山西省吕梁市2025-2026学年高三第二次模拟调研测试数学+答案

2025-2026学年高三第二次模拟调研测试

数学试题

(本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的

指定位置上。

2.答题时使用05毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题的答题区城(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知,则z=

A.-1B.1C.-iD.i

2.已知集合A=|x∈NIx²-x-2≤0},则A的子集个数为

A.3B.4C.7D.8

3.若单位向量

a,6满足a+6|=√2,则a-6|=

A.2B.√3C.√2D.1

4.已知S,为公差不为零的等差数列{a的前n项和，若S₇=0,且Sm=S₃(m≠3),则m=

A.4B.5C.10D.11

5.已知cos20°=a,则cos40°+cos80°=

A.-aB.aC.-√3aD.√3a

6.已知椭圆与双曲线共焦点，椭圆与双曲线右支

交于M,N两点，若直线MN过右焦点F,则双曲线的离心率为

A.√2B.√3C.2D.3

7.在智能驾驶快速发展的今天，车载AI芯片的运算能力至关重要，行业内通常以“每

秒万亿次运算(TOPS),即1TOPS=10¹²次运算/秒”为单位衡量芯片性能.某车载

AI在道路目标检测中，需在0.5秒内完成2⁸次运算，则该芯片的运算性能至少为

()TOPS?

(参考数据1g2≈0.301,lg5.61≈0.749,lg3≈0.477)

A.56.2B.56.1C.562D.561

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8.某快递分拣中心待处理的5件包裹中，3件为“普通件”,2件为“优先件”.分拣员按

随机顺序不放回逐一扫描分拣，若未分拣的“优先件”数量不少于“普通件”数量，则

系统自动暂停当前批次处理.记5为暂停时已完成分拣的包裹数，则P(ξ<5)=

ABCD

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若a>b>c>d,则

A.ac²>bc²B.a+c>b+d

C.a-d>b-cD.

10.如图，在棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为线段BC₁上的一个动点，则

A.三棱锥A₁-PAD的体积为定值

B.存在点P,使AC₁⊥平面A₁PD

C.若,则二面角A-B₁P-D₁的余弦值为

D.若,则过点A,D,P三点的平面截正方体

所得截面的周长为5√2+2√10

11.声音是由物体振动产生的声波.纯音的数学模型是函数y=Asinwt,我们日常听

到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为y=sinx+

,

则

A.f₂(x)的最小正周期为π

B.f₂(x)在区间[0,2π]上有3个零点

C.f(x)的图象关于点(kπ,0)(k∈Z)中心对称

D.f₃(x)的最大值为

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(1+2x)的展开式中x²的系数为.

13.已知椭圆C(a>0)的左、右焦点分别为F₁,F₂,过点F₂的直线交C

于A,B两点，若|AF₂I=2|F₂B|,|AB|=|BF₁|,则椭圆C的方程为·

14.设a∈R,函数f(x)=2√ax²-x-|x-2|+1.若f(x)恰有一个零点，则a的取值范

围是

15.(本小题满分13分)

设各项均为正数的等比数列{a的前n项和为S。,a₃=8,S₃=14.

(1)求数列{a|的通项公式；

(2)设b。=log₂a,证明

16.(本小题满分15分)

如图，圆柱0₁0₂的轴截面是边长为2的正方形，P为⊙O₂上一点，正方形ABCD内

接于⊙0₁,设平面PAD与平面PBC的交线为直线l,点Q为直线l上一点.

(1)证明：1//BC;

(2)求四棱锥P-ABCD外接球的表面积；

(3)若平面PAD⊥平面ABCD,平面PCD⊥平面ABCD,当

直线PB与平面QCD所成角的余弦值为时，求PQ

的长.

17.(本小题满分15分)

已知抛物线C:y²=2px(p>0)过点P(1,2),直线l与C交于A,B两点，0为坐标原点.

(1)若直线l的斜率为-1,且OA·OB=12,求直线l的方程；

(2)若直线l不经过点P,且直线PA与直线PB的斜率之积为4,过点P作直线PG垂

直AB于点G,求点G到C的准线距离的最大值.

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18.(本小题满分17分)

某奶茶品牌发现旗下一款新品的日销售量与品牌官方小程序的日访问量呈线性

相关关系，为提升销量，小程序推出了A和B两项互动活动，参与互动可领取新品

优惠券.该新品日销售量y(单位：百杯)与小程序日访问量x(单位：万人次)的统计

数据如下表：

日访问量x/万人次24568

日销售量y/百杯34657

(1)求出y关于x的回归方程y=bx+a,并预测日访问量为10万人次时的日销售量；

(2)A项活动规则：顾客每次参与都有的概率获得新品兑换券，一旦获得，则活

动结束；若未获得，可继续参与；每位顾客共有n次参与机会，第n次无论获得

与否都结束活动.设X为顾客参与活动的次数，X的数学期望为E(X),证明：

E(X)<4;

(3)B项活动规则：有10张不同的助力卡，编号为1,2,…,10,参与者从中随机抽取

6张，记录编号后放回，再重新随机抽取6张，记被重复抽到的助力卡数量为Y,

并向参与者发放Y张新品优惠券，求使P(Y=m)取得最大值时的m值.

参考公式：回归方程y=bx+a中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

19.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=x-alnx,g(x)=x-sinx:

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)设函数h(x)=xg(x)(x∈R),求函数h(x)的极值点的个数；

(3)若存在x₁,x₂∈(0,+∞),且x₁≠x₂,f(x₁)+g(x₁)=f(x₂)+g(x₂),证明：x₁x₂<a².

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吕梁市2025-2026学年第二学期3月调研测试

高三数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号12345678

答案CDCABCDA

1.C.复数z=¹=-i,,故选C.

2.D.A={x∈N-1≤x≤2}={0,1,2},所以A的子集个数为2³=8,故选D.

由

3.C.(a+b)=a²+2a.b+b²=2,得a·b=0,所以a-5|=√a²-2a-b+B²=√2,,故选C.

4.A.由等差数列前n项和为过原点的二次函数，S₇=0,得S,的图象关于直线对称，所以由Sm=S₃(m≠3),得

m=4,故选A.

5.B.cos40°+cos80°=cos(60°-20°)+cos(60°+20°)=2cos60°cos20°=cos20°=a,故选B.

6.C.由直线MN过右焦点F,得线段MN为通径，故,即所以即,故选C.

7.D.由题意，得每秒至少执行的运算次数,所以1gx=491g2≈49×0.301=14.749,

即x=10¹4.749=100.749×10¹⁴≈5.61×10¹⁴=561×10¹²=561TOPS,故选D.

8.A.当ξ=1时，只有一种情况，即分拣了1件“普通件”,此时“普通件”与“优先件”数量均为2件，故

当ξ=2时，第一件分拣的包裹必为“优先件”,第二件无论分拣“普通件”还是“优先件”,均不可能暂停处理；

当ξ=3时，只有一种情况：即第一件分拣的包裹为“优先件”,第二件与第三为件均为为“普通件”,故

当ξ=4时，第一件分拣的包裹必为“优先件”,第二件与第三件应为“普通件”与“优先件”各一件，均不可能暂停处

,故选A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分

选对的得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案BCABDBCD

9.BC.对于A选项，当c=0时，ac²=bc²,故A错误；

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对于B选项，由不等式同向可加性知B正确；

对于C选项，由c>d,得-d>-c,故a-d>b-c,故C正确；

对于D选项，当a=-1,b=-2,c=-3时，,此时,故D错误，故选BC.

10.ABD对于A选项，易知BC₁I/平面A₁AD,由VA-PAD=Vp-4AD=VB-4AD得三棱锥A₁-PAD的体积为定值，故A正

确；

对于B选项，易知AC₁⊥平面A₁BD,故当点P与点B重合时，AC₁⊥平面A₁PD,

故B正确；

对于C选项，易证得AP⊥B₁C,D₁P⊥B₁C,故∠D₁PA为二面角A-B₁P-D₁的平面

角，△D₁PA中，,AD₁=3√2,由余弦定理,故C

错误(也可建系，两平面的法向量分别取为BD₁,AC₁);

对于D选项，过点P作MN//B₁C分别交BB₁,BC于点M,N,连接A₁M,DN,A₁D,易

得MNIIAD,故四边形A₁DNM即为所求截面，可求得

A₁M=DN=√10,MN=2√2,所以截面A₁DNM的周长为5√2+2√10,故D正确.

故选ABD.

11.BCD.对于A选项，

),得f₂(x)的最小正周期不为π,故A错误；

对于B选项，由,得sinx=0或cosx=-1,又x∈[0,2π],所以x为

0,π,2π,即f₂(x)在区间[0,2π]上有3个零点，故B正确；

,得f,(x)的图象关于点(kπ,0)(k∈Z)中心对称，故C正确；

对于D选项，因为

所以f₃(x)=cosx+cos2x+cos3x=cosx+2cos²x-1+4cos³x-3cosx=4cos³x+2cos²x-2cosx-1

=2cos²x(2cosx+1)-(2cosx+1)=(2cosx+1)(2cos²x-1)

所以f₃(x)的周期为2π.故只考虑函数f₃(x)在[0,2π]上的最大值即可.

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令f₃(x)>0,得：或

令得：

f₃(x)<0,或

所以函数f₃(x)上单调递增；上单调递减.

,f;(2π)=0.

所以f₃(x)的最大值为,故D正确.故选BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.40

(1+2x)⁵的展开式中x²的系数为C²2²=40

13.

因为|AF₂|=2|F₂B,,设|BF₂|=x,则AF₂|=2x,|BF|=2a-x,由A|B|=|BF|,得3x=2a-x,所以,即

,由cos∠AF₂F₁=-cos∠BF₂F,整理，得a²=3c²=3,

故椭圆C的方程为

14.a=0i

由f(x)=2√ax²-x-|x-2|+1=0,得2√ax²-x=|x-2|-1,

由2√ax²-x≥0得|x-2|-1≥0,即x≥3或x≤1

易知x≠0,

即

则

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由图，

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解析：(1)由题意得：得…………2分

解得或……4分

又a>0,所以a₁=2,q=2,故a=a₁q”⁻¹=2”.…6分

(2)bn=log₂an=log₂2”=n,……………7分

……9分

故得证.…………13分

16.解析：(1)证明：因为BCI/AD,BC女平面PAD,ADc平面PAD

所以BC//平面PAD…2分

又BCc面PBC,面PBC∩面PAD=1,所以BCI/1.…………5分

(2)易知外接球的球心为线段O₁O₂的中点0,在Rt△OO₁B中，R²=00²+O₁B²=1+1=2,故四棱锥P-ABCD外

接球的表面积S=4πR²=8π.…………….8分

(3)因为面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,ABc面ABCD,AB⊥AD,

所以AB⊥面PAD,又PDc面PAD,所以AB⊥PD.

同理，可得AD⊥PD,又AB∩AD=A,AB,ADc面ABCD,所以

PD1面ABCD…………9分

建立如图所示空间直角坐标系D-xyz

则P(0,0,2),B(√2,√2,0),C(0,√2,0),D(0,0,0),设Q(a,0,2)

PB=(√2,√2,-2),DC=(0,√2,0),DQ=(a,0,2),…10分

设平面QCD的法向量为n=(x,y,z),则

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,令x=2,则y=0,z=-a,所以n=(2,0,-a)……12分

记直线PB与平面QCD所成角为α,则

所以a=√2或5√2,即PQ的长为√2或5√2..............................15分

17.解析：(1)将点P坐标代入y²=2px,得4=2p,所以p=2,即C:y²=4.............................................1分

设直线的方程为y=-x+m,A(x,y₁),B(x₂,y₂),

与抛物线方程联立，得y²+4y-4m=0,

△=16+16m>0,即m>-1

所以y₁y₂=-4m,.................................3分

即OA·OB=x₁x₂+yy₂=m²-4m=12,解得m=6或-2(舍)..................................5分

所以1:y=-x+6.................................6分

(2)设直线的方程为x=ny+t’

与抛物线方程联立，得y²-4ny-4t=0,则△=16n²+16t>0,即n²+t>0,

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则y₁+y₂=4n,y₁y₂=-4t.

∴x₁+x₂=ny+t+ny₂+t=n(y₁+y₂)+2t=4n²+2t,………8分

又kpA·kpB=4,所,即(y₁-2)(y₂-2)=4(x₁-1)(x₂-1),

y₁V₂-2(v₁+₂)+4=4[x₁x₂-(x₁+x₂)+1],代入得-4t-2×4n+4=4[t²-4n²-2t+1],即-t-2n=t²-4n²-2t,9分

即4n²-t²+t-2n=0,即(2n-t)(2n+t)-(2n-t)=0,即(2n-t)(2n+t-1)=0.

又直线不经过点P,,所以2n+t-1≠0,则2n=t,

所以直线L的方程为x=n(y+2),因此直线恒过定点T(0,-2).…………10分

由n²+t>0,得n²+2n>0,解得n<-2或n>0.

解法一由题可知，直线PG的方程为y=-nx+n+2,

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由

则点G到C的准线的距离……11分

令s=4n-1,

根据公众号三晋高中指南对勾函数的单调性可知：

若n<-2,则s<-9,,即…12分

若n>0,则s>-1,当s=0,即时，d=2;

当-1<s<0,即时，,即1<d<2;……………13分

当s>0,即时，由基本不等式可知：当且仅当,即s=√17时取等号.

因此点G到C的准线距离的最大值为……15分

解法二连接PT,因为PGIAB,所以点G在以PT为直径的圆,………………12分

所以点G到C的准线的距离的最大值为圆到C的准线的距离加上半径，即

此时…………14分

满足题意，(因为点G的轨迹不是一个完整的圆，因此要验证取得最大值时的点G是否符

合题意)

因此点G到C的准线距离的最大值为………15分

18.解析：(1)由题意可知……………1分

………………2分

……………4分

所以回归方程………5分

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当x=10时，

所以日访问量10万人时的日销售量为百杯；…6分

(2)X可取值为1,2,…,n,

当k<n时，…………7分

………………8分

由①-②…9分

……1分

……12分

(3)………14分

,又m∈N*,所以m=4.…………17分

19.解析：(1)定义域为x∈(0,+0∞),

…………………1分

当a≤0时，f'(x)>0恒成立，