二项分布+高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.1二项分布第七章

随机变量及其分布研课标：▶内容要求

掌握二项分布：通过具体实例，理解伯努利试验，能利用n重伯努利试验的特征推导二项分布的分布列;能根据服从二项分布的随机变量的实际意义猜想出均值，并能由定义计算二项分布的均值，知道二项分布方差的表达式；会使用计算机软件计算分布列及概率

，并能解决简单的实际问题。▶思想方法要求:概率思想；特殊与一般；模型思想▶能力要求:抽象概括；推理论证；运算求解；数学建模研真题研真题研真题研真题研教材

二项分布是一类重要的概率模型，与伯努利试验、n重伯努利试验联系紧密。伯努利试验结果具有“对立性”，n重伯努利试验结果具有“不变性”和“独立性”，其上位知识是“两点分布”，从知识生成过程来看，二项分布是特殊概率问题的研究结果，其研究过程与简单随机抽样、样本空间、事件的关系与运算、概率的基本性质与运算、古典概型等基础知识联系紧密，体现了建立概率模型的一般研究路径“问题情境——归纳随机试验的特征——定义随机变量X——推导X的分布列——简单应用”。二项分布和超几何分布作为两个特殊的离散型随机变量的分布，在多数概率论与数理统计教科书中都是作为例子出现的，本套教科书的安排是，学习了离散型随机变量及其分布列、数字特征的一般性知识后，分别研究二项分布和超几何分布，一是体现其重要性，二是突出模型特征的抽象及分布列的推导过程，落实数学抽象和数学建模核心素养。研学情▶已有基础学生对随机试验、随机事件、事件的概率、分布列及其数字特征等概率知识已经具备；对于分析试验的样本空间，以及综合运用概率知识求解概率问题的一般方法，学生已经具备一定的基础。▶不足之处学生缺少从具体试验中提炼数学模型的意识与经验，需要教师的启发引导。研教学目标及重难点1.通过实例分析，抽象出伯努利试验的概念和n重伯努利试验的概念，并能准确理解几重伯努利试验的特征，在此过程中发展学生的数学抽象素养；2.创设情境，经历探究过程，应用概率运算法则、组合计数等知识，以及由一般到特殊的推理方法得出二项分布的定义，能运用二项分布模型解决一些简单的实际问题，在此过程中提升学生数学抽象、逻辑推理和数学运算等素养；3.根据实例的运算猜想出二项分布的期望、方差公式，并能运用相关知识推理证明猜想结果，在此过程中培养学生的直观想象和逻辑推理素养.研教学目标及重难点教学重点:n重伯努利试验的概念、二项分布模型的抽象，运用二项分布模型解决简单的实际问题。教学难点：n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式推导，二项分布模型的抽象，运用二项分布模型解决简单的实际问题。新课导入本节将研究两类重要的概率模型---二项分布和超几何分布.(1)P(A∪B)=P(A)+P(B)(当A与B互斥时);(3)P(AB)=P(A)·P(B|A)

前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义,这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型,吻合模型用公式去求概率简便.那么求概率还有什么模型呢？

特别地：

当A与B相互独立时，P(AB)=P(A)·P(B)新知探究问题1下列一次随机试验的共同点是什么？试验出现的结果共同点1、掷一枚硬币2、检验一件产品3、飞碟射击4、医学检验正面朝上；反面朝上合格；不合格中靶；脱靶阴性；阳性只包含两个结果我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.概念生成

n重伯努利试验

我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.n重伯努利试验具有如下共同特征:(1)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生；(2)每次试验是在同样条件下进行的；(3)每次试验是相互独立、互不影响的；(4)每次试验，某事件发生的概率是相同的。“重复”意味着各次试验的概率相同典例解析问题2下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少?(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次.(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.(3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.随机试验伯努利试验事件AP(A)重复试验的次数n各次试验是否独立关注的随机变量X(1)(2)(3)掷硬币正面朝上0.510是正面朝上的次数射击中靶0.83是中靶的次数有放回抽产品抽到次品0.0520是抽到次品的件数

在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，我们关注事件A发生的次数X.进一步地求它的概率分布列.设计意图：通过具体的试验共同特征的抽象，得出伯努利试验和n重伯努利试验的概念。并通具体试验明确n重伯努利试验中的关键参数。

（1）依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；（2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次；（3）口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中摸取5个球，恰好摸出4个白球．

概念辨析新知探究问题3

某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的?

新知探究问题3

某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的?用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1,2,3)，用下图的树状图表示试验的可能结果：试验结果X的值3次独立重复试验的结果两两互斥，每个结果都是由3个相互独立事件的积.则X的概率分布列为:P(X=0)你能求出剩下的概率吗？新知探究问题3

某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的?用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1,2,3)，则X的概率分布列为:P(X=0)P(X=1)P(X=2)P(X=3)=P(A1A2A3)=3×0.8×0.22=3×0.82×0.2=0.83于是,中靶次数X的分布列可简写为:

在上面的问题中，将一次射击看成做了一次试验，思考并回答下列问题：(1)一共进行了几次试验？每次试验有几种可能的结果？(2)如果将每次试验的两种结果分别称为“成功"(命中目标)和“失败"(没有命中目标)，那么每次试验成功的概率是多少？它们相同吗？(3)各次试验是否相互独立？在随机变量X的分布列的计算中，独立性具体应用在哪里？

【思考交流】新知探究独立，相互独立同时发生3次，两种.0.8，相同.问题4

如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些?写出中靶次数X的分布列.新知探究（1）连续射击4次，中靶次数X＝2的结果有共6个.(2)中靶次数X的分布列为

中靶次数X的分布列可简写为：二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

二项分布如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).概念生成设计意图：引导学生经历“具体实例的分析——本质特征的归纳”后，对于分布列的推导”经历从求解“连续3次投篮投中2次的概率”到“连续4次投篮投中k次的概率”到“连续n次投篮投中k次的概率”，由特殊到一般归纳出n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式引导学生思考和理解公式的一般化表达.随机变量X服从二项分布的三个前提条件：(1)每次试验都是在同一条件下进行的；(2)每一次试验都彼此相互独立；(3)每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生.只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算.典例解析问题5

如何判断一个随机变量X是否服从二项分布？巩固练习解：3（教材77页）.判断下列表述正确与否，并说明理由:(1)12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12,0.25)；(2)100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6,0.1).每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即X~B(3,0.6).(1)正确.理由如下：每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件.(2)错误.理由如下：概念辨析问题6

对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗?如果把p看成b

，1-p看成a

，则就是二项式定理[(1-p)+p]n的展开式的第k＋1项，由此才称为二项分布.服从二项分布的事件A恰好发生k次的概率正好是二项式定理展开式的第k＋1项，故有追问

二项分布和两点分布有什么联系？两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式.概念辨析二项分布的分布列如下表当n=1时，可以得到两点分布的分布列如右表：典例解析例1

（教材74页）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:(1)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率.解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5.用X表示事件A发生的次数，则X~B(10,0.5).(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为(1)恰好出现5次正面朝上的概率为重复掷硬币是最简单的n重伯努利试验例2：

思考问题1：伯努利试验是什么？问题2：事件A是什么？问题3：事件A发生的概率是多少？问题4：各次实验之间是否相互独立？问题5：重复试验的次数是多少？问题6：事件A发生的次数与落入格子

号码的对应关系是什么？问题7：X是否服从二项分布？例2：

归纳确定一个二项分布模型的步骤(1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；(2)确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n,p)．例3甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?解1：若采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0,3:1或3:2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.典例解析解2：若采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3,0.6)，所以甲最终获胜的概率为同理，若采用5局3胜制，则X~B(5,0.6)，所以甲最终获胜的概率为

例3甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?思考

为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率?采用3局2胜制赛满3局时,若前2局获胜,那第3局的胜负并不影响甲获胜;同样,采用5局3胜制赛满5局,若前3局获胜,那后2局的胜负并不影响甲获胜,若前4局胜3局,那第5局的胜负也不影响甲获胜.典例解析巩固练习课本77页解：2.鸡接种一种疫苗后,有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗,求:(1)没有鸡感染病毒的概率；(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.新知探究：二项分布的均值与方差问题7

假设随机变量X服从二项分布B(n,p),那么X的均值和方差各是什么?对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布外，我们还关心它的均值和方差等数字特征.因此,一个服从二项分布的随机变量，其方差和均值也是我们关心的.我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50次正面朝上.

根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X,我们猜想E(X)＝np.

新知探究：二项分布的均值与方差从简单开始,先考察n较小的情况.服从二项分布的随机变量X,我们猜想：E(X)＝np.

(1)当n＝1时,X服从两点分布,X分布列为

则有E(X)＝0×(1－p)+1×p＝pD(X)＝02×(1－p)+12×p－p2＝p(1－p)(2)当n＝2时,X分布列为

P(X＝0)＝(1－p)2,P(X＝1)＝2p(1－p),P(X＝2)＝p2E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2×p2＝2pD(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p)P(X＝0)＝1－p,P(X＝1)＝p,由此可猜想,

若X