多边形内角和计算专题教案与练习题

多边形内角和计算专题教案与练习题一、教案部分（一）教学目标1.知识与技能：使学生理解多边形内角和公式的推导过程，并能熟练运用该公式计算任意多边形的内角和，以及解决与多边形内角和相关的简单问题。2.过程与方法：通过引导学生从三角形内角和入手，逐步探究四边形、五边形等多边形的内角和，培养学生的观察、猜想、归纳、推理能力和动手操作能力。3.情感态度与价值观：感受数学知识之间的内在联系与转化思想，激发学生学习数学的兴趣，培养学生合作探究的精神和严谨的治学态度。（二）教学重点与难点*教学重点：多边形内角和公式的推导及应用。*教学难点：多边形内角和公式的推导过程，尤其是理解“分割”思想将多边形转化为三角形的方法。（三）教学准备教师准备：直尺、量角器、不同边数的多边形纸片或模型（如四边形、五边形、六边形）。学生准备：直尺、量角器、练习本、草稿纸。（四）教学过程1.复习引入，提出问题*师：同学们，我们已经学习了三角形。谁能告诉大家三角形的内角和是多少度？我们是通过什么方法得到这个结论的？*生：（预设）三角形内角和是180度。可以通过测量、剪拼、折叠等方法验证。*师：非常好。我们知道，由三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是三角形。那么，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是什么？（生：四边形）五条呢？（生：五边形）以此类推，我们把由三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形统称为多边形。今天，我们就来深入探究多边形的内角和。（板书课题：多边形内角和）2.探究新知，推导公式*活动一：探究四边形内角和*师：我们已经知道三角形内角和是180度，那么大家猜一猜，任意一个四边形的内角和会是多少度呢？（引导学生大胆猜想）*师：光有猜想还不行，我们需要验证。请同学们拿出准备好的四边形纸片和工具，可以独立思考，也可以小组合作，看看能不能用类似于研究三角形内角和的方法，或者其他方法，求出四边形的内角和。*（学生活动，教师巡视指导，鼓励学生采用不同方法，如：测量求和、剪拼四个角拼成一个周角、连接对角线分割成三角形等。）*生：（预设汇报）*方法一：测量四个内角的度数，然后相加，结果大约是360度。*方法二：把四边形的四个角剪下来，拼在一起，正好形成一个周角，所以是360度。*方法三：连接四边形的一条对角线，把它分成了两个三角形。每个三角形内角和是180度，两个就是180°×2=360°。*师：同学们的方法都很棒！尤其是第三种方法，通过连接对角线，把我们不熟悉的四边形内角和问题转化成了我们熟悉的三角形内角和问题，这种“转化”的思想在数学学习中非常重要。（板书：四边形内角和=2×180°=360°，并画图示意分割过程）*活动二：探究五边形、六边形内角和*师：既然我们能用分割成三角形的方法求出四边形的内角和，那么这个方法能不能推广到五边形、六边形呢？请大家尝试用这种“分割”的方法，分别求出五边形和六边形的内角和。（可以画图示意，不必实际剪纸）*（学生独立思考或小组合作，完成后请学生代表上台画图讲解。）*生：（预设汇报）*五边形：从一个顶点出发，可以连接两条对角线，把五边形分成3个三角形。所以内角和是3×180°=540°。*六边形：从一个顶点出发，可以连接三条对角线，把六边形分成4个三角形。所以内角和是4×180°=720°。*（教师根据学生汇报，板书：五边形内角和=3×180°=540°，六边形内角和=4×180°=720°，并画图示意）*活动三：归纳总结n边形内角和公式*师：我们已经求出了三角形、四边形、五边形、六边形的内角和，并且都是通过从一个顶点出发引对角线，将其分割成若干个三角形来计算的。现在请大家观察下面的表格，思考多边形的边数与从一个顶点出发引对角线的条数、以及分割成的三角形个数之间有什么关系？多边形边数从一个顶点出发引对角线的条数分割成的三角形个数多边形内角和:---------:---------------------------:-----------------:-----------------3（三角形）011×180°4（四边形）122×180°5（五边形）233×180°6（六边形）344×180°............n？？？*师：（引导学生观察思考）从一个顶点出发引对角线，n边形能引几条？能分成几个三角形？*生：（讨论后回答）*从n边形一个顶点出发引的对角线条数，比边数少3。（因为不能向自身和相邻的两个顶点引对角线）所以是n-3条。*分割成的三角形个数，比边数少2。所以是n-2个。*师：非常好！那么，n边形的内角和应该如何表示呢？*生：n边形内角和=(n-2)×180°。（教师板书公式，并强调n为大于等于3的整数）*师：这个公式就是多边形内角和定理。我们通过从一个顶点引对角线，将多边形分割成(n-2)个三角形，从而巧妙地得出了这个结论。大家思考一下，从多边形内部任意一点出发连接各顶点，是不是也能得到同样的公式呢？（可以作为拓展思考，简单提示即可）3.巩固应用，深化理解*例题1：求七边形的内角和。*解：根据多边形内角和公式，n=7，所以内角和为(7-2)×180°=5×180°=900°。*答：七边形的内角和是900°。*例题2：一个多边形的内角和是1080°，它是几边形？*解：设这个多边形是n边形，根据题意得：*(n-2)×180°=1080°*n-2=1080°÷180°*n-2=6*n=8*答：它是八边形。*例题3：正五边形的每个内角是多少度？*师：什么是正五边形？（各边相等，各角也相等的五边形）*解：正五边形的内角和为(5-2)×180°=540°。因为各内角相等，所以每个内角的度数为540°÷5=108°。*答：正五边形的每个内角是108°。4.课堂练习，及时反馈*（1）求十边形的内角和。*（2）一个多边形的内角和是1440°，它是几边形？*（3）正六边形的每个内角是多少度？5.课堂小结，回顾升华*师：今天我们一起学习了多边形内角和，你有哪些收获？（引导学生从知识、方法、思想等方面总结）*我们学习了多边形内角和公式：(n-2)×180°。*我们通过“分割”的方法，将多边形转化为三角形，从而推导出公式，体会了“转化”的数学思想。*我们还能运用公式解决求内角和、判断多边形边数、求正多边形每个内角度数等问题。6.布置作业，拓展延伸*基础作业：完成练习题部分的“基础巩固”。*提高作业：完成练习题部分的“能力提升”。*思考题：一个多边形，除去一个内角外，其余各内角之和为2750°，求这个多边形的边数以及除去的那个内角的度数。（五）板书设计多边形内角和1.回顾：三角形内角和=180°2.探究：*四边形内角和：2×180°=360°（分割成2个三角形）*五边形内角和：3×180°=540°（分割成3个三角形）*六边形内角和：4×180°=720°（分割成4个三角形）3.公式：n边形内角和=(n-2)×180°（n≥3，n为整数）4.应用：*例1：七边形内角和=(7-2)×180°=900°*例2：(n-2)×180°=1080°→n=8*例3：正五边形每个内角=(5-2)×180°÷5=108°二、练习题部分（一）基础巩固1.填空题：*四边形的内角和是（）度。*一个多边形的内角和是1260°，它是（）边形。*正八边形的每个内角的度数是（）度。*若一个多边形从一个顶点出发可以引5条对角线，则这个多边形是（）边形，其内角和是（）度。2.判断题：*任意多边形的内角和都等于它的外角和的两倍。（）*一个多边形的边数每增加1，它的内角和就增加180°。（）*正多边形的每个内角都相等。（）3.计算题：*求十二边形的内角和。*一个多边形的内角和是2340°，求它的边数。*一个正多边形的每个内角是150°，求它的边数。（二）能力提升1.一个多边形的内角和比四边形的内角和多540°，这个多边形是几边形？2.在一个多边形中，它的内角最多可以有几个锐角？请说明理由。（提示：可以从外角和的角度考虑）3.如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，那么∠B与∠D有什么关系？请说明理由。（此处假设有一个简单的四边形示意图，标注ABCD四个顶点）4.一个多边形，它的内角和等于外角和的3倍，求这个多边形的边数。（三）综合应用1.已知一个多边形的每个内角都相等，且每个内角与它相邻的外角的差是90°，求这个多边形的边