青海西宁2025-2026学年下学期高三数学3月质量检测（含答案）

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学(三)全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1+2i22A.-1B.1C.iD.−i2.已知集合A=y∣y=2x3A.4B.2C.2D.13.已知向量a=1,m,b=1+tA.−1,+∞B.−∞,−1C.4.已知0<α<π,且cosA.−23C.23D.5.将函数fx=−x−13log52x−2+1A.B.C.D.6.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，一条平行于x轴的光线l1从点P8,−5射入，经过C上的点A反射，再经过C上另一点B反射后射出经过点A.325B.C.4D.1647.如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放1个、2个、3个花盆，形成三角形排列,其中有虚线连接的2个花盆为“相邻花盆”,现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有D.72种D.cA.18种B.32种C.54种8.已知85>A.a<b<c二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.设数列an的前n项和为Sn,且aA.若an为等差数列,则B.若an为等差数列,则C.若an为等比数列,则D.若an为等比数列,则10.已知函数fx=A.ωB.函数fx图象的对称中心为C.当x∈0,π24时,D.不等式fx+fx11.已知双曲线C:x28−y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,A.若MN=6,则点M在以FB.△MF1F2C.在C上不存在一点P,使得点P与点M关于点2,2D.过点M作C的两条渐近线的垂线,垂足分别为R,S,则MR⋅MS为定值89三、填空题:本题共312.已知命题p:∀x∈R,ax2−3x13.花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现有一花灯(如图1所示)，其直观图如图2所示，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为30 cm和20 cm，其侧面积为15002 cm2图1图214.若曲线y=ln2x与曲线y=mx恰好有3四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D为AB延长线上的一点，∠(1)若BD=2，求△(2)若CD=23，求16.(本小题满分15分)某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示:月份2025年10月2025年11月2025年12月2026年1月2026年2月月份代码x12345月销量y(单位:千台)810132024(1)求出y与x的相关系数r(保留三位小数)，并根据r判断该款迎宾机器人月销量y与月份代码x是否有较强的相关关系；(当r∈0.75,1时，相关性较强，当(2)求出y关于x的经验回归方程y=bx+a(3)假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴.已知甲、乙两家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为p，3p−1 13<p<2参考公式:相关系数r=i参考数据:i=1517.(本小题满分15分)如图，在五面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD,EF//平面ABCD,(1)求证:AB//CD(2)点P为棱CD上靠近点D的三等分点,求二面角C−FB18.(本小题满分17分)已知椭圆C:x2a2+(1)求C的方程；(2)已知C的左、右顶点分别为A,B，直线l与C相交于D，E两点(D，E均不在x轴上)，分别记直线AD，BD，AE的斜率为k1，k2(i)求证:k1(ii)若k3=3k219.(本小题满分17分)已知函数fx(1)求gx在区间[0(2)证明:k=1(3)若存在x∈[0,+∞)，使得fx+g数学(三)一、选择题1.B由题得z=1+2i22.A由已知得A=−2,2,若A=B,则B= −a3.A由题得a⋅b=1+t−m2=04.C由题得cosβcosα−β+sinβsinβ−α= cosβ5.B由题得gx=−x3log52x,易知函数的定义域为{x∣x≠0},又g−x=x3log5−2x=6.D由题得F2,0,设直线AB的方程为x=my+2,Ax1,y1,Bx2,y2,由y2=8x,x=my+2,消去x,得y2−8my−16=0,所以y1+y2=8m,y17.C记上层花盆为A,中层花盆从左到右依次为B1,B2,下层花盆从左到右依次为C1,C2,C3.由题可知A有3种颜色可选，当B1，B2同色时，有2种颜色可选，C1，C2，C3各有2种颜色可选，其中C1，C2，C3同色时有2种颜色可选，此时花盆摆放的不同方式有3×2×2×2×2−2=36种;当B1,B2不同色时,B1有2种颜色可选,B2只有1种颜色可选,则C1有2种颜色可选，8.Bc=log318=1log331,因为85>313,两边取以8为底的对数可得5>log8313=3log831⇒log831< 53,又因为83=二、选择题9.AB对于A,若an为等差数列,则a4= a2+a62=34,故A正确;对于B,若an为等差数列,则公差d=a6−a24=15,则an=4+15n−2= 15n−26,于是Sn=na1+an2=15n2−37n2,故B正确;对于C,若an为等比数列,则10.BCD对于A,设函数的最小正周期为T,则有T=πω=π8−−3π8⇒ω=2,由函数的图象可知2×π8+φ=π2+kπ,k∈Z,则kπ4k∈Z,即fx图象的对称中心为−π8+kπ4,0k∈Z,B正确;对于C,当4tan2xfx+fx≥43,得tan2x+π4≥3,其中x11.ABD对于A,由题意可作图如下:由双曲线C:x28−y2=1,则a2=8,b2=1,即c= a2+b2=3,由MN=6,且点M,N关于原点O对称,则OM=3设△MF1F2的内心为P,圆P为△MF1F2的内切圆,且A,B,D分别为MF1,MF2,F1F2的切点,则AF1=DF1,AM=BM,BF2= DF2,由MF1−MF2=AM+AF1 −BM+BF2=F1D−F2D=2a,设DxD,0,则xD+3−3−xD=42,解得xD=22,易知P三、填空题12.920,+∞ax2−3x≥−5可化为ax2− 3x+5≥0,当a=0时,原不等式为−3x13.475015设正棱台的斜高为d,高为h,则由其侧面积为15002 cm2,可得12× 30+20×d×6=15002⇒d14.−12e,0设公切线为l,Px1,y1是l与fx=mx的切点,Qx2,y2是l与gx= ln2x的切点,f′x=−mx2,g′x=1x,所以l的方程为y−y1=−mx12x−x1,因为y1=mx1,整理得y=−mx12x+2mx1,同理y−y2=1x2x−x2,因为y2= ln2x2,整理得y=1x2x+ln2x2−1.依题意两条直线重合,可得−mx12=1x2①2mx1=ln2x2−1②，两式相除得−12x1=1x2ln2x2−1,所以x1= −x2ln2x2−1四、解答题15.解:(1)在△BCD中,根据正弦定理可得BD即sinD由∠CBD为钝角，得D所以D=45所以∠ABC所以AB==22(2)因为CD=23，在cos∠BCD=解得BD=2则∠D则∠ABC则在△ABC中,AB=所以△ACD的面积为S=16.解:(1)x=1又i=1则r=42故y与x有较强的相关关系.(4分)(2)δ=a故经验回归方程为y=4.2x2026年7月对应的x值为10,当x=10时,故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为4.44万台.(9分)(3)设甲、乙两商户购买迎宾机器人的个数之和为X,则X的所有可能取值为0,1,2,则PXPXP∴EX∵4p−1×2000∴1故p的取值范围为13,17.解:(1)在五面体ABCDEF中，EF//平面ABCD，EF⊂平面CDEF,平面ABCD∩平面CDEF=CD,同理可证AB//所以AB//CD(2)取AD的中点O，BC的中点M，连接OE，OM，易得EO⊥因为平面ADE⊥平面ABCD,平面ADE∩平面ABCD=AD,所以CD⊥平面ADE因为DE，EO⊂平面ADE所以CD⊥DE因为OM//所以OM⊥则以O为坐标原点,以OA,OM,OE所在直线分别为x,可得B1,4则CB=设平面BCF的法向量为n=则n⋅取z1=3,可得所以n=−设平面PBF的法向量为m=则m⋅取z2=3,可得所以m=−所以cos⟨m,n⟩=m所以二面角P−BF−C的正弦值为18.解:(1)由题意，点P1−2,2和P3根据椭圆的对称性且椭圆过其中的三个点可知,点P1−2,2又因为点P32,2与点所以椭圆过点P1−2,故a2所以C的方程为x28(2)(i)由题意得A−2设Dx由Dx1,y1在椭圆C即y1所以k1⋅(ii)设Ex由题得直线DE的斜率不为0,设直线DE的方程为x由x28+y2所以Δ=4且y1+由①知k1⋅又k3所以k1所以y1即y1化简得y1将y1+得n2解得n=−22或当n=−22时,直线DE过点A当n=−2时,满足Δ=8所以直线DE:x=my−219.解:(1)由题得g′所以gx在[0所以gx≥g0=0,当所以gx在区间[0,+∞)上的值域为(4分)(2)由(1)知.当x>0时，所以k=ln=ln要证k=