青桐鸣大联考2026年高三4月内部练数学+答案

秘密★启用前

高三内部练

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡

上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

装

'

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知集合A={x∈N|x<2},B={-1,0,1,2},则A∩B=

A.{—1,0,1}B.{-1,0}C.{0,1}D.{1}

2.复数z=(3—4i)i³的实部为

订

A.—4B.-3C.3D.4

3.函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则f(0)=

A.—5BCD.5

4.已知单位向量a,b,c满足a—b=√2c,则a与b的夹角为

级

线A.135°B.90°C.60°D.45°

5.已知x=2是函数f(x)图象的一条对称轴，且f(x)的周期为4,当x∈[0,2]时，

f(x)=logo.5(x+1),则f(一9)=

名

A.1B.0C.-1D.—log₂3

6.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S₅=40,a1=32,则2S,-nan=

A.2nB.nC.—nD.—2n

7.已知点M(一5,0),点P是圆：(x—a)²+(y—2a)²=4(a为实数)上一动点，其中点C

为此圆的圆心，则sin∠PMC的最大值为

ABCD

数学试题第1页(共4页)

8.已知函数,则不等：的解集为

A.(1,3)B.(1,2)U(2,3)

C.(一∞,1)U(2,3)U(3,十∞)D.(一∞,1)U(3,十∞)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知函数,则

A.曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为15x+y—31=0

B.f(x)在(-2,0)上单调递增

C.f(x)在(一∞,0)上有极大值—11

D.3xo∈(0,+∞),使得f(x。)<10

10.在平面直角坐标系xOy中，已知E(2√2,0),F(-2√2,0),点M在x轴上运动，点N

在y轴上运动，且|MN|=2,动点Q满足MN=-2MQ,记动点Q的轨迹为C,则

A.C的方程为

B.1≤|OQ|≤3

C.|QE|·|QF|的最大值为9

D.曲线C上有且仅有两点到直线x—2y—4=0的距离为1

11.记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sπ=man-1,m为实数，则

A.当{an}是等比数列时，则m∈{m|m≠0,且m≠1}

B.当m=-1时，则an+an+2>2an+1

C.当m=2时，数列{nan}的前n项和为(n—1)·2”+1

D.当m=3时，数列第7项的值最大

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知一组样本数据7,9,10,5,6,11,8,12,4,10,则该组数据的下四分位数为

13.已知圆台的体积为上底面半径为1,母线与下底面所成角的余弦值为,则该圆台

的下底面半径为

14.已知抛物线C:x²=2py(p>0)的焦点为F,过点F且斜率不为零的直线与C交于

A,B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点E,,则|AB|+

EF|=

数学试题第2页(共4页)

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已

(1)求C;

(2)若a=2,△ABC的面积为,求sinA-sinB的值.

16.(15分)

甲、乙两人进行比赛，采用三局两胜制，即先胜两局者获胜，比赛结束.已知甲第一局获

胜的概率为,从第二局开始，若甲上一局获胜，则该局甲获胜的概率为,若甲上一

局失败，则该局甲获胜的概率为,且每局比赛没有平局.

(1)求第二局比赛甲获胜的概率；

(2)设比赛结束甲获胜的局数为X,求X的分布列和数学期望.

17.(15分)

如图，在△ABC中，AB⊥AC,BC=2AB=2√3,D为BC的中点，过D作DE⊥BC,

DE交AC于E,将四边形ABDE沿DE翻折至四边形A'B′DE,使得平面A'B'DE⊥

平面CDE.

(1)证明：△B'CD是直角三角形.

(2)若A′,B′,D,C,E五点均在球O的球面上.

(i)求球O的表面积；

(ii)求平面B'CD与平面OCD夹角的余弦值.

数学试题第3页(共4页)

18.(17分)

已知A,B分别是双曲线C1(a>0,b>0)的左、右顶点，且|AB|=4,动点

M(m,n)在C上，当|m|=3时，

(1)求C的标准方程.

(2)已知P,Q是C的右支上不同于M的两点.

(i)若线段PM的中点为N(2t,t)(t≠0),证明：直线PM的斜率为定值；

(ii)若点,直线PM,QM的斜率互为相反数，且,求

△PQM的面积.

注

意

清

点

有

无

漏

印

19.(17分)或

缺

已知函数页

，

若

(1)当a=1时，求f(x)的极值；

有

要

(2)当a=0时，证明及

时

(3)已知n∈N*,证明更

换

。

数学试题第4页(共4页)

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数学参考答案

1.C【解析】因为A={0,1},B={-1,0,1,2},所

Rt△PMC中

以A∩B={0,1}.

要使sin∠PMC最大，则|MC|取得最小值，所以

故选C.

2.A【解析】z=(3—4i)i³=(3—4i)·(—i)=-4—

sin∠PMC的最大值为

3i,则z的实部为—4.

故选

故选A.B.

【解析】令,因为

3.D【解析】由题意可知，函数的8.D

图象向左平移个单位长度得到f(x)=,所以g(x)为

奇函数，

的图象，则

设h(x)=xg(x),则h(x)为偶函数，当x≥0时，

单调递增，且g(x)≥0;y=x为

故选D.增函数，且y=x≥0,所以h(x)在(0,十∞)上单调

递增，故在(一∞,0)上单调递减.

4.B【解析】由a—b=√2c两边平方得，(a—b)²=h(x)

所以1—2所以a·b=0,则al

2c²,a·b+1=2,不等式化为(x—2)f(x—

b,故a与b的夹角为90°.

故选B.2)十,即(x—2)|

5.C【解析】因为f(x)的周期为4,所以f(-9)=

又,所以(x—2)g(x—2)>

f(4×3—9)=f(3),

又x=2是函数f(x)图象的一条对称轴，所以g(1),即h(x-2)>h(1),所以|x-2|>1,则x—

f(2+x)=f(2—x),则f(3)=f(1)=logo.52=—1.2>1或x—2<-1,解得x>3或x<1.

故选C.故选D.

6.A【解析】设等差数列{a}的公差为则

9.AC【解析】的定义域为

解得a₁=2,d=3,

{x|x≠0},则

所以a=2+3(n—1)=3n—1,则f'(1)=-15,又f(1)=16,所以曲线f(x)在

(1,f(1))处的切线方程为y-16=-15(x—1),

则2

S„—nan=2n.即15x+y—31=0,A正确；

故选

A.令f'(x)>0,即,解得x<-2或x>2,

7.B【解析】圆：(x—a)²+(y—2a)²=4的圆心为

所以f(x)在(一∞,—2)和(2,十∞)上单调递增，

C(a,2a),半径为r=2,

MC|=√(-5—a)²+(0—2a)²=令f'(x)<0,即解得—2或

√5[(a+1)²+4]≥2√5,0<x<2,所以f(x)在(-2,0)和(0,2)上单调递

当直线MP与圆相切时，∠PMC取得最大值，在减，B错误；

·数学答案(第1页，共6页)·

由上可知，f(x)在(一∞,0)上有极大值，且当t=—√13时，平行直线x—2y—√13=0与

f(x)极大值=f(—2)=-11,C正确；

x-2y-4=0之间距离为

由上知，f(x)在(0,+∞)上有最小值，且f(x)mn=

所以不存在xo∈(0,十∞),使即曲线C上点到x-2y-4=0的最小距离为

得f(x。)<10,D错误.

故选AC.

所以曲线C上只有两点到直线x—2y-4=0的

10.BCD【解析】设M(x。,0),N(0,yo),Q(x,y),

距离为1,D正确.

由|MN|=2,得x2+y?=4,

故选BCD.

MŇ=(一xo,y。),MQ=(x—xo,y),因为MŇ=

11.ACD【解析】由S„=ma-1,得当n≥2时，

—2MQ,所以(一xo,yo)=-2(x—xo,y)=

S-1=maπ-1-1,所以S,-S,-1=ma„—1—

(—2x+2x。,—2y),

(maπ-1-1),

则an=ma—man-1,整理得ma-1=(m—1)an,

则解得代入

当{an}是等比数列时，则为非零

x²+y?=4,得所以C的方程为常数，

所以解得且正确；

1,A错误；m≠0,m≠1,A

,又-3≤x≤3,所当m=-1时，由上可知，,当n=1时，

以当x=0时，|OQ|取最小值1,当x²=9时，

a₁=-a₁-1,所以,此时{a}是公比为

OQ|取最大值3,所以1≤|OQ|≤3,B正确；

的等比数列，

易知E(2√2,0),F(-2√2,0)是椭圆

的两焦点，所以|QE|+|QF|=2a=6,所以

,当且

仅当|QE|=|QF|=3时取得等号，C正确；

所以a+an+2<2an+1,

整理得13因为

y²+16y+7=0,B错误；

△=16²—4×13×7=-4×27<0,所以直线x—当m=2时，,当n=1时，a₁=2a₁-1,所

2y—4=0与椭圆C没有交点，

以a₁=1,此时{a}是公比为2的等比数列，

设直线x—2y+t=0与椭圆C相切，将x-2y+

则a=a₁q”一¹=2”⁻¹,设数列{naπ}的前n项和为

得13y²—4ty+t²-9=0,Tn,

所以T=1×2°+2×2¹+3×2²+…十n·2”-1,

则△=16t²—4×13(t²—9)=0,解得t=±√13,

2T„=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n·2”,

当t=√13时，平行直线x—2y+√13=0与x—

所以—Tn=1+2+2²+…+2”-¹-n·2”=

2y-4=0之间距离为

,则T=(n—

即曲线C上点到x—2y-4=0的最大距离为1)·2”+1,C正确；

当m=3时，,当n=1时，a₁=3a₁-1,

·数学答案(第2页，共6页)·

所以,此时{aπ}是公比为的等比数列，所以

所以所以,所以

,则解得

设,则r³-1=7,

r=2.

14.6【解析】设直线AB的方程为

A(x1,y₁),B(x₂,y2),

,即

当n≥1,n∈N*时，易知函数单

调递减，当n=6时，

,所以

由整理得

当n=7时，,而x²—2pkx—p²=0,

,所以则x₁+x2=2pk,x₁x2=—p²,

所以y₁+y₂=k(x₁+x₂)+p=2pk²+p,则

综上知，当n≤6,n∈N"时，,当n≥7,AB|=y₁+y₂+p=2pk²+2p,

设线段AB的中点为M,则

n∈N*时，

所以线段AB的垂直平分线的方程为y—

即b₁<b₂<…<b₆<b₇>b₈>…,

所以数列第7项的值最大，D正确.

令x=0,解得,即

故选ACD.

12.6【解析】将该组数据从小到大排列为：4,5,6,7,

8,9,10,10,11,12,因为25%×10=2.5,所以该

组数据的下四分位数为6.

又,所以

13.2【解析】如图所示，梯形ABCD为圆台的轴截

面，过点C作CE⊥AB,垂足为E,,解得pk²+p=2,

所以|EF|=pk²+p=2,|AB|=2pk²+2p=

2×2=4,故|AB|+|EF|=6.

15.解：(1)由1,得c²=a²+b²+ab,即

a²+b²—c²=-ab,(2分)

由题意可知∠CBE为母线与下底面所成的角，则由余弦定理得

(4分)

因为C∈(0,π),所以(6分)

设下底面半径为r,则BE=r-1,

·数学答案(第3页，共6页)·

平面CDE=DE,

(2)由△ABC的面积,得(

所以B′D⊥平面CDE.(2分)

因为CDC平面CDE,所以B′D⊥CD.(3分)

故△B′CD是直角三角形.(4分)

则ab=2,又a=2,所以b=1,(8分)(2)(i)由(1)知，DC,DE,DB′两两互相垂直，以

代入c²=a²+b²+ab,得c²=2²+1²+2=7,解得D为原点，以DC,DE,DB′所在直线分别为x,

c=√7.(10分)y,z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,

0),E(0,1,0),B'(0,0,√3),C(√3,0,0),(5分)

由正弦定理，得,所

以

(12分)

(13分)

16.解：(1)记第i局甲获胜为事件则

因为∠B′A′E=∠EDB′=90°,所以四边形A'B'DE

的外接圆的圆心为的中点，则

(3分)O₁B'E

第二局比赛甲获胜的概率为P(A₂)=P(A₁)×

P(A₂|A₁)+P(A₁)P(A₂|

因为00₁⊥平面A′B'DE,设

(6分)(7分)

设半径为R,

(2)X的可能取值为0,1,2,(7分)

由B'O=OC=R,得

(8分)

(10分)

解得(8分)

所以

(12分)

所以X的分布列为(9分)

X0l2故球O的表面积为S球o=4πR²=7π.(10分)

(ii)易知平面B'CD的一个法向量为m=(0,1,

P

0);(11分)

(13分)DC=(√3,0,0),

(15分)

设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),

17.解：(1)证明：因为DE⊥BC,所以DE⊥B'D,

DE⊥DC,(1分)由

因为平面A'B'DE⊥平面CDE,且平面A'B′DE∩

·数学答案(第4页，共6页)·

得取y=√3,则n=(0,√3,-1),k≠

(13分)则,所以

设平面B'CD与平面OCD的夹角为θ,

(12分)

,(14分)

PM|=√1+k²x₁-3|=√1+k².

故平面B'CD与平面OCD夹角的余弦值为

(15分)

18.解：(1)根据题意可知，

同理(13分)

所以△PQM的面积为

即(2分)

解得a=2,b=√5,(3分)

故C的标准方程(4分)

(14分)

(2)(i)证明：设P(x₁,y₁),则设PM的倾斜角为α,则QM的倾斜角为π—α,

当k>0时，

(5分)

,解得

两式相减，并整理得，

当时，∠

n)(y₁+n),(6分)k<0sinPMQ=sin(2π—2α)=-sin2α=

因为线段PM的中点为N(2t,t)(t≠0),所以

x₁+m=4t,y₁+n=2t,(7分)

所以(8分)解得

所以k²=2,(16分)

整理得(9分)

故直线PM的斜率为定值(10分)

(17分)

(ii)设直线PM的方程为

19.解：(1)当a=1时，—1n(x+1)的定

义域为(-1,十∞),(1分)

因为直线PM,QM的斜率互为相反数，则直线

(2分)

QM的方程为(11分)

当x∈(-1,0)时，f'(x)>0;当x∈(0,+∞)时，

f'(x)<0,

联立整理得(5—4k²)x²+

所以f(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,十∞)上