数轴】【例5】如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1,若点E在数轴上，(点E在点A的右侧)且AB=AE,则点E所表示的数为()A.√7【变式5-1】实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足a+b<0,ab<0,则原点所在的位置有可能是()【变式5-2】如图，数轴上A、B两点表示的数分别为-1和√3,AB=AC,则点C所表示的数为A.-2-√3B.-1-√3C.-2+√3D.I+√3【变式5-3】已知实数a,b在数轴上的位置如图所示：(2)若1+2|a|的平方根是±√7,2a+b-4的立方根是-2,求a+2b的算术平方根.【题型6实数的大小比较】【例6】实的大小关系是()A.B.C.【变式6-1】1,-2,0,√5这四个数中，绝对值最大的数是()【变式6-2】通过估算3,√11,V26,的大小为：(用“<“连接).小英的方法：,因为21<6²=36,所以√21-60,所(填“>”或“<”)输入输入x是无理数吗?是否A.-√2-5B.1C.-1是是是否否→y=-√x-【题型8新定义中的实数运算】这样对72只需进行3次操作后变为1,只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是4【变式8-1】用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a,b,都有a@b=√b+1,如8@9=√9+1,【变式8-2】若实数a,b满足a+b=6,我们就说a与b是关于6的“如意数”,则与3-√2是关于6的“如意数”是()A.3+√2B.3-√2C.9-√2D.9+√2【题型9实数运算的实际应用】种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗车速(单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离(单位：米),f表示摩擦系数.在一次交通实数·十大题型(学生版)【变式9-2】五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们.从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元(订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包).但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价(不含配送费)满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价(不含配送费)减免7元.当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多!”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用(包含配送费)最低可【变式9-3】如图，长方形ABCD的长为2cm,宽为Icm.(1)将长方形ABCD进行适当的分割(画出分割线),使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；(标出关键点和数据)(2)求所拼正方形的边长.【题型10实数运算中的规律探究】【例10】对于正整数a,我们规定：若a为奇数，则f(a)=3a+1:若a为偶数，若a=8,a₂=f(a),a₃=f(a₂),a₄=f(a₃)依此规律进行下去，得到一列数aγ,a₂,ag,a₄,…,ag,…,(n为正整数),a+a₂+a₃+...+a2022=【变式10-1】按一定规律排列的一列数√3,,其第8个数为()【变式10-2】已知整数a,a₂,a₃,a₄,…满足下列条件：a=0,a₂=-la+I|,a₃=-|a₂+2|,A.-1013B.-2023C.-2024D.-1012第1排第2排第3排第4排第5排;实数·十大题型(解析版)目录【题型1实数的概念理解】 1【题型2实数的运算】 【题型3估算无理数的大小】 【题型4估算无理数的整数部分或小数部分】 【题型5实数与数轴】 21【题型6实数的大小比较】 24【题型7程序设计中的实数运算】 26【题型8新定义中的实数运算】 【题型9实数运算的实际应用】 知识点1:实数正整数正整数有理数负整数有限小数或无限循环小数正无理数负无理数无限不循环小数叫做无理数.常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…(两个3之间依次多一个0).【题型1实数的概念理解】【例1】下列各数是无理数的是()【答案】C【分析】根据无理数的定义判断即可.D、√9=3,属于有理数：实数·十大题型(解析版)【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π,2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001...,等有这样规律的数，【变式1-1】把下列各数的序号分别填入相应的集合内：,②V2,③1-√4,④0,⑤-√0.4,⑥V-125,,⑧0..(相邻的两个3之间依次多1个0),⑨0.23,⑩3.14(1)整数集合：()(2)分数集合：()(3)无理数集合：()【答案】(1)③④⑥【分析】本题考查了有理数、实数和无理数的分类，熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题(1)根据整数的定义作答即可；(2)根据分数的定义作答即可；(3)根据无理数的定义作答即可，【详解】(1)解：③1-√4=1-2=-1是整数，④0是整数，⑥V-125=-5是整数，整数集合：③④⑥故答案为：③④⑥(2)是分数，⑨0.23是分数，⑩3.14是分数.故答案为：①⑨⑩(3)②√2是无理数，⑤-√0.4是无理数，是无理数，⑧0..(相邻的两个3之间依次多1个0)是无理数，无理数集合故答案为：②⑤⑦⑧【变式1-2】-√13的绝对值是,5-√26的相反数是【分析】本题是对绝对值和相反数知识的考查，熟练掌握实数知识是解决本题的关键。根据绝对值和相反数知识求解即可.实数·十大题型(解析版)5-√26的相反数是：-(5-√26)=-5+√26.【变式1-3】已知a,b都是有理数，且(√3-1)a+2b=√3+3,求a+b的值()【答案】C【分析】本题考查的是无理数的含义，二元一次方程组的解法，理解题意建立方程组解题是关键.由a,b都是有理数，且(√3-1)a+2b=√3+3,再建立方程组解题即可.【详解】解：∵(√3-1)a+2b=√3+3,∵a,b都是有理数，则a+b=1+2=3.故选：C.【题型2实数的运算】【例2】计算：【答案】0【分析】此题考查了实数的运算，原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用乘方的意义及乘法法则计算，第三项利用立方根定义及绝对值的代数意义化简，最后一项利用除法法则变形计算即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键，=0.【变式2-1】计算：实数·十大题型(解析版)【答案】(1)7【分析】本题考查了实数的运算，主要涉及算术平方根、立方根、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是关键；(1)分别计算算术平方根、立方根及乘方，再相加减即可；(2)计算绝对值后，再化简即可，【详解】(1)解：√9+(-I)²-√27+√36=-1.【变式2-2】计算：【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键，利用实数的运算法则计算即可.【详解】解：【变式2-3】计算：【答案】(1)0【分析】本题考查了实数的混合运算，结合算术平方根、立方根、乘方的知识，熟练掌握知识、正确计算是解题的关键.(1)先计算算术平方根，立方根，再加减计算即可；【详解】(1)解：原式=4-6+2(2)解：原=1.知识点2:估算法(1)若0≤a₁<a<a₂,则√a<√a<√a2;可得.实数·十大题型(解析版)即大正方形的边长最接近的整数是6,【变式3-1】估算√9+√I的运算结果应在哪两个整数之间()【答案】D的大致范围.【详解】解：∵9<11<16,故选：D.【变式3-2】在学习《估算》一课时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏，数值大的为赢家.小丽抽到的卡上写的是√6-1,小颖抽到的卡上写的是2,那么赢家是【答案】小颖【分析】估算出√6的大小，继而比较即可求解.【详解】解：∵4<6<9,故答案为：小颖.我们知道面积是2的正方形的边长是√2,易知√2>1.因此可设√2=1+x,画出如下示意图.略去x²,得方程2x+1=2.111xx1x1【答案】(1)2.25,见解析【分析】(1)参照题目的过程解题即可.【详解】(1)解：面积是5的正方形的边长是√5,设√5=2+x,如图，面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形，实数·十大题型(解析版)x4解故答案为：【点睛】本题主要考查用几何方法求无理数的近似值，能够读懂题意是解题关键.【题型4估算无理数的整数部分或小数部分】【例4】若a是√90的整数部分，b是√3的小数部分.则a+b-√3+1的平方根是【答案】±3/3和-3/-3和3【分析】根据9²<90<10²可得9<√90<10,即可得到√90的整数部分是9,小数部分是√90-9,即可求解，【详解】解：∵9²<90<10²,I²<3<2²∴√90的整数部分是9,则a=9,√3的小数部分是√3-1,则b=√3-1,∴9的平方根为±3.B.4-√6C.4【答案】B实数·十大题型(解析版)【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，先估算出2<√6<3,进而得到m=2,n=√6-2,据此代值计算即可.【详解】解：∵4<6<9,【变式4-2】若【x】表示实数x的整数部分，<x>表示实数x的小数部分，<√2>=√2-1,则<3-√3>+【√7】的值是()【答案】A【分析】估算出3-√3的小数部分和√7的整数部分，即可求解.【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键.【变式4-3】下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记.无理数的估算差就是小数部分.(3)任务三：x+y=10+√3,其中x是整数，且0<y<1,求2x-y的相反数.【答案】(1)√79-4解题关键.即4<√19<5,实数·十大题型(解析版)即3<√13<4,即1<√3<2,x是整数，且0<y<1,【题型5实数与数轴】【例5】如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1,若点E在数轴上，(点E在点A的右侧)且AB=AE,则点E所表示的数为()A.√7B.1+√7C.2+√7【答案】B【分析】本题考查了数轴与实数、算术平方根的应用，关键是结合题意求出AB=AE=√7.由题意可知，面积为7的正方形ABCD边长为√7,所以AB=√7,而AB=AE,得AE=√7,A点的坐标为1,故E点的坐标为1+√7.实数·十大题型(解析版)【详解】∵面积为7的正方形ABCD为7,∵A点表示的数为1,∴E点表示的数为1+√7,故选：B.【变式5-1】实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足a+b<0,ab<0,则原点所在的位置有可能是()【答案】C【分析】本题考查实数与数轴，能够根据题意分析出a与b的符号是解题的关键.根据ab<0可以得出a与b异号，再根据a+b<0可以得出负数的绝对值大于正数的绝对值，然后根据数轴的特点进行解题即可，【详解】解：∵ab<0,a与b异号，由数轴上观察可知：a<b,∴负数的绝对值大于正数的绝对值，∴C点由可能是原点.故选：C.【变式5-2】如图，数轴上A、B两点表示的数分别为-1和√3,AB=AC,则点C所表示的数为A.-2-√3B.-1-√3C.-2+√3D.1+√3【答案】A实数·十大题型(解析版)【分析】本题主要考查了求数轴上两点之间的距离.由于A,B两点表示的数分别为-1和√3,先根据对称点可以求出OC的长度，根据C在原点的左侧，进而可求出C的坐标.【详解】解：∵对称的两点到对称中心的距离相等，∴OC=2+√3,而C点在原点左侧，【变式5-3】已知实数a,b在数轴上的位置如图所示：(1)化简：a+b-√b²+2√a³;(2)若1+2|a|的平方根是±√7,2a+b-4的立方根是-2,求a+2b的算术平方根.【答案】(1)3a(2)a+2b算术平方根为1【分析】本题考查了通过数轴判断实数的大小，平方根，立方根，算术平方根的定义，熟练掌握平方根，立方根，算术平方根的定义是解题关键.(1)根据数轴判断出a<0<b,再根据算术平方根，立方根的定义进行化简即可；(2)根据题意可以求出a,b的值，再代入求出最后结果.【详解】(1)解：由数轴可知：a<0<b,解得：a=±3.又∵2a+b-4的立方根是-2,解得：b=2,实数·十大题型(解析版)【题型6实数的大小比较】【例6】实的大小关系是()【分析】本题考查了比较实数的大小，无理数的估算等知识.先估算!,√3≈1.732,即可得到进而得到【变式6-1】1,-2,0,√5这四个数中，绝对值最大的数是()A.1B.-2【分析】本题考查了实数大小比较、绝对值、算术平方根等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键.先求出各数的绝对值，然后再进行比较即可解答.∴1,-2,0,√5这四个数中，绝对值最大的数是√5,【变式6-2】通过估算3,V11,√26,的大小为：(用“<“连接).【详解】∵3²<11<4²,2³<26<33实数·十大题型(解析版)【点睛】本题主要考查实数的大小比较，估算一个数的算术平方根和立方根，是解题的关键.【变式6-3】数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解决这个问的大小.小明的方法：因为√21>4,所以√21-33,所(填“>”或“<”)小英的方法：因为21<6²=36,所以√21-60,所(填“>”或“<”)(1)将上述材料补充完成；(2)请从小明和小英的方法中选择一种比的大小.(2)见解析【分析】本题考查实数比大小，熟练掌握无理数之间比大小是解题的关键，根据题意把无理数变成有理数再比大小，即可得到答案，【详解】(1)解：小明的方法：∵√21>4,故答案为：<,<,<,<.(2)解：选小明的方法：【题型7程序设计中的实数运算】程.取算术平方根否是无理数吗?是是否【分析】本题主要考查了实数的运算，先求出-√2<-1,再根据流程图代值计【详解】解：∵1<2<4,是x≥0否否是(1)当输入的x值为-2时，求输出的y值；(3)若输出的y值是√3,直接写出x的负整数值.实数·十大题型(解析版)(2)1或2或3,理由见解析【分析】(1)根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可；(2)根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；(3)可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案.【详解】(1)解：当x=-2时，|-2-2|=4,4的算术平方根为√4=2,而2是有理数，2的算术平方根为√2,(2)解：1或2或3,理由如下：∵0的算术平方根是0,1的算术平方根是1,∴当x=1或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数；(3)解：若1次运算就是√3,则输入的数为-1;【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键.实数·十大题型(解析版)【题型8新定义中的实数运算】【例8】任何实数a,可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4,[√3]=1,现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1,只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是4【答案】255 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据算术平方根的意义得到[√255]=15,[√256]=16,进而得到对255只需进行3次操作后变成1,对256只需进行4次操作后变成1,据此可得答案.【详解】解：∵2²=4,4²=16,16²=256,∴对255只需进行3次操作后变成1.∴对256只需进行4次操作后变成1.∴只需进行3次操作后变成1的所有正整数中，最大的正整数是255.故答案为：255.【变式8-1】用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a,b,都有a@b=√b+1,如8@9=√9+1,则m@(m@9)的结果是【答案】3【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值.此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.【详解】解：根据题中的新定义得：m@(m@9)=m@(√9+1)=m@4=√4+1=3.故答案为：3.【变式8-2】若实数a,b满足a+b=6,我们就说a与b是关于6的“如意数”,则与3-√2是关于6的“如意数”是()A.3+√2B.3-√2C.9-√2【答案】A实数·十大题型(解析版)【分析】本题考查了新定义下的实数运算，准确理解新定义是解题的关键.直接根据“如意数”的概念进行求解即可.【详解】∵3-√2+(3+√2=6∴3-√2与3+√2是关于6的“如意数”.【变式8-3】用“·”表示一种新运算：对于任意正实数a-b=√a²+b,例如10-A.13B.7C.4【详解】解：∵a·b=√a²+b,【点睛】本题考查新定义，算术平方根，理解运用新运算是解题的关键.【题型9实数运算的实际应用】【例9】虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗(误差小于1米)?如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么?【答案】圆形广场围墙224.2米，正方形广场围墙253.0米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答.即：(负值舍去),当广场为正方形时，设正方形边长为a,则有：a²=4000,即：a=√4000(负值舍去),∴作为投资商，会选择建圆形花园.【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联【变式9-1】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v=16√df,其中v表示车速(单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离(单位：米),f表示摩擦系数.在一次交通事故中，经测量d=32米，f=2,请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了.【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度.【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16√df,求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答.【详解】解：把d=32,f=2代入v=16√df,∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度.【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算.【变式9-2】五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们.从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元(订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包).但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价(不含配送费)满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价(不含配送费)减免7元.实数·十大题型(解析版)当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多!”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用(包含配送费)最低可为元，【答案】25.2【分析】分别计算两种下单的方式，比较哪一种总费用更低即可.【详解】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶合计费用为：16+16+1.6-7=26.6元第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶合计费用为：(16+1.6-5)×2=25.2元故选择第二种更划算，最低费用为25.2元故答案为：25.2.【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关键。【变式9-3】如图，长方形ABCD