直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第2章

空间向量与立体几何

2.4.2第3课时

直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行

设空间直线

l1，l2的方向向量分别为v1=(x1，y1，z1)，v2=(x2，y2，z2)，平面α1，α2的法向量分别为n1=(a1，b1，c1)，n2=(a2，b2，c2)，则位置关系向量表示图示向量运算坐标运算l1⊥l2v1⊥v2v1∙

v2=0x1x2＋y1y2＋z1z2

=0l1⊥α1v1//n1n1=k

v1

a1

=kx1

b1

=ky1

(k≠0)

c1

=kz1α1⊥α2n1⊥n2n1∙

n2=0a1a2＋b1b2＋c1c2

=0α1如果改为平行，你能写出向量运算和坐标运算吗

设空间直线

l1，l2的方向向量分别为v1=(x1，y1，z1)，v2=(x2，y2，z2)，平面α1，α2的法向量分别为n1=(a1，b1，c1)，n2=(a2，b2，c2)，则位置关系向量表示图示向量运算坐标运算l1//l2v1//v2l1//α1v1⊥

n1α1//α2n1

//n2直线与直线的平行位置关系直线与平面的平行位置关系平面与平面的平行位置关系利用向量运算判定直线的方向向量、平面的法向量例1已知不重合的两条直线

m，n和平面

α

都垂直．求证：m//n

．1．直线与直线平行证明：向量与平行判定定理:若两条不重合的直线垂直于同一平面，则这两条直线平行.判定定理：若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则该直线与平面平行.2．直线与平面平行例2已知

a

α，b⊂α，a//b．求证：a//α

．证明：（内外）线线平行，则线面平行.1.若直线l1和l2的方向向量分别是a=(1，-1，2)，b=(-2，2，-4)，则A.l1∥l2B.l1与l2相交C.l1与l2重合D.l1∥l2或l1与l2重合√解：∵b=-2a，∴l1与l2平行或重合.v1∥v2v2=kv1两直线平行的判定方法:设v1，v2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔

⇔∃k∈R，使得

.

提示：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点.求证：MN∥平面A1BD.

想一想：是否还有其他方法呢？2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点.求证：MN∥平面A1BD.

方法二：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示.

证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.方法三：(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示.(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法方法归纳3.平面与平面直线平行例3已知平面α1，α2，a与b是平面α1内两条相交的直线，且a//α2，b//α2．求证：α1//α2．证明：判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.必须要说明例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN//平面BDEF．证明：面面平行转化为线线平行例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN//平面BDEF．例4

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN//平面BDEF．例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN//平面BDEF．(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.(2)将面面平行转化为线线平行，然后用向量共线进行证明.方法归纳2.证明平面与平面平行的具体步骤：1.证明平面与平面平行的一般思路：1.线线平行的向量表示及其应用.2.线面平行的向量表示及其应用.3.面面平行的向量表示及其应用.针对以下关键词回顾本节课所学知识，谈谈你的收获.

解：∵v=-3(1，2，-2)=-3u，∴α∥β.1.设两个不重合的平面α，β的一个法向量分别为u=(1，2，-2)，v=(-3，-6，6)，则α，β的位置关系为

.平行解：∵u·v=(2，0，-1)·(-2，1，-4)=-4+0+4=0，∴u⊥v，∴l∥α或l⊂α.2.已知直线l的一个方向向量为u=(2，0，-1)，平面α的一个法向量为v=(-2，1，-4)，则l