高一数学函数应用专题训练题

函数作为高中数学的核心内容，其应用贯穿于整个数学学习的始终，也是连接数学与现实世界的重要桥梁。掌握函数应用，关键在于理解如何将实际问题转化为数学模型，运用函数的性质进行分析和求解。本专题训练将通过一系列具有代表性的题目，帮助同学们深化对函数概念的理解，提升运用函数思想解决实际问题的能力。一、生活中的优化问题题目1某商店经营一种小商品，已知成批购进时单价为2元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是10元时，销售量为100件，而单价每降低1元，就可多售出20件。设销售单价为x元（x为整数，且x≤10），销售量为y件。（1）求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。（2）若设销售利润为w元，写出w与x之间的函数关系式。（3）销售单价定为多少元时，才能获得最大利润？最大利润是多少？题目2用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米。设这个矩形的宽为x米，面积为S平方米。（1）求S与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。（2）当x取何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？二、运动变化与函数模型题目3一辆汽车在平直的公路上由静止开始匀加速行驶，经过一段时间后，汽车的速度达到v（单位：米/秒），之后以这个速度匀速行驶一段时间，最后匀减速行驶直至停止。若汽车从启动到停止的总时间为t（单位：秒），行驶的总路程为s（单位：米）。已知匀加速阶段的加速度大小为a（单位：米/秒²），匀减速阶段的加速度大小为0.5a。（1）若v=10，a=1，试写出汽车在整个行驶过程中，速度u（米/秒）与时间t（秒）之间的函数关系式（无需考虑总时间t的具体值，只需分段表示）。（2）在（1）的条件下，若汽车匀加速行驶的时间为10秒，匀速行驶的时间为20秒，匀减速行驶的时间为20秒，求汽车行驶的总路程s。题目4一个物体从高处自由落下，经过t秒后的位移s（单位：米）可以用公式s=4.9t²来近似表示。若物体从某一高度落下，经过3秒落地。（1）求该物体下落的高度。（2）求物体在下落最后1秒内的位移。三、经济与决策问题题目5某公司生产一种产品，每年投入的固定成本为10万元，每生产一单位产品，成本增加20元。已知该产品的年销售量y（单位：千件）与销售单价x（单位：元/件）之间的关系近似满足y=-0.1x+6。（1）写出该公司年总成本C（单位：万元）与年产量y（单位：千件）之间的函数关系式。（2）写出该公司年利润L（单位：万元）与销售单价x（单位：元/件）之间的函数关系式（年利润=年销售额-年总成本）。（3）当销售单价为多少元时，该公司可获得最大年利润？最大年利润是多少？（结果精确到0.1）解答与分析题目1解析（1）由题意，单价每降低1元，销量增加20件。当单价为x元时，相比10元降低了(10-x)元，故销售量y=100+20(10-x)=-20x+300。自变量x的取值需满足x≤10，且销售量y≥0，即-20x+300≥0，解得x≤15。综合得x≤10，又x为单价，应为正数，故x的取值范围是0<x≤10，且x为整数。（2）销售利润w=(销售单价-购进单价)×销售量=(x-2)y=(x-2)(-20x+300)=-20x²+340x-600。（3）w=-20x²+340x-600是开口向下的二次函数，对称轴为x=-b/(2a)=340/(40)=8.5。因为x为整数，且8.5在取值范围内，故当x=8或x=9时，w取得最大值。当x=8时，w=(8-2)(-160+300)=6×140=840元；当x=9时，w=(9-2)(-180+300)=7×120=840元。故销售单价定为8元或9元时，最大利润为840元。题目2解析（1）设矩形宽为x米，因为一边靠墙，故篱笆只围三边。若靠墙的一边为长，则长为(30-2x)米。由墙长18米，得30-2x≤18，解得x≥6；同时，长需为正数，30-2x>0，解得x<15。故x的取值范围是6≤x<15。面积S=x(30-2x)=-2x²+30x。（2）S=-2x²+30x是开口向下的二次函数，对称轴为x=30/4=7.5。7.5在取值范围6≤x<15内，故当x=7.5米时，S取得最大值。S_max=-2(7.5)²+30×7.5=-112.5+225=112.5平方米。此时长为30-2×7.5=15米，小于墙长18米，符合题意。题目3解析（1）汽车行驶分为三个阶段：匀加速阶段：初速度为0，加速度a=1m/s²，末速度v=10m/s。根据v=v0+at，此阶段时间t1=(v-0)/a=10秒。速度与时间关系为u=t(0≤t≤10)。匀速阶段：速度保持v=10m/s，若此阶段时间为t2，则u=10(10<t≤10+t2)。匀减速阶段：加速度大小为0.5a=0.5m/s²，末速度为0。根据v=v0-at，此阶段时间t3=v/a=10/0.5=20秒。速度与时间关系为u=10-0.5(t-(10+t2))(10+t2<t≤10+t2+20)。（注：题目（1）未给出各阶段具体时间，故函数关系式需以阶段划分，上述为结合（2）中数据的完整表达式思路）（2）总路程s为三个阶段位移之和。匀加速阶段位移：s1=(0+10)/2×10=50米（平均速度×时间）。匀速阶段位移：s2=10×20=200米。匀减速阶段位移：s3=(10+0)/2×20=100米。总路程s=50+200+100=350米。题目4解析（1）将t=3代入s=4.9t²，得下落高度s=4.9×9=44.1米。（2）最后1秒即第3秒内的位移，等于前3秒位移减去前2秒位移。前2秒位移s2=4.9×(2)²=19.6米。故最后1秒位移Δs=s3-s2=44.1-19.6=24.5米。题目5解析（1）年总成本C=固定成本+可变成本。固定成本10万元，可变成本为20元/件×产量。产量y千件=1000y件，故可变成本为20×1000y元=2y万元。因此，C=10+2y（万元）。（2）年销售额=销售单价x元/件×销售量y千件×1000件/千件=x×1000y元=0.1xy万元。年利润L=年销售额-年总成本=0.1xy-(10+2y)。又y=-0.1x+6，代入得L=0.1x(-0.1x+6)-(10+2(-0.1x+6))=-0.01x²+0.6x-(10-0.2x+12)=-0.01x²+0.6x-22+0.2x=-0.01x²+0.8x-22。（3）L=-0.01x²+0.8x-22是开口向下的二次函数，对称轴x=-b/(2a)=-0.8/(2×(-0.01))=40。当x=40元时，L_max=-0.01×(40)²+0.8×40-22=-16+32-22=-6？显然有误，检查计算：重新计算L=0.1x(-0.1x+6)-(10+2y)，其中y=-0.1x+6，故2y=-0.2x+12，所以：L=0.1x(-0.1x+6)-10-(-0.2x+12)=-0.01x²+0.6x-10+0.2x-12=-0.01x²+0.8x-22。没错。代入x=40：L=-0.01*(1600)+0.8*40-22=-16+32-22=-6。这显然不符合实际，问题出在单位换算！关键纠错：销售量y是“千件”，故年销售额应为x元/件×y千件×1000件/千件=x*y*1000元=x*y*0.1万元（因为1万元=____元）。之前的“0.1xy万元”是正确的（x元/件*y千件=x*1000y元=x*y*1000/____万元=0.1xy万元）。可变成本：20元/件*1000y件=____y元=2y万元，正确。但利润为负，说明模型中可能隐含x的取值范围。y=-0.1x+6≥0→x≤60。同时x>0。对称轴x=40在(0,60)内。计算结果为负，说明题目所给参数（固定成本10万，可变成本20元/件）下，该模型下利润为负，即亏损。这在数学上是可能的，反映了经营风险。若题目数据无误，则最大利润即为x=40时的-6万元（即最小亏损6万元）。（注：实际题目可能会调整数据使利润为正，此处按给定数据计算，强调过程的重要性。）解题策略与总结解决函数应用问题，核心在于“数学建模”：1.审题与抽象：仔细阅读题目，明确已知条件和所求目标，将文字信息转化为数学符号和数量关系。关键在于找出问题中的变量（自变量、因变量）及其相互依赖关系。2.建立函数模型：根据问题的性质（如匀速变化、最值问题、增长衰减等），选择合适的函数类型（一次函数、二次函数、分段函数等），并根据题意列出函数关系式。注意单位统一和自变量的实际取值范围。3.求解与分析：运用函数的性质（单调性、最值、奇偶性等）求解数学模型。对于二次函数，常利用顶点公式或配方法求最值；对于分段函数，需分段讨论。4.验证与回归：将数学结果回归到实际问