11.1 不等式 解析版

.1不等式【考点梳理】考点一：不等式的定义考点二：不等式的解集考点三：不等式的性质考点三：不等式的参数问题考点四：不等式的综合性问题【知识梳理】知识点一、不等式及其解集不等式：用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，不等号包括：≥、≤、>、<、≠不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫不等式的解.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。知识点二：不等式解集的表示方法：第一种:用式子(如x>3),即用最简形式的不等式(如x>a或x<a)来表示.第二种:利用数轴表示不等式的解集.用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律:大于向右画,小于向左画;有等号(≥,≤)画实心点,无等号(>,<)画空心圆.知识点三、不等式的性质性质1：如果a>b,那么a+c>b+c或a-c>b-c即：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc(或)即：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。性质3：如果a>b，c<0，那么ac<bc（或）即：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。【题型探究】题型一：不等式的定义1．（23-24七年级下·全国）下列式子中，不等式的个数有（

）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【分析】本题考查的是不等式的定义：用不等号（、、、、）连接起来表示不等关系的式子叫做不等式．掌握基本定义是解决这类基础题目的关键，根据不等式的定义判断即可．【详解】解：①，是不等式，②是不等式，③是代数式，④是不等式，⑤是等式，⑥是不等式，⑦是等式，⑧是不等式，⑨是不等式，则不等式的有①②④⑥⑧⑨一共6个，故选：D2．（24-25七年级下·上海崇明）下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（

）个．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题考查不等式的概念：用不等号连接的式子，理解不等式的概念是解题的关键．根据不等式的概念判定即可．【详解】解：③没有不等号，不是不等式，④是等式，则不等式有①，②；⑤，一共有3个，故选：B．3．（2025七年级下·上海）下列数学表达式中，不等式有（

）．①；②；③；④；⑤；⑥．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键熟练掌握用不等号连接的式子是不等式．据此逐个判定即可．【详解】解：不等式有①⑤⑥，共3个．故选：B．题型二：不等式的解集4．（24-25七年级下·全国）下列说法正确的是（

）A．是不等式的解 B．是不等式的解集C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解【答案】D【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可．【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确；B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确；C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确；D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确；故选D．5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）当时，下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了不等式的解集，熟练掌握该知识点是解题的关键．把分别代四个选项中，一一验证不等式两边是否成立，即可判断出答案．【详解】解：A、时，，故不符合题意；B、时，，故不符合题意；C、时，，故不符合题意；D、时，，故符合题意；故选：D．6．（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（

）A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解【答案】D【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案．【详解】解：解不等式，可得．A.由于，故不是不等式的解，故选项错误；B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误；C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误；D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确；故选D．题型三：不等式的性质7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列不等式变形正确的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得（） D．由，得【答案】B【分析】本题考查不等式的性质，由不等式的性质逐项验证即可得到答案，熟记不等式性质是解决问题的关键．【详解】解：A、由，根据不等式性质可得，选项错误，不符合题意；B、由，得，选项正确，符合题意；C、由，若，则，原选项错误，不符合题意；D、由，若，，则，选项错误，不符合题意．故选：B．8．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知，下列结论中成立的是（

）A． B．C．若，则 D．【答案】D【分析】本题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．【详解】解：当时，A、，该选项错误；B、，该选项错误；C、若，则，该选项错误；D、，，该选项计算正确；故选：D9．（24-25七年级下·广西贵港·阶段练习）下列说法不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】此题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质逐项进行判断，即得答案．【详解】A.若，则，∴A正确；

B.若，则当时，，∴B不正确；C.若，则，∴C正确；D.若，则，∴D正确．故选：B．题型四：不等式的参数问题10．（2025·福建泉州·模拟预测）已知三个实数，满足，，，则（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】本题主要考查了不等式的性质以及整式的性质．根据，可整理得到，，再结合即可得到，．【详解】解：∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，，故选：B．11．（24-25七年级下·湖北·期中）若，且是两个连续整数，则的值为．【答案】5【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，代数式求值，掌握无理数的估算方法是解题关键．利用夹逼法求出，，再代入计算求值即可．【详解】解：，，，，，，故答案为：5．12．（23-24七年级下·全国·课后作业）用“”或“”填空：（1）；

（2）；（3）若，则有，；（4）若，则，．【答案】【分析】本题考查了不等式的基本性质；熟记不等式的基本性质是解决问题的关键．根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【详解】解：（1），，故答案为：；（2），，故答案为：；（3），，，，故答案为：，；（4），，，，故答案为：，．题型五：不等式的综合性问题13．（23-24七年级下·全国）判断下列各题的推导是否正确，并说明理由．(1)因为，所以；(2)因为，所以；(3)因为，所以；(4)因为，所以．【答案】(1)正确，理由见详解(2)正确，理由见详解(3)正确，理由见详解(4)正确，理由见详解【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质为：性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变．（1）根据不等式的性质3，即可获得答案；（2）不等号两边同时减去8，根据不等式的性质1，即可获得答案；（3）不等号两边同时除以4，根据不等式的性质2，即可获得答案；（4）不等号两边同时加上，根据不等式的性质1，即可获得答案．【详解】（1）解：正确，不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变；（2）解：正确，不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变；（3）解：正确，不等式的两边同乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（4）解：正确，不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号方向不变．14．（23-24七年级下·全国）用不等式表示：(1)b与2的和小于；(2)x的一半与3的差不大于5；(3)a的绝对值不小于它本身；(4)m的6倍与3的和是非负数；(5)x与y两数和的平方不小于7；(6)a的n倍大于．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】本题主要考查了列不等式，根据题意列出不等式即可．（1）根据题意列出不等式即可．（2）根据不大于即小于和等于列出不等式即可．（3）根据不小于即大于和等于列出不等式即可．（4）根据非负数为大于等于0列出不等式即可．（5）根据不小于即大于和等于列出不等式即可．（6）根据题意列出不等式即可．【详解】（1）解：b与2的和小于，即．（2）解：x的一半与3的差不大于5，即．（3）解：a的绝对值不小于它本身，即．（4）解：m的6倍与3的和是非负数，即．（5）解：x与y两数和的平方不小于7，即．（6）解：a的n倍大于，即．15．（24-25七年级下·福建福州）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．请解答：(1)的整数部分为，小数部分为．(2)已知：的小数部分为，的整数部分为，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确估算的前提，理解不等式的性质是得出答案的关键．（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可；（2）估算无理数，的大小，确定a、b的值，再代入计算即可．【详解】（1）解：∵，即，∴的整数部分为6，小数部分为；（2）解：∵，∴，，，∴的小数部分，的整数部分为，∴，答：的值为．【双基达标】一、单选题1．（24-25八年级下·重庆长寿）下列各式中，是不等式的有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】本题考查了不等式的定义，理解并掌握不等式的定义是解题的关键．由不等号“”连接的式子即为不等式即可求解．【详解】解：根据不等式的定义可得，②；③；④；⑥是不等式，共4个，故选：C．2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知实数x，y满足，，则下列判断正确的是：（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要查了不等式的性质．根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故A，B选项错误，不符合题意；∵，∴，∵，∴，∴，，故C选项正确，符合题意；D选项错误，不符合题意；故选：C．3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知是实数，，那么下列不等式中，不一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了不等式的性质，掌握在不等式两边同时加或减去同一个数或整式，不等号方向不变；两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．根据不等式性质对各选项进行一一分析判断即可．【详解】解：A.∵，∴，故该选项成立，不符合题意；B.∵，∴，故该选项成立，不符合题意；C.∵，∴，故该选项成立，不符合题意；D.∵，∴只有当时，，故该选项不一定成立，符合题意；故选：D．4．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知，下列各式中不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可．【详解】解：A、∵，∴，正确，不符合题意；B、∵，∴，∴，正确，不符合题意；C、∵，∴，正确，不符合题意；D、时与可能相等，也可能，，故错误，符合题意，故选：D．5．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）实数在数轴上的对应点可能是（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】C【分析】本题考查无理数的估算，用数轴上的点表示实数，不等式的性质，正确进行无理数的估算是解题的关键．先得出，再根据不等式的性质得到，即可判断．【详解】解：∵，即，∴，∴实数在数轴上的对应点可能是点，故选：C．6．（23-24七年级下·全国）设，有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中，成立的个数有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质进行判断即可．【详解】解：∵，∴，，，，，∴式子①②④⑤成立，共4个．故选：D7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变；不等式的性质2：不等式两边同时乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；不等式的性质3：不等式两边同时乘（或除）以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的基本性质进行判断即可求解．【详解】解：∵，∴，，，，故选项A正确，选项B、C、D错误，故选：A．8．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）已知，则下列不等式一定不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质1：把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可．【详解】解：A．∵，∴，故A符合题意；B．∵，，∴，故B不符合题意；C．∵，∴，故C不符合题意；D．∵，∴，故D不符合题意．故选：A．9．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）下列表述正确的是（

）A．如果且，那么B．如果，那么C．如果，且，那么D．如果，那么【答案】C【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质即可求解判断，掌握不等式的性质是解题的关键．【详解】解：A、，，则，所以，故选项不符合题意；B、，则，故选项不符合题意；C、，，则，所以，故选项符合题意；D、，时，，故选项不符合题意；故选：C．10．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）若规定符号表示一个数的整数部分，例如，那么；，那么，按此规定，的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题考查无理数的估算，以及不等式性质，解题的关键在于理解表示的意义．根据无理数的估算得到的整数取值范围，再结合不等式性质得到的整数取值范围，即可解题．【详解】解：，，，即，故选：B．二、填空题11．（23-24七年级下·全国）有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤．其中，属于不等式是（填序号）．【答案】①②⑤【分析】本题考查不等式的判断，根据用不等号连接的式子叫做不等式，进行判断即可．【详解】解：①；②；③；④；⑤中①②⑤是不等式，③是等式，④是代数式；故答案为：①②⑤．12．（23-24七年级下·全国）将物体P，Q，R，S放在天平上，静止后情况如图所示．它们质量的大小关系是．【答案】【分析】先根据图示可得不等式组，求解即可．本题考查了不等式的性质，解题关键是不等式组中出现的等式也可类似解方程组的方法，使用代入法求解．【详解】解：根据图示可知，由①②得④，把④代入③得，∴．故答案为：．13．（23-24七年级下·全国）用“”或“”填空：（1）若，则；

（2）若，则；（3）若，则0；（4）若，则；（5）若，则ab；（6）若，则．【答案】【分析】本题主要考查了不等式的性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质为：性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变．（1）根据不等式的性质1，即可获得答案；（2）不等号两边同时减去6，根据不等式的性质1，即可获得答案；（3）不等号两边同时加上1，根据不等式的性质1，即可获得答案；（4）根据不等式的性质3，即可获得答案；（5）根据不等式的性质2，即可获得答案；（6）若，根据不等式的性质3，可得，再在不等号两边同时加上1，结合不等式的性质1，即可获得答案；．【详解】解：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则0；（4）若，则；（5）若，则ab；（6）若，则．故答案为：；；；；；．14．（23-24七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系内，有一个动点，若点P到x轴的距离为m，到y轴距离为n，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查点到坐标轴的距离，绝对值和的最小值，运用分类讨论解答是解题的关键．根据题意得到，，得到，从而分类讨论求解即可．【详解】解：∵，其中a为任意实数，m，n分别表示点P到x轴和y轴的距离，∴，，∴，∴的最小值即为的最小值，∴①当时，；②当时，，∵，∴；③当时，；综上，，∴的最小值为，故答案为：．15．（24-25八年级下·江西九江）关于的不等式的解集是，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了不等式的解集．关键是通过观察不等式的解集，由不等式性质2，判断x的系数的符号．由不等式的基本性质2：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变．可判断的符号，再求a的取值范围．【详解】解：由不等式，解集为，可知，不等号方向没有改变，由不等式性质2，得，解得，故答案为：．三、解答题16．（23-24七年级下·全国）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)52；(7)．【答案】(1)既不是等式也不是不等式(2)是不等式(3)是等式(4)是不等式(5)是等式(6)既不是等式也不是不等式(7)是不等式【分析】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子．【详解】（1）解：既不是等式也不是不等式；（2）解：是不等式；（3）解：是等式；（4）解：是不等式；（5）解：是等式；（6）解：52既不是等式也不是不等式（7）解：是不等式．17．（23-24七年级下·全国）用不等式表示下列数量之间的关系：(1)哥哥存款x元，弟弟存款y元，兄弟二人的存款总数少于2000元；(2)长为，宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积；(3)一列动车有n节车厢，每节车厢有100个座位．在五一期间，这列动车上有m个人，其中有一些人没有座位．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题重点考查根据实际问题列不等关系（1）根据题意直接列出不等式即可．（2）根据长方形以及正方形的面积列出不等式即可．（3）根据总座位数为，以及有一些人没有座位即人数大于座位上列出不等式即可．【详解】（1）解：根据题意可知：（2）解：根据题意可知：（3）解：根据题意可知：18．（24-25七年级下·全国）阅读下列解题过程，再解题．已知，试比较与的大小．解：①②故③问：(1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误；(2)请写出正确的解题过程．【答案】(1)②(2)见解析【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．（1）根据不等式的性质求解即可；（2）根据不等式的性质求解即可．【详解】（1）解：上述解题过程中，从第②步开始出现错误，故答案为：②；（2）解：正确的解题过程如下：，．19．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）小明在比较与的大小时，采用一种不同的方法，写出如下的解题过程：因为，所以，所以．(1)这种比较大小的方法通常称作作差法，过程中由得到，即由得到的理论是______；(2)利用上述方法比较与的大小；(3)利用上述方法比较与的大小．【答案】(1)不等式的基本性质1(2)(3)当，即时，；当，即时，；当，即时，【分析】本题主要考查不等式的性质、实数的大小比较及整式的加减运算，熟练掌握不等式的性质、实数的大小比较及整式的加减运算是解题的关键；（1）根据不等式的性质可进行求解；（2）由题意可得，然后进行作差，进而问题可求解；（3）作差可得，然后对a的值进行分类讨论即可求解【详解】（1）解