空间向量及其加减运算高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第2章

空间向量与立体几何

2.2第1课时

空间向量及其加减运算在空间中，上述问题又是如何定义的呢？你还记得在平面向量中下列几个问题是怎么定义的吗？(1)什么叫向量？(2)什么是向量的长度(或模)?(3)什么叫零向量、单位向量、相反向量、相等向量？(4)向量的表示方法有哪些？3.零向量与单位向量：长度(模)为0的向量叫零向量长度为1个单位长度的向量叫单位向量4.相等向量：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量5.相反向量：

长度相等，方向相反的两个向量互为相反向量1.定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量，向量的大小叫做向量的模.2.表示方法：零向量的方向是任意的平面向量的基本概念AB大小方向大小有向线段|a|（一）空间向量的基本概念任意001相反－a相等例1

如图，在方体ABCD-A'B'C'D'中：（1）向量DC，A'B'，D'C'

与向量AB相等吗？（2）向量C'D'，CD，BA与向量A'B'相等吗？解：（1）由于DC，A'B'，D'C'

均与AB的方向相同、长度相等，因而它们均与AB相等．（2）由于C'D'，CD，BA的长度均与A'B'的长度相等，但方向相反，因而它们均是A'B的相反向量．OABACB平面向量的加法：平面向量的减法：三角形法则平行四边形法则三角形法则问题1：这两个法则对空间向量的加减是否也成立？（二）空间向量的加减法空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量．

如图，对于空间任意两个向量a，b，可以在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，从而将向量a，b

用同一平面OAB内的两条有向线段OA，OB来表示．

因此，我们可把平面两个向量的加减运算推广到空间两个向量，即平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则对空间向量也成立．

如图，对于空间任意两个向量a，b，作OA=

a，OB=

b，AC

=

b，则

a

＋b

=

OC，a－b

=

BA．平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则对空间向量也成立．问题2：对于空间中三个或更多的向量的求和如何进行呢？

对于空间三个或更多的向量的求和，虽然不一定能同时将这些向量都用同一个平面上的有向线段来表示，但与平面内多个向量的加法类似，可将它们依次用首尾相接的折线来表示，从而得到它们的和．

AB＋BC＋CD

=

AD．

如图，三个向量的和AB＋BC＋CD，其总的效果就是从A到D，因而（三）空间向量的加法运算律运算律加法交换律加法结合律加法交换律加法结合律

成立吗？平面向量空间向量议一议：类比平面向量的运算律，你能验证它们是否适用于空间向量吗？（1）加法交换律：（2）加法结合律：abca+b+cabca+b+ca+bb+c例2

如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，化简下列各式：

由此可知，三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量.例2如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，化简下列各式：

1.如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D'中，化简下列各式：练一练

练一练空间向量加法、减法运算的两个技巧:（1）巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.（2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.要点归纳（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：推广：（2）首尾相接的若干向量构成一个