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数值分析又叫计算方法、数值计算方法，什么是数值分析?（NumericalAnalysis）2026/4/5数学理论和计算机应用的紧密结合§1.1绪论2026/4/51.可行的数值方法有可计算性：面向计算机，根据计算机的特点提供有效的算法有低的计算复杂性：时间和空间的复杂性有可靠的理论分析：算法的稳定性、收敛性和误差分析只有满足这三个条件的算法，才是可行的！2026/4/51）可计算性符号计算超出了数值计算的范畴不具有可计算性2026/4/52）低的计算复杂性可行的算法!2026/4/53）可靠的理论分析稳定性收敛性误差分析理论可靠精度可达算法收敛数值稳定误差可析有的方法虽理论上不够严格,但实际计算、对比分析证实行之有效，也采用。例3计算2026/4/5造成这种情况的原因是：算法不稳定(初始数据误差在计算中传播使计算结果误差增长很快！)在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。2026/4/5对给定的数学问题，构造一个可行的数值方法。要求具有三个特点：可计算性低的计算复杂性可靠的理论分析数值分析的核心问题2026/4/52.本课程研究的范围•数值分析是科学与工程计算的基础，它研究在计算机上解决数学问题的理论和可行的数值方法。•数值分析要解决的数学问题：“高等数学”中的微积分计算“线性代数”中的矩阵计算，例如：线性方程组的求解，矩阵特征值计算，等等数值分析输入复杂问题或运算

计算机近似解数值分析解决的问题？2026/4/52026/4/5数值分析数值逼近数值代数插值法最佳逼近数值积分和数值微分求解线性方程组非线性方程的求根法代数特征值问题的数值解法微分方程数值解常（偏）微分方程数值解•泛函分析：在集合的基础上，把客观世界中研究对象抽象为元素和空间，建立空间到空间的映射。泛函分析将表面上彼此不相关的学科统一在它的普遍规律和共同框架之下。•空间到空间的映射：算子•空间到数集的映射：泛函特别地，数集到数集的映射——函数，函数空间到数集的映射——函数的函数什么是泛函分析？（FunctionalAnalysis）2026/4/5泛函分析与数值算法的关系2026/4/513构造数值算法的基本思想近似替代离散化递推化Chapter0Introduction14例415例516例62026/4/54.学习本课程的重要性数值分析是科学与工程计算的基础，它研究在计算机上解决数学问题的理论和可行的数值方法。数值分析是科学与工程计算的基础科学与工程计算是继理论分析和实验后的第三种科学研究手段科学与工程计算正在突飞猛进的发展学习“计算方法”需注意如下几点1.掌握算法的原理和思想。2.注意算法的处理技巧及与计算机结合,掌握步骤和计算公式。3.重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。4.做一定的理论分析证明与计算练习5.上机实践2026/4/5§2误差理论2026/4/52026/4/51.误差的来源与分类从实际问题中抽象(简化)出数学模型,模型与实际问题之间存在误差——模型误差通常假定模型合理，误差可忽略不计2026/4/5模型中有许多物理量，如温度、长度、电压、电流等，通过测量得到模型中参数的值，观测产生误差——观测误差观测误差是不可避免的，可根据测量工具的精度估计误差。2026/4/5采用数值方法求模型的近似解，近似解与精确解之间有误差——方法误差(或截断误差)这是数值分析中要研究的对象2026/4/5机器字长有限,数据在计算机中表示和计算过程产生误差——舍入误差2026/4/5大家一起猜？11/e解：将作Taylor展开后再积分S4R4取则称为截断误差|舍入误差|=0.747……由截去部分引起由留下部分引起2026/4/5例7记注：本课程“计算方法(数值分析)”主要研究截断误差和舍入误差在计算过程中的传播和对计算结果的影响，以提高计算的精度。2026/4/52.传播与积累“蝴蝶效应”

一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.

其原因在于：蝴蝶翅膀的运动,导致其身边的空气系统发生变化,并引起微弱气流的产生,而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化,由此引起连锁反映,最终导致其他系统的极大变化.

此效应说明,事物发展的结果,对初始条件具有极为敏感的依赖性,初始条件的极小偏差,将会引起结果的极大差异。2026/4/5例：计算公式一：记为则初始误差2026/4/5迅速积累,误差呈递增走势。可见初始的小扰动造成这种情况的原因是：算法不稳定(初始数据误差在计算中传播使计算结果误差增长很快！)2026/4/5公式二：注意此公式与公式一在理论上等价。可取误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法§1.2.2绝对误差与相对误差1、绝对误差、绝对误差限2026/4/5用一把有毫米的刻度的米尺,来测量桌子的长度,读出的长度x*=1235mm2026/4/52026/4/5有两根卷尺，X卷尺测量一根10ｍ长的圆钢时发生了0.5cm的误差，Ｙ卷尺测量10cm长的圆钢时发生了0.5cm的误差，绝对误差都是0.5cm，哪一个更精确？Ｘ卷尺更精确！决定一个量近似值的优劣，除了要考虑绝对误差的大小外，还应考虑准确值本身的大小！2026/4/5定义1.2.22、相对误差、相对误差限2026/4/5相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异。绝对误差限和相对误差限均无穷多，自然越小越好。误差估计的任务是提供好的误差限，误差限越小，数据越准确可靠。某一数据的准确值为x*,其近似值为x，x的相对误差:x的绝对误差:e(x)=x*-x如果存在一个适当小的正数,，使得分别称,为绝对误差限和相对误差限。数的浮点表示一台微机价格:￥4999.00,浮点数表示:0.4999×104地球半径:6378137m,(6.378137e+006)浮点数表示:0.6378137×107光速:2.99792458e+008浮点数表示:0.299792458×109尾数部阶码部取的有限位数如下(≈3.)取x1=3，误差限不超过0.5;取x2=3.14,误差限不超过0.005;若近似值x的绝对误差限是某一位上的半个单位，该位到x的第一位非零数字一共有n位，则称近似值x有n位有效数字.取x3=3.1416,误差限不超过0.00005;有效数字的概念注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效数字。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！38相对误差限有效数字有效数字位数越多，相对误差限也就越小！定理1.2.2一个有n位有效数字的数绝对误差限满足：相对误差限满足：解:a1=5,利用不等式所以,浮点数的有效数字位数至少应取3位。例已知的十进制浮点数第一位是5，要使近似值的相对误差限不大于0.1%，问浮点数的有效数字的位数至少应该为多少？取n≥3,有|er(x)|≤10-3其中,正负号占1位,尾数占52位,阶码占11位.尾数阶码双精度机器数占用64个二进制位单精度机器数占用32位二进制位例.圆面积计算的误差估计圆面积计算公式:全微分近似:取R=50cm,如果cm≈2×1%=2%≈157cm2,1.一元函数y=f(x)误差分析(准确值y*=f(x*))由Taylor公式同理:所以误差对函数计算的影响2.多元函数z=f(x1,x2,···,xn)误差分析(1)(3)(2)数据误差对算术运算影响例.二次方程x2–16x+1=0,取求使具有4位有效数解:直接计算x1≈8–7.937=0.063修改算法4位有效数计算出的x1具有两位有效数条件数很大的矩阵求逆求多项式值的秦九韶(Horner)算法输入x；a0，a1，…，anS←a0；u←1k从1到n循环u←x×uS←S+ak×u输出数据S；结束输入x；a0，a1，…，anS←ank从n到1循环S←ak－1+x×S输出数据S；结束秦九韶算法P(x)=a0+a1x+a2x2+······+anxn数值分析的特点：构造性近似性数值化结果泛函分析集合算子：空间数空间空间泛函：赋范线性空间函数：数空间数空间映射：集合空间集合赋范线性空间数空间小结：数值分析的产生、特点误差的产生、相关概念避免误差的若干原则泛函实际问题数学模型数值问题数值方法数值结果（解的存在性、唯一性、稳定性）高效可靠理论分析程序设计（泛函分析）（计算机）收敛性相容性稳定性计算时间存储量逻辑复杂度模型误差测量误差截断误差舍入误差2026/4/5作业1：课堂内容小结课后习题1~10第1.3.1节向量范数与矩阵范数西安电子科技大学向量范数矩阵范数赋范线性空间1:向量范数的定义向量范数如果向量的某个实值函数满足下列条件：则称是上的一个向量范数.称为∞－范数称为1－范数称为2－范数称为p－范数2:常用的向量范数向量范数在上的向量，三种常用的范数：解：例2：求全1向量的各种范数.解：向量范数例1：计算向量的各种范数.范数的连续性3:向量范数的性质定理1向量范数3:向量范数的性质定理2向量范数的等价性向量范数67以(3)为例证明，向量范数例3：向量范数称4:向量序列的收敛性定理3向量范数充分性证明:由向量范数等价性知道，只要对一种范数来证明，则对任一种范数都成立，为此取来证明.向量范数必要性由向量序列的收敛性定义可知定理3注：今后研究向量序列的收敛性时，可在任何一种范数意义下研究。小结向量范数定理：Rn上的任意两个向量范数等价.范数的等价性保证了运用具体范数研究收敛性在理论上的合法性和一般性向量范数的定义向量范数的性质1:矩阵范数的定义矩阵范数定义1如果A∈Rn×n的某个非负实值函数满足：(1)正定性：(2)正齐性：对任意实数(3)三角不等式：对任意(4)乘法不等式：则称为n阶矩阵A的范数。75验证：算子范数满足矩阵范数的4条公理及相容性条件.由定义可得显然，算子范数满足定义1中的条件（1）（2）现验证满足条件（3）（4）矩阵范数例1：证明不是矩阵的算子范数.反例：单位矩阵的F范数为说明不是矩阵的算子范数.矩阵范数称为∞－范数或行范数称为1－范数或列范数称为2－范数(其中λmax(ATA)表示ATA的最大特征值)称为F－范数矩阵范数常用的矩阵范数例2：计算A的各种范数.解：矩阵范数令即故最大的特征值为所以解得计算2-范数矩阵范数定理上的任意两种矩阵范数都是等价的.即对上的任意两种矩阵范数存在常数，使得矩阵范数的等价性例如矩阵范数小结范数的等价性保证了运用具体范数研究收敛性在理论上的合法性和一般性矩阵范数的定义矩阵范数的性质矩阵范数定理：上的任意两个矩阵范数等价.模Question:极限的存在性？极限点在原空间Cauchy列Key：把不在原空间的“极限点”补充进去空间完备化作业2：1.课堂小结2.课后作业第11~19题第1.3.2节内积空间§内积空间

§正交投影

§正交系

回顾-----内积空间两向量之间的夹角？元素的度量

1.3.1节-----赋范线性空间§内积空间K为实数域时，第二变元也是线性的内积诱导出的范数模yxyx+yx-y虚数单位利用Cauchy-Schwarz不等式求证复数取共轭x(t)x(t)+y(t)y(t)211x(t)-y(t)0t§正交投影内积空间中正交§正交系Gram-Schmidt正交化的基本想法:是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。作业3：1、课堂小结；2、课后作业第20题。第1.4节不动点原理1.不动点

2.压缩映射

3.不动点定理

1.不动点2.压缩映射yxbaab作业4小结第一章所学知识点第二章插值法2.1引言2.2Lagrange插值法2.3Newton插值法2.4Hermite插值法2.5分段低次插值法2.6样条插值法2.7二元函数插值方法一维插值二维插值函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据,即在某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)或者给出函数表y=f(x)xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn求解：y=f(x)在[a,b]上任一点处函数值的近似值？2.1引言引例机翼下轮廓线

求机翼下轮廓线上一点的近似值插值法(本章)拟合法(下一章)就是考虑到数据不一定准确，不要求近似表达式经过所有的点，而只要求在给定的上误差（i=0，1，…n）按某种标准最小。若记δ=(δ1,δ2,…,δn)T，就是要求向量δ的范数||δ||最小。根据f(x)在n+1个已知点的值，求一个足够光滑又比较简单的函数p(x)作为f(x)的近似表达式，插值法然后计算p(x)在[a,b]上点x处的函数值作为原来函数f(x)在此点函数值的近似值。代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数解决思路

(1.2)式称为插值条件，x2<⋯<xn≤b点上的值y0,y1,⋯,yn.若存在一简单函数p(x),使得p(xi)=yii=0,1,2,⋯,n(1.2)1、定义f(x)称为被插函数，[a,b]称为插值区间，称为插值节点，求p(x)的方法就是插值法。设函数f(x)在[a,b]上有定义，且已知在a≤x0<x1<成立,则称p(x)为f(x)的插值函数。近似计算f(x)的值、零点、极值点、导数、积分，插值函数p(x)在n+1个互异插值节点xi(i=0,1,…,n)处与f(xi)相等,在其它点x就用p(x)的值作为f(x)的近似值。这一过程称为插值，点x称为插值点。换句话说,插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。用p(x)的值作为f(x)的近似值,不仅希望p(x)能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单。最常用的插值函数是…?代数多项式用代数多项式作插值函数的插值称为多项式插值本章主要讨论的内容插值函数的类型有很多种插值问题插值法插值函数分段函数…三角多项式多项式和分段多项式计算简单，在工程计算中使用最多.x0x1x2x3x4xf(x)p(x)从几何上看曲线P(x)近似f(x)研究问题：（1）满足插值条件的P(x)是否存在唯一？（2）若满足插值条件的P(x)存在，如何构造P(x)？（3）如何估计用P(x)近似替代f(x)产生的误差？多项式插值存在？唯一？范德蒙行列式定理1.1.1(存在唯一性)：已知函数在上的则存在唯一的插值多项式使得个互异节点处的函数值注1：只要n+1个节点互异，满足插值条件的n次插值多项式是唯一存在的。注2：如果不限制多项式的次数，插值多项式不唯一或不存在。基本思想：在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数0(x),1(x),…,n(x),使pn(x)=a00(x)+a11(x)+…+ann（x)不同的基函数的选取导致不同的插值方法Lagrange插值Newton插值存在唯一性说明，满足插值条件的多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关。待定系数法：直接求解方程组的方法，计算复杂，工作量大。2.2.1线性插值（n=1，一次插值）求解L1(x)=a1x+a0使得L1(xi)=yi.(i=0,1)点斜式2.2拉格朗日插值法已知令点斜式则称为节点上的线性插值基函数。为f(x)的线性插值函数。节点上的线性插值基函数：只与节点有关L1(x)是两个线性函数的线性组合2.2.2抛物线插值（n=2，二次插值）求解L2(x)=a2x2+a1x+a0使得L2(xi)=yi,i=0,1,2.已知仿照线性插值函数的构造方法抛物插值满足其中要求均为二次多项式。设即由求构造L2(x)是三个二次函数的线性组合故同理插值多项式抛物插值多项式的求法抛物插值多项式例1求抛物插值函数，并求x=1.5处值。已知的函数表解：Joseph-LouisLagrange1736~1813法国数学家、物理学家分析其中满足2.2.3n次插值（拉格朗日插值多项式）多项式可使用上述类似方法。由组不同数据构造次上述多项式称为n次拉格朗日插值多项式。先求插值基函数然后构造插值多项式定理1（Lagrange）插值多项式通常次数=n,但特殊情形次数可<n,如：过三点的二次插值多项式x0x1xixi+1xn-1xny=f(x)y=L(x)ab在插值区间a,b上用插值多项式L(x)近似代替f(x),除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。若记R(x)=f(x)–L(x),则R(x)就是用L(x)近似代替f(x)时的截断误差,或称插值余项.我们可根据后面的定理来估计它的大小.2.2.4插值余项和误差估计设f(x)在[a,b]有n+1阶导数，则满足插值条件的n次定理2插值项式对任意，有插值余项且依赖于.其中证明：插值余项和误差估计注意余项表达式仅当存在时才能应用，且是唯一的。在(a,b)内的具体位置通常不能给出。n次插值多项式对次数不高于n次的多项式完全精确。若f(x)为次数不高于n次的多项式,从而Rn(x)=0.则f(n+1)(ξ)=0,y0xxkxk+1①线性插值：•n=1,2时的插值余项：y0x②抛物线插值：xk-1xkxk+1xi123yi0.36790.13530.0183作业5：1、课堂小结；2、课后作业第1、2、4、5、6、13题；3、数值实验题第2、4题。第1.3节牛顿插值法由组不同数据构造的次多项式其中拉格朗日插值多项式含义直观形式对称优点：缺点：增加一个节点时，全部基函数都需重新算过。公式不具有继承性，不利于编程。分析：在n次多项式空间中另找一组合适的基函数希望：每增加一个节点时，只需重算一个基函数Newton插值：系数是多少？疑问：kc容易求吗？差商(亦称均差)/*divideddifference*/差商表f(x3)x3f(x2)x2f(x1)x1f(x0)x0f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2]二阶差商f[x2,x3]f[x1,x2]f[x0,x1]一阶差商f(x)xf[x0,x1,x2,x3]三阶差商由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。(差商可用函数值的线性组合表示)：性质1(差商具有对称性)：性质2差商值与节点顺序无关(差商与导数的关系)：性质3Newton插值：系数是多少？疑问：kc容易求吗？Newton插值：…………(n)(n-1)…(2)(1)(1)(2)(3)(n)是n次多项式满足插值条件Newton插值：优点：每增加一个节点，只要再增加一项即可即有递推公式例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下二阶差商一阶差商三阶差商四阶差商例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例M3.m例M3.m例M3.m例M3.m例M3.m缺点：当插值点个数取得较多时，可能会使得插值多项式产生很大的扰动，进而导致插值余项不收敛，拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫Runge现象采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.例M3.m分段线性插值

xjxj-1xj+1x0xnxoy分段线性插值

xjxj-1xj+1x0xnxoy分段线性插值的余项例用分段线性插值法求插值.在[-6,6]中平均选取41个点作插值M4.m比分段线性插值更光滑

xyxi-1xiab在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。三次样条插值三次样条函数满足：在每个子区间上是一个三次多项式。(1)(2)在每个内节点上具有二阶连续导数。(3)三次样条插值例用三次样条插值选取11个基点计算插值M5.m用MATLAB作插值计算一维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，‘method’,‘extrap’)插值方法被插值点已知数据xi处的插值结果‘nearest’：最邻近插值‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：立方插值。‘pchip’：分段三次Hermite插值缺省时：分段线性插值。注意：所有插值方法都要求x是单调的例在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。M1.m

xy机翼下轮廓线例已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。M2.m设有一个年产240吨的食品加工厂,需要统计其生产费用,但由于该厂各项资料不全,无法统计。在这种情况下,统计部门收集了设备、生产能力和该厂大致相同的五个食品加工厂的产量与生产费用资料如下表：例M6.m如何根据已知五个食品加工厂的资料较准确地估计该厂的生产费用呢？作业6：

1、本节内容小结；

2、课后作业第3、7题；

3、数值实验题第1、3题。二维插值二维插值第一种（网格节点）第二种（散乱节点）

xyO

yx0二维插值的定义已知n个节点互不相同，构造一个二元函数通过全部已知节点,再用计算插值，即即注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。最邻近插值x

y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值即为所求。网格节点将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：

分片线性插值xy

(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)Of(xi,yj)=f1，f(xi+1,yj)=f2，f(xi+1,yj+1)=f3，f(xi,yj+1)=f4.网格节点f1f2f3f4分片线性插值xy

(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)O网格节点f1f2f3f4插值函数为：分两片第一片(下三角形区域)：(x,y)满足分片线性插值xy

(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)O网格节点f1f2f3f4插值函数为：分两片第二片(下三角形区域)：(x,y)满足注意：(x,y)应该是在插值节点所形成的矩形区域内。显然，分片线性插值函数是连续的。双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。双线性插值函数的形如：四个待定系数双线性插值x

y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O网格节点四个顶点（插值节点）的函数值四个方程要求：1.x0,y0单调；z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)被插值点插值方法用MATLAB作网格节点数据的插值插值节点被插值点的函数值‘nearest’最邻近插值‘linear’双线性插值‘cubic’双三次插值缺省时,双线性插值2.x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取为列向量；3.x,y的值分别不能超出x0,y0的范围。例：测得平板表面3*5网格点处的温度分别为：828180828479636165818484828586试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图.M7.m2．以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.画出插值后的温度分布曲面图.通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插值效果进行比较。M8.m第二种（散乱节点）：

yx0cz=griddata（x，y，z，cx，cy，‘method’）用MATLAB作散点数据的插值计算要求:cx取行向量，cy取为列向量。被插值点插值方法插值节点被插值点的函数值‘nearest’最邻近插值‘linear’双线性插值（缺省时）‘cubic’双三次插值第3章函数的最佳逼近

和

离散数据的最小二乘拟合3.1引言3.2内积空间中的最佳逼近

3.3函数的最佳平方逼近

3.4勒让德多项式和切比雪夫多项式3.5离散数据的最小二乘拟合3.6连续函数的最佳一致逼近多项式3.7曲面逼近

插值法:插值节点处误差为零，在其余点误差不一定小！本章目标:整体误差最小3.1引言构造一个(相对简单的)函数，通过全部节点,且可用求已知点处

回顾插值法已知数据有误差怎么办？引例1温度t(0C)20.532.751.073.095.7电阻R()7658268739421032已知热敏电阻数据：求600C时的电阻R。设R=at+ba,b为待定系数引例2。函数的最佳逼近涉及到两个问题：1.简单函数类的确定：2.误差度量标准：多项式函数，三角函数类，有限元子空间，边界元子空间等。度量整体误差的标准主要采用范数，不同的范数得到不同的逼近方法和逼近函数。3.2内积空间中的最佳逼近内积空间中的最佳逼近最佳逼近的误差估计3.3函数的最佳平方逼近求解最佳逼近元：子空间中基的选取很重要3.4勒让德多项式和切比雪夫多项式3.4.1勒让德多项式3.4.1勒让德多项式3.4.1勒让德多项式3.4.1勒让德多项式3.4.2切比雪夫多项式x0x1x2x3x4xS(x)f(x)3.5离散数据的最小二乘拟合76.3077.8079.2580.8082.3583.9085.1019.125.030.136.040.045.150.01234567取各点的权

76.3077.8079.2580.8082.3583.9085.1019.125.030.136.040.045.150.01234567

范数是由内积诱导出来时，对应的最佳逼近问题的本质是投影理论求最佳逼近的要点：3、求法方程1、空间(内积的定义)2、子空间中的基底作业7：1、本章小结；2、课后习题：第1、2、5、6、8、12、14题；3、数值实验题：第1-3题。第4章数值积分与数值微分

§4.1引言§4.2插值型求积公式及其性质

§4.3等距节点的牛顿—柯特斯求积公式及余项估计

§4.4复化求积法

§4.5龙贝格积分法

§4.6高斯型求积公式

§4.7数值微分

§4.8数字图像的导数与梯度§4.1引言

4.2插值型求积公式及其性质（4）求积公式的稳定性§4.3等距节点的牛顿—柯特斯公式及余项估计§4.4复化(合)求积法§4.5龙贝格积分法龙贝格(Romberg)算法§4.6Gauss型求积公式§4.7数值微分作业8：1.本章小结；2.课后习题：第1-3、4(1)、5-6、7(1)、8-14题；3.数值实验题：第1-3题。第5章线性方程组的数值解法线性方程组Ax=b的一般数值解法：适用于低阶稠密方程组非零元素较多，零元素较少适用于大型稀疏方程组上万阶，零元素很多，非零元素很少评价求解Ax=b数值方法好坏的标准：§5.2线性方程组的性态及条件数矩阵的基本运算(5)单位矩阵(1)矩阵加法(2)矩阵与标量的乘法(3)矩阵与矩阵乘法(4)转置矩阵(6)非奇异矩阵称为非奇异矩阵.如果均为非奇异矩阵，设如果则称是的逆矩阵，记为且则(7)矩阵的行列式设则的行列式可按任一行(或列)展开，其中为的代数余子式，即的余子式.为元素行列式性质矩阵的特征值与谱半径设若存在数（实数或复数）和非零向量，使（1）则称为的特征值，为对应的特征向量，称为矩阵的谱半径.（2）有非零解，由(1)知可使齐次线性方程组的全体特征值记为的谱，记作，即故系数行列式，记为矩阵的特征多项式，方程(3)称为矩阵的特征方程.（3）记行列式展开因为次代数方程复数域中有个根故故矩阵个特征值是它的特征方程(3)的个根.且（4）记（5）称为的迹.的特征值和特征向量的其他性质：(1)与有相同的特征值.(2)若非奇异，则的特征值为，特征向量为.(3)相似矩阵有相同的特征多项式.矩阵的特征方程为故特征值为2,2，-7例求的特征值及谱半径的谱半径为解设(1)对角矩阵(2)三对角矩阵(3)上三角矩阵(4)海森伯格（Hessenberg）阵(5)对称矩阵(6)埃尔米特矩阵(7)对称正定矩阵特殊矩阵(12)设矩阵，若且至少有一个不等式严格成立，则称矩阵为弱对角占优阵，对所有不等式严格成立，则称矩阵为严格对角占优阵。若(8)正交矩阵(9)酉矩阵(10)初等置换阵单位矩阵交换第行与第行(或交换第列与第列)(11)置换阵（为交换第行与第行得到的矩阵）；（为交换第列与第列得到的矩阵）；由初等置换阵的乘积得到的矩阵.定理1设则下述命题等价：(1)对任何方程组有唯一解.(2)齐次方程组只有唯一解.(4)存在.(5)的秩(3)或的特征值定理2设为对称矩阵.如果则为对称正定阵.定理3设为对称正定阵，则(1)为非奇异矩阵，且亦是对称正定阵.(2)记为的顺序主子阵，则亦是对称正定矩阵，其中(3)的特征值(4)的顺序主子式都大于零，即定理4(若尔当（Jordan）标准型)设为阶矩阵，则存在一个非奇异矩阵使得其中为若尔当块.(1)当的若当标准型中所有若尔当块均为一阶时，此标准型变成对角矩阵.(2)如果的特征值各不相同，则其若尔当标准型必为对角阵第5章线性方程组的数值解法§5.3Gauss消元法用消元法解方程组第2步.解第1步.得等价的三角形方程组解为上述过程相当于例1其中表示矩阵的第行.1)消元过程2026/4/5线性方程组的直接解法439Gauss消去法算法消元计算forforfor回代求解for2026/4/5线性方程组的直接解法440计算量/*AmountofComputation*/由于计算机中乘除/*multiplications/divisions*/运算的时间远远超过加减/*additions/subtractions*/运算的时间，故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。GaussianElimination:Stepk：设，计算因子且计算共进行n1步(nk)次(nk)2次(nk)次(nk)(nk+2)次消元乘除次数：1次(ni+1)次回代乘除次数：2026/4/5线性方程组的直接解法441计算量/*AmountofComputation*/由于计算机中乘除/*multiplications/divisions*/运算的时间远远超过加减/*additions/subtractions*/运算的时间，故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。GaussianElimination:Stepk：设，计算因子且计算共进行n1步(nk)(nk+2)次消元乘除次数：回代乘除次数：GaussianElimination的总乘除次数为，运算量为级。n=20时,顺序Gauss消去法需3060次乘除法运算.定理1设其中(1)如果将约化为等价的三角形方程组则可通过高斯消去法(2)如果为非奇异矩阵，则可通过高斯消去法(及交换两行的初等变换)将方程组约化为？矩阵在什么条件下才能保证归纳法当时，成立.设时结论成立，即证明:充分性.且有可用高斯消去法将约化到，有即定理2约化的主元素的充要条件是矩阵的顺序主子式即由假设推出必要性.例2求解方程组用4位浮点数进行计算.精确解舍入到4位有效数字为解法1用高斯消去法计算解显然计算解是一个很坏的结果，不能作为方程组的近似解.原因：在消元计算时用了小主元0.001，使得约化后的方程组元素数量级大大增长，经再舍入使得计算时发生了严重的相消情况，因此经消元后得到的三角形方程组就不准确了.解法2计算解为交换行，避免绝对值小的主元作除数.每一步选取系数矩阵(或消元后的低阶矩阵)中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值稳定性.第5章线性方程组的数值解法§5.4基于矩阵三角分解的方法5.4.1矩阵的三角分解第1步消元其中第2步消元其中一般第K步消元其中464条件:矩阵A经Gauss消元法后得到的上三角矩阵.Gauss消元法的矩阵表示上三角阵单位下三角求矩阵的LU分解。取变换矩阵则有再取变换矩阵例解：Doolittle分解中LU元素的求解次序A=LU三角分解的紧凑格式472对r=2,3,…,n,矩阵三角分解的紧凑格式例5用直接三角分解法即Doolittle分解法解解从而求解得求解得直接LU分解元素的存储475解解478练2用直接三角分解法解解479先求Ly=b得y再求Ux=y得x5.4.2平方根法和改进的平方根法上三角阵单位下三角实对称正定矩阵的平方根法487对称A为3阶对称正定阵,A=LLT,怎样求L?对称488例对下列矩阵进行Cholesky分解489A为n阶对称正定阵,A=LLTL中元素的求解次序依次求L的第一列,第二列,…,第n列.元素仍然存放在矩阵的相应位置上491求L的第一列求L的第二列对称正定阵A=LLT,求L的计算公式设已求得L的前k－1列,现求L的第k列(k=3,…,n)495例9求的Cholesky分解.解496解对称正定阵的LDLT分解中L,D的计算公式1(避免重复计算，便于编程)对称正定阵的LDLT分解中L,D的计算公式2Step1Step2Step3Stepn储存比消去法节省一半，但比平方根法多用一个单元内存对称正定阵的LDLT分解紧凑格式及存储对称正定阵的LDLT分解求方程组（改进平方根法）例10用LDLT解方程组解例10用LDLT解方程组或紧凑格式506对称正定阵的LDLT分解本质上是对A作Doolittle分解,即LU分解.LDLT分解中的D即LU分解中的U的对角部分LDLT分解中的L即LU分解中的L507对称正定矩阵A的LU分解,计算量可以节省一半求U的第1行求L的第1列对称正定阵的LDLT分解中L,D的计算先对对称正定阵A作LU分解508求U的第k行(k=2,3,…,n)求L的第k列(k=2,3,…,n)对称正定阵的LDLT分解中L,D的计算节省了计算量求D5.4.3三对角线性方程组的追赶法513例四阶三对角矩阵的三角分解（Gauss消去法）514例四阶三对角矩阵的三角分解单位下二对角阵上二对角阵516三对角矩阵三角分解中LU的求解次序517对k=3,…,n三对角矩阵三角分解中LU的求解右端用矩阵乘法展开,比较两边元素得追赶法追的过程:n-1赶的过程:2n-1乘除运算量2n－2系数矩阵为严格对角占优阵时,追赶法数值稳定计算过程中撇开系数中大量的零,使计算公式大大简化,减少了计算量.追赶法总的乘除运算量5n－4.线性方程组的直接法小结三角分解的计算过程Step1Step2Step3Step4Step5Step6Step2n-1Step2(n-1)依次交替进行再计算的列先计算的行存储杜利特尔分解/*DoolittleFactorization*/：对方程组求解,只要得到了系数矩阵的三角分解形式,再利用前代算法和回代算法解两个三角方程组即得.第5章线性方程组的数值解法对线性方程组要求寻找更经济、适用的数值解法.其中A为非奇异矩阵,当A为低阶稠密矩阵时,选主元消去法(直接法)是有效的.但对于大型稀疏矩阵方程组(A的阶数n很大104，但零元素较多),方程组的阶数很高,则运算量将会很大并且大量占用计算机资源.利用迭代法求解是合适的.§5.5雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法将介绍迭代法的一些基本理论及雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法，超松弛迭代法，而超松弛迭代法应用很广泛。则(1)式和(2)式同解,称(1)与(2)等价.例1求解方程组记为Ax=b，其中此方程组的精确解是x*=(3,2,1)T.现将(1.2)改写为迭代法的基本概念下面举简例，以便了解迭代法的思想.取x(0)=(0,0,0)T.将这些值代入(1.3)式右边(若(1.3)式为等式即求得方程组的解，但一般不满足)，得到新的值x(1)=(x1(1),x2(1),x3(1))T=(3.5,3,3)T，再将x(1)分量代入(1.3)式右边得到x(2)，反复利用这个计算程序，得到一向量序列其中k表示迭代次数(k=0,1,2,).迭代到第10次有一般的计算公式(迭代公式)从此例看出，由迭代法产生的向量序列x(k)逐步逼近方程组的精确解是x*=(3,2,1)T.即有对于任何一个方程组x=Bx+f(由Ax=b变形得到的等价方程组)，由迭代法产生的向量序列x(k)是否一定逐步逼近方程组的解x*呢？回答是不一定.请考虑用迭代法解下述方程组但x(k)并不是所有的都收敛到解x*！x*=(-3,-4)T这种方式就称为迭代法.以上过程称为迭代过程.迭代法产生一个序列则称迭代法收敛,否则称为发散.(3)如果对于任意其极限存在,即对线性方程组(2),采用以下迭代步骤:迭代法的基本思想是通过构造迭代格式产生迭代序列，由迭代序列来逼近原方程组的解，因此，要解决的基本问题有：1.如何构造迭代格式2.迭代序列是否收敛设线性方程组(1)的一般形式为Jacobi迭代G-S迭代SOR迭代法(4)5.5.1Jacobi迭代法由(4)建立Jacobi迭代公式为(5)将(5)式转化为矩阵形式矩阵形式为称(5)、(6)式为解线性方程组(1)的Jacobi迭代法(J法)(6)(5)用Jacobi迭代法求解方程组,误差不超过1e-4解:例2依此类推,得方程组满足精度的解为x12迭代次数为12次x4=3.02411.94780.9205d=0.1573x5=3.00031.98401.0010d=0.0914x6=2.99382.00001.0038d=0.0175x7=2.99902.00261.0031d=0.0059x8=3.00022.00060.9998d=0.0040x9=3.00031.99990.9997d=7.3612e-004x10=3.00001.99990.9999d=2.8918e-004x11=3.00002.00001.0000d=1.7669e-004x12=3.00002.00001.0000d=3.0647e-0055.5.2Gauss-Seidel迭代法分析Jacobi迭代法(5)的迭代过程称(7)、(8)式为解线性方程组(1)的Gauss-Seidel迭代法(G-S法)雅可比迭代法不使用变量的最新信息计算xi(k+1)，而由高斯-塞德尔迭代公式可知，计算x(k+1)的第i个分量xi(k+1)时，利用了已经计算出的最新分量xj(k+1)(j=1,2,,i-1).可看作雅可比迭代法的一种改进.高斯—塞德尔迭代公式每迭代一次只需计算一次矩阵与向量的乘法.G-S迭代法有一个明显的优点是：在计算时，只需一组工作单元，以便存放近似解.而J迭代法需要两组工作单元，分别存放和.例3解:用Gauss-Seidel迭代法求解方程组,误差不超过1e-4x1=2.50002.09091.2273d=3.4825x2=2.97732.02891.0041d=0.5305x3=3.00981.99680.9959d=0.0465x4=2.99981.99971.0002d=0.0112x5=2.99982.00011.0001d=3.9735e-004x6=3.00002.00001.0000d=1.9555e-004x7=3.00002.00001.0000d=1.1576e-005通过迭代,至第7步得到满足精度的解x7后面我们会看到，甚至有这样的方程组，Jacobi迭代收敛，而Gauss-Seidel迭代却是发散的.不能说G-S法比J法更好.从例2和例3看出,Gauss-Seidel迭代法的收敛速度比Jacobi迭代法要快（达到同样的精度所需迭代次数较少).但这个结论，在一定条件下才是对的.练习用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法解方程组Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代解：kx1(k)x2(k)x3(k)10.720.830.8420.9711.071.15…………111.0999931.1999931.299991121.0999981.1999981.299997取x(0)=(0,0,0)T计算结果如下：kx1(k)x2(k)x3(k)10.720.9021.1644…………81.0999981.1999991.3Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代5.5.3迭代法的收敛性设解线性方程组的迭代格式(10)(11)将(10)与(11)相减,得因此迭代法收敛的充要条件可转变为则定理(迭代法收敛的充要条件)迭代格式收敛的充要条件为(12)设Ax=b，其中A=D+L+U为非奇异矩阵,且对角矩阵D也奇异，则(1)解线性方程组的雅可比迭代法收敛的充要条件是(J)<1，其中J=-D-1(L+U).(2)解线性方程组的高斯-塞德尔迭代法收敛的充要条件是(G)<1，其中G=-(D+L)-1U.(3)雅可比迭代法收敛的充分条件是||J||<1.(4)高斯-塞德尔迭代法收敛的充分条件是||G||<1.由定理5.5.1和定理5.5.2可知解：方程组的迭代格式为取，问雅可比迭代法是否收敛？若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于10-6？例4：用雅可比方法解下列方程组迭代阵所以要保证各分量的误差绝对值小于10-6，需要迭代14次求迭代矩阵的谱半径，需要求迭代矩阵的特征值，对高阶矩阵是比较麻烦的。利用定理5.5.1去判别比较方便一些。但在科学及工程计算中，要求解的线性方程组Ax=b,其矩阵A常常具有某些特性.例如，A具有对角占优性质或A是对称正定矩阵等，根据这些矩阵的性质，可以比较方便地判别这些迭代法的收敛性。两种特殊情况1.A为严格(按行)对角占优阵2.A是对称正定矩阵定义5.5.3(对角占优阵)设A=(aij)n×n.如果A的元素满足称A为严格(按行)对角占优阵.矩阵A的每一行对角元素的绝对值都严格大于非对角元素绝对值之和定理5.5.3(对角占优定理)如果A=(aij)n×n为严格对角占优矩阵，则A为非奇异矩阵.定理5.5.4设方程组Ax=b，如果A为严格对角占优阵，则解Ax=b的Jacobi迭代法,Gauss-Seidel迭代法均收敛.证:(1)对于Jacobi迭代法,其迭代矩阵为根据定理5.5.1Jacobi迭代法收敛(2)对于G—S迭代法,其迭代矩阵为不能使用定理5.5.1,而用定理5.5.2.即从而因此由于可得矛盾由定理5.5.2知G—S迭代法收敛。定理5.5.5设矩阵A对称,且所有对角元素aii>0,则解线性方程组Ax=b的Jacobi迭代法收敛的充要条件是A及2D-A均为正定矩阵,其中D=(a11,…,ann).(2)解线性方程组Ax=b的Gauss-Seidel迭代法收敛的充分条件是A正定.如果线性方程组系数矩阵A对称正定，则有以下的收敛定理.例5已知方程组判断雅可比迭代法和高斯—塞德尔法的敛散性？所以A是正定矩阵.也是正定矩阵，故Jacobi迭代法收敛.再由A是对称正定矩阵，故Gauss—Seidel迭代法也收敛.又由于例6在线性方程组Ax=b中，证明：当-1/2<a<1时高斯-塞德尔法收敛，而雅可比法只在-1/2<a<1/2时才收敛.即A正定，所以当-1/2<a<1时高斯-赛德尔法收敛.证明因为当-1/2<a<1时，得A的顺序主子式对雅可比法迭代矩阵故只在(J)=|2a|<1，即|a|<1/2时雅可比法收敛.当a=0.8时,G-S法收敛，(J)=1.6>1，J法不收敛.Ax=b，例8判别下列方程组用J法和G-S法求解是否收敛因此不能用定理5.5.1，只能用定理5.5.2判断(1)Jacobi法的迭代矩阵解:即Jacobi迭代法收敛(2)Gauss-Seidel法的迭代矩阵同样用定理5.5.2判断即Gauss-Seidel迭代法发散该例说明G-S法发散时而J法却收敛！例9讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b时的收敛性，如果收敛，并比较哪种方法收敛较快，其中解:(1)对Jacobi