2026人教版四年级数学下册第三单元 运算律 专项提升

2026人教版四年级数学下册第三单元运算律专项提升一、考点梳理本单元核心考点围绕加法、乘法运算律及减法、除法的简便运算展开，是小学阶段简便计算的基础，也是后续小数、分数运算的重要铺垫，主要考点如下，精准覆盖教材核心内容，贴合四年级学生认知水平：（一）加法运算律1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为：a+b=b+a。核心考点：判断算式是否运用加法交换律、运用交换律凑整计算、根据交换律填空。例如：35+48=48+35，既体现了交换律的本质，也是凑整计算的基础。2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为：a+b+c=a+（二）乘法运算律1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示为：a×b=b×a。核心考点：与加法交换律对比记忆、运用交换律凑整（如25与4、125与8）、填空及判断类题型。2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。用字母表示为：a×b×c=a×3.乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。用字母表示为：a+b×c=a×c+b×c，逆用形式为：a×c+b×c=（三）减法与除法的简便运算（运算性质）1.减法的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和；也可以交换减数的位置。用字母表示为：a−b−c=a−b+c、a−b−c=a−c−b2.除法的性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积；也可以交换除数的位置。用字母表示为：a÷b÷c=a÷b×c、a÷b÷c=a÷c÷b（四）易错考点补充1.运算律的混淆：如将乘法分配律与乘法结合律混淆，误将a×b×c写成a×c+b×c2.凑整误区：凑整时忽略运算符号，如将125×88误算成125×80+8，遗漏乘法；或去括号时，括号前是减号、除号却不变号。3.乘法分配律的拓展：两个数的差与一个数相乘，也可以运用分配律，即a−b×c=a×c−b×c，逆用形式为a×c−b×c=二、方法点拨本单元的核心解题方法是“凑整法”，所有运算律的运用最终都是为了将复杂计算转化为简单的整十、整百、整千数的运算，结合考点给出具体方法点拨，易懂、好记、可操作，贴合四年级学生的解题习惯：（一）加法运算律的运用方法1.观察数字特点：优先找能凑成整十、整百、整千的数（如15+85=100、23+77=100、46+54=100），若没有直接凑整的数，就通过交换律调整位置，再用结合律分组凑整。2.技巧口诀：“加法交换换位置，结合分组凑整数；连带符号一起移，和不变来算得快”。例如：计算247+165+53，先观察到247和53能凑成300，运用交换律将165和53交换位置，再用结合律分组计算，即(247+53)+165，快速得出结果465。3.易错提醒：交换加数位置时，要连带加数前面的“+”号一起移动，不能只移动数字；结合律分组时，要加上括号改变运算顺序，确保凑整的准确性。（二）乘法运算律的运用方法1.特殊凑整组合牢记：四年级核心凑整组合（必须熟练掌握）：25×4=100、125×8=1000、25×8=200、125×4=500，遇到这些数字组合，优先运用交换律、结合律凑整。2.乘法分配律运用技巧：（1）正向运用（展开）：当算式是“（两个数的和/差）×一个数”时，将这个数分别与括号里的两个数相乘，再相加/相减，注意不能漏乘括号里的任何一个数。例如：(40+8)×25=40×25+8×25，避免写成40×25+8。（2）逆向运用（提取公因数）：当算式是“两个乘法算式相加/相减，且有相同的因数”时，提取相同的因数，将剩下的两个数相加/相减，再与公因数相乘。例如：48×15+52×15，提取公因数15，转化为(48+52)×15，快速凑整计算。3.技巧口诀：“乘法交换换因数，结合凑整找特殊；分配律要分两边，提取公因式更简便；漏乘一点都不行，符号变化要牢记”。例如：计算125×72，将72拆分为8×9，利用125×8=1000，运用结合律计算(125×8)×9，得出结果9000；计算102×45，将102拆分为100+2，运用分配律展开为100×45+2×45，简化计算过程。（三）减法与除法简便运算的运用方法1.减法性质技巧：观察两个减数的和是否能凑整，若能，就用“被减数-两个减数的和”；若其中一个减数与被减数的末尾数字相同，可交换减数位置，简化计算。例如：628-367+72，可先交换367和72的位置，转化为628+72-367，先算628+72=700，再算700-367=333。2.除法性质技巧：观察两个除数的积是否能凑整，若能，就用“被除数÷两个除数的积”；若其中一个除数能整除被除数，可交换除数位置。例如：1000÷25÷4，25×4=100，转化为1000÷(25×4)=1000÷100=10，快速得出结果。3.易错提醒：去括号/添括号时，若括号前面是“-”或“÷”，括号里的运算符号要变号（“+”变“-”、“-”变“+”、“×”变“÷”、“÷”变“×”）；若括号前面是“+”或“×”，括号里的符号不变。例如：567-(167+123)，去括号后变为567-167-123，不能写成567-167+123；480÷(8×6)，去括号后变为480÷8÷6，不能写成480÷8×6。（四）通用解题步骤1.观察：观察算式中的数字特点和运算符号，判断是否能凑整、是否有相同因数、是否符合运算律或运算性质。2.选择：根据观察结果，选择合适的运算律或运算性质，确定简便计算的方法（凑整、提取公因数、去括号等）。3.计算：按照选择的方法进行计算，注意运算顺序和符号变化，避免漏算、错算。4.验证：计算完成后，用常规运算顺序验算一遍，确保结果正确。尤其是运用乘法分配律和去括号时，验算能有效避免错误。三、重难点讲解本单元的重点是掌握加法、乘法运算律的含义及字母表示，能运用运算律进行简便计算；难点是灵活运用乘法分配律（正向、逆向、拓展），区分不同运算律的适用场景，避免运算符号错误，结合典型例题拆解重难点，让学生易懂、会用：（一）重点讲解：运算律的核心含义与基础运用1.重点1：加法、乘法交换律——核心是“交换位置，结果不变”核心说明：交换律只改变数字的位置，不改变运算顺序，适用于两个数相加、相乘的算式，也可延伸到多个数相加、相乘（交换任意两个数的位置，和/积不变）。加法交换律和乘法交换律的逻辑一致，只是运算符号不同，可对比记忆，避免混淆。典型例题1：判断下列算式是否运用了加法交换律/乘法交换律。（1）35+65=65+35（运用了加法交换律）；（2）25×13×4=25×4×13（运用了乘法交换律）；（3）12+34+56=12+56+34（运用了加法交换律）；（4）15×(20×8)=15×(8×20)（运用了乘法交换律）。解题关键：看是否只交换了加数/因数的位置，运算顺序和结果是否不变，若有其他运算顺序的改变，则可能结合了结合律。2.重点2：加法、乘法结合律——核心是“改变顺序，结果不变”核心说明：结合律不改变数字的位置，只改变运算顺序，目的是将能凑整的数先计算，简化运算过程。加法结合律常与加法交换律结合使用，乘法结合律常与乘法交换律结合使用，尤其是遇到特殊凑整组合时。典型例题2：用简便方法计算下列算式。（1）207+136+93+64；（2）125×32×25。解析：（1）观察到207和93能凑成300，136和64能凑成200，先运用加法交换律调整位置，再用加法结合律分组计算：原式=(207+93)+(136+64)=300+200=500；（2）观察到125和8、25和4能凑整，将32拆分为8×4，运用乘法交换律和结合律分组计算：原式=125×(8×4)×25=(125×8)×(4×25)=1000×100=100000。解题关键：分组时要确保每组能凑整，分组后加上括号改变运算顺序，避免漏加括号导致运算顺序错误。3.重点3：减法、除法的运算性质——核心是“凑整简化，符号不变”核心说明：减法和除法没有交换律（不能随意交换减数、除数的位置，除非符合特定条件），但有简便运算性质，核心是通过“凑整”减少运算步骤，注意符号变化规则。典型例题3：用简便方法计算：（1）567-123-77；（2）480÷16÷3。解析：（1）123+77=200，运用减法性质，原式=567-(123+77)=567-200=367；（2）16×3=48，运用除法性质，原式=480÷(16×3)=480÷48=10。解题关键：判断两个减数/除数的和/积是否能凑整，若能，就运用运算性质简化，注意添括号时符号的变化。（二）难点讲解：乘法分配律的灵活运用（易错点突破）难点1：乘法分配律的正向运用（漏乘问题）核心易错点：计算“（a+b）×c”时，容易漏乘括号里的其中一个数，如将(20+4)×25算成20×25+4，导致结果错误。突破方法：牢记“分配律，分两边，两个数，都要乘”，计算时先把括号里的两个数分别与括号外的数相乘，再相加/相减，可在草稿纸上标注每一步的乘法，避免漏乘。典型例题4：计算(30+6)×15，正确解法：原式=30×15+6×15=450+90=540；错误解法：(30+6)×15=30×15+6=450+6=456（漏乘6×15），对比两种解法，明确漏乘的危害，强化“都要乘”的意识。难点2：乘法分配律的逆向运用（提取公因数）核心易错点：找不到相同的公因数，或提取公因数后，剩下的数忘记相加/相减；提取的因数不相同，强行提取导致错误。突破方法：先观察算式中两个乘法算式是否有相同的因数（公因数），若有，就将公因数提取出来，剩下的两个数相加/相减，再与公因数相乘；若没有明显的公因数，可观察是否有隐藏的公因数（如1，任何数都可以看作1×这个数）。典型例题5：计算45×12+55×12；13×99+13。解析：（1）两个乘法算式都有公因数12，提取12，原式=(45+55)×12=100×12=1200；（2）第二个13可看作13×1，提取公因数13，原式=13×(99+1)=13×100=1300。难点3：乘法分配律的拓展运用（两个数的差与一个数相乘）核心易错点：运用拓展形式时，符号容易出错，如将(50-2)×25算成50×25+2×25，混淆“和”与“差”的运算符号。突破方法：牢记拓展公式a−b×c=a×c−b×c典型例题6：计算(100-3)×45，正确解法：原式=100×45-3×45=4500-135=4365；错误解法：(100-3)×45=100×45+3×45=4500+135=4635（符号错误），通过对比，强化符号记忆。难点4：区分乘法分配律与乘法结合律核心易错点：将a×b×c与a+b突破方法：看运算符号——乘法结合律只有乘法，没有加法/减法；乘法分配律既有乘法，又有加法/减法（括号里是加法/减法，括号外是乘法）。口诀区分：“结合律，全是乘，分组凑整不变更；分配律，乘加/减，分别相乘再加减”。典型例题7：判断下列算式运用了哪种运算律：（1）(25×4)×8=25×(4×8)（乘法结合律，全是乘法）；（2）(25+4)×8=25×8+4×8（乘法分配律，有加法和乘法）。（三）重难点总结1.所有运算律的核心都是“凑整简化计算”，牢记特殊凑整组合，能快速找到简便方法；2.交换律（加法、乘法）改变位置，结合律（加法、乘法）改变顺序，二者常结合使用；3.乘法分配律是难点，重点突破“漏乘”“符号错误”“与结合律区分”三个易错点；4.减法、除法的简便运算，重点关注“去括号/添括号的符号变化”，避免符号错误；5.灵活运用的关键：先观察数字和符号，再选择合适的运算律，计算后及时验算。四、巩固提升训练（约2000字）本部分训练题贴合考点，分层设计（基础题、提升题、拓展题），覆盖所有核心知识点，侧重乘法分配律、运算性质的灵活运用，题量充足，解析详细，帮助学生巩固所学、突破易错点，每道题均贴合四年级学生的计算水平，避免超纲，同时注重解题方法的引导。（一）基础题（夯实基础，覆盖核心考点）1.填空：（1）根据加法交换律填空：38+56=（）+38；（）+72=72+49；a+15=（）+（）。（2）根据加法结合律填空：(25+36)+64=25+(（）+（）)；(a+b)+c=（）+(（）+（）)；18+（82+135）=（（）+（））+135。（3）根据乘法交换律填空：25×48=（）×25；125×（）=78×（）；a×b=（）×（）。（4）根据乘法结合律填空：(12×5)×8=12×(（）×（）)；(a×b)×c=（）×(（）×（）)；35×（25×4）=（（）×（））×4。（5）根据乘法分配律填空：(20+5)×4=（）×4+（）×4；36×(100-2)=（）×100-（）×2；a×(b+c)=（）×（）+（）×（）；45×12+55×12=（（）+（））×12。（6）根据减法/除法性质填空：567-123-77=567-(（）+（）)；780-256-244=780-(（）+（）)；480÷25÷4=480÷(（）×（）)；1000÷16÷5=1000÷(（）×（）)；a-b-c=（）-(（）+（）)；a÷b÷c=（）÷(（）×（）)。2.判断（对的打“√”，错的打“×”，并改正）：（1）125×(8×4)=125×8+125×4（）改正：________________________（2）35+46+54=35+(46+54)（）改正：________________________（3）(20+4)×25=20×25+4（）改正：________________________（4）780-120-80=780-(120-80)（）改正：________________________（5）45×99+45=45×(99+1)（）改正：________________________（6）1000÷25×4=1000÷(25×4)（）改正：________________________3.用简便方法计算下列算式（写出主要步骤）：（1）38+62+45+55（2）125+78+75（3）25×13×4（4）125×32（5）45×(20+2)（6）36×101-36（7）720-156-244（8）540÷18÷3（9）25×44（10）135+267+65+33（11）125×88（12）48×99（二）提升题（灵活运用，突破重点）1.用简便方法计算下列算式（侧重乘法分配律的灵活运用）：（1）125×(80+8)（2）(40-4)×25（3）35×99+35（4）67×101（5）48×12+52×12（6）75×36-25×36（7）125×72+125×28（8）(100+5)×24（9）99×45+45（10）102×38-2×38（11）36×(200+5)（12）56×101-562.脱式计算（要求用简便方法，写出步骤）：（1）25×48×125（2）38+175+62+25（3）780-235-165-80（4）450÷(9×5)（5）125×(8×4)×25（6）36×25+75×36（7）567-(167+123)（8）1000÷25÷4÷2（9）25×36+25×64（10）13×98+26（提示：26=13×2，提取公因数13）3.填空（侧重易错点）：（1）35×28+35×72=35×(（）+（）)，运用了（）运算律。（2）(a+b)×c=a×c+b×c，这是（）运算律，用文字表述为（）。（3）78×101=78×(100+1)=78×100+78×1，运用了（）运算律，避免漏乘（）。（4）560÷(8×7)=560÷（）÷（），运用了（）性质，括号前是“÷”，去括号后符号（）。（5）一个数连续减去两个数，等于这个数减去（），用字母表示为（）。（三）拓展题（突破难点，提升能力）1.用简便方法计算下列复杂算式：（1）19999+1998+1997+196+19+1（提示：将前四个数分别凑整，再减去多加的数）（2）25×125×32（提示：将32拆分为4×8，分别与25、125凑整）（3）36×999（提示：999=1000-1，运用乘法分配律）（4）45×12+45×28+45×60（提示：提取公因数45，将剩下的数相加）（5）1000-1-2-3-…-20（提示：运用减法性质，先求1+2+3+…+20的和，再用1000减去这个和）（6）125×888（提示：将888拆分为8×111，运用乘法结合律）（7）78×35+78×64+78（提示：78=78×1，提取公因数78）（8）(25+12)×40（运用乘法分配律，对比(25×12)×40，区分分配律与结合律）2.解决实际问题（运用运算律简化计算）：（1）学校购买30套桌椅，每套桌椅的价格是45元，其中每张桌子35元，每把椅子10元。一共需要多少元？（用两种方法解答，运用乘法分配律）（2）一批货物运往仓库，每箱装15千克，已经运了40箱，剩下的25箱还没运。这批货物一共有多少千克？（用简便方法计算）（3）四年级有2个班，每班42人，五年级有3个班，每班38人。两个年级一共有多少人？（用两种方法解答，运用乘法分配律）（4）李叔叔骑自行车旅行，后四天的行程计划如下：第四天骑115千米，第五天骑132千米，第六天骑118千米，第七天骑85千米。按照计划，李叔叔后四天一共要骑多少千米？（运用加法交换律和结合律）（5）一个车间要加工1250个零件，已经加工了250个，剩下的要在5天内完成，平均每天加工多少个？（用简便方法计算）（6）超市开展促销活动，每箱牛奶45元，买4箱送1箱。妈妈买了5箱牛奶，一共花了多少钱？（运用乘法分配律简化计算）（四）训练题解析与答案（详细拆解，帮助理解）基础题答案1.填空：（1）56；49；15；a（2）36；64；a；b；c；18；82（3）48；78；125；b；a（4）5；8；a；b；c；35；25（5）20；5；36；36；a；b；a；c；45；55（6）123；77；256；244；25；4；16；5；a；b；c；a；b；c2.判断：（1）×改正：125×(8×4)=125×8×4=1000×4=4000（混淆乘法结合律与分配律）（2）√（运用加法结合律）（3）×改正：(20+4)×25=20×25+4×25=500+100=600（漏乘4×25）（4）×改正：780-120-80=780-(120+80)=780-200=580（去括号符号错误）（5）√（运用乘法分配律逆用）（6）×改正：1000÷25×4=40×4=160（错误运用除法性质，只有连除才能添括号凑整）3.简便计算：（1）38+62+45+55=(38+62)+(45+55)=100+100=200（加法交换律+结合律）（2）125+78+75=125+75+78=200+78=278（加法交换律）（3）25×13×4=25×4×13=100×13=1300（乘法交换律）（4）125×32=125×8×4=1000×4=4000（乘法结合律，拆分32）（5）45×(20+2)=45×20+45×2=900+90=990（乘法分配律）（6）36×101-36=36×(101-1)=36×100=3600（乘法分配律逆用）（7）720-156-244=720-(156+244)=720-400=320（减法性质）（8）540÷18÷3=540÷(18×3)=540÷54=10（除法性质）（9）25×44=25×(40+4)=25×40+25×4=1000+100=1100（乘法分配律）（10）135+267+65+33=(135+65)+(267+33)=200+300=500（加法交换律+结合律）（11）125×88=125×8×11=1000×11=11000（乘法结合律，拆分88）（12）48×99=48×(100-1)=48×100-48×1=4800-48=4752（乘法分配律拓展）提升题答案1.简便计算：（1）125×(80+8)=125×80+125×8=10000+1000=11000（乘法分配律）（2）(40-4)×25=40×25-4×25=1000-100=900（乘法分配律拓展）（3）35×99+35=35×(99+1)=35×100=3500（乘法分配律逆用）（4）67×101=67×(100+1)=67×100+67×1=6700+67=6767（乘法分配律）（5）48×12+52×12=(48+52)×12=100×12=1200（乘法分配律逆用）（6）75×36-25×36=(75-25)×36=50×36=1800（乘法分配律拓展逆用）（7）125×72+125×28=125×(72+28)=125×100=12500（乘法分配律逆用）（8）(100+5)×24=100×24+5×24=2400+120=2520（乘法分配律）（9）99×45+45=45×(99+1)=45×100=4500（乘法分配律逆用）（10）102×38-2×38=(102-2)×38=100×38=3800（乘法分配律拓展逆用）（11）36×(200+5)=36×200+36×5=7200+180=7380（乘法分配律）（12）56×101-56=56×(101-1)=56×100=5600（乘法分配律逆用）2.脱式计算：（1）25×48×125=25×(6×8)×125=(25×6)×(8×125)=150×1000=150000（乘法交换律+结合律）（2）38+175+62+25=(38+62)+(175+25)=100+200=300（加法交换律+结合律）（3）780-235-165-80=(780-80)-(235+165)=700-400=300（减法性质+交换律）（4）450÷(9×5)=450÷9÷5=50÷5=10（除法性质）（5）125×(8×4)×25=(125×8)×(4×25)=1000×100=100000（乘法结合律）（6）36×25+75×36=36×(25+75)=36×100=3600（乘法分配律逆用）（7）567-(167+123)=567-167-123=400-123=277（减法性质）（8）1000÷25÷4÷2=1000÷(25×4×2)=1000÷200=5（除法性质）（9）25×36+25×64=25×(36+64)=25×100=2500（乘法分配律逆用）（10）13×98+26=13×98+13×2=13×(98+2)=13×100=1300（乘法分配律逆用，拆分26）3.填空：（1）28；72；乘法分配（2）乘法分配；两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加（3）乘法分配；78×1（4）8；7；除法；不变（5）这两个数的和；a-b-c=a-(b+c)拓展题答案1.复杂算式简便计算：（1）19999+1998+1997+196+19+1=(19999+1)+(1998+2)+(1997+3)+(196+4)+19-(2+3+4)=20000+2000+2000+200+19-9=24210（凑整法，先凑整再调整多加的数）（2）25×125×32=25×125×(4×8)=(25×4)