19.3.2 第2课时 菱形的判定 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

第2课时

菱形的判定19.3.2菱形旧知回顾1.什么是菱形？菱形的性质有哪些？答：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．菱形性质1：菱形的四条边相等．菱形性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．2.根据定义，如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？答：再有一组邻边相等．根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：且AB=AD，∵四边形

ABCD是平行四边形，∴四边形

ABCD是菱形.数学语言有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.ABCD思考

还有其他的判定方法吗？知识模块一菱形的定义和判定定理1探究新知菱形的判定定理1的内容是什么？答：定理1：四边相等的四边形是菱形．

已知线段

AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形

ABCD，并使

AC为该菱形的一条对角线吗？CABD想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？猜想：四条边相等的四边形是菱形.证明：∵AB=BC=CD=AD，已知：如图，四边形

ABCD中，AB=BC=CD=AD.求证：四边形

ABCD是菱形.ABCD证一证：∴AB=CD，BC=AD.∴四边形

ABCD是平行四边形.又∵AB=BC，∴四边形

ABCD是菱形.归纳总结四边相等的四边形是菱形.AB=BC=CD=AD几何语言描述：在四边形

ABCD中，∵AB=BC=CD=AD，∴四边形

ABCD是菱形.ABCD菱形

ABCD菱形的判定定理1四边形

ABCDABCD典例精析2例1如图，在△ABC中，AD是角平分线，点

E、F分别在

AB、

AD上，且

AE=AC，EF=ED.求证：四边形

CDEF是菱形.ACBEDF1证明：∵∠1=∠2，AE=AC，AD=AD，2ACBEDF1∴△ACD≌△AED(SAS).同理，△ACF≌△AEF.∴CD=ED，CF=EF.又∵EF=ED，∴CD=ED=CF=EF.∴四边形

CDEF是菱形.例2如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线

BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是

D，E，F，连接AD.求证：四边形

ACFD是菱形．证明：由平移的性质得

CF＝AD＝10cm，DF＝AC.归纳

四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便.∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，

∴AC＝DF＝AD＝CF.∴四边形

ACFD是菱形．典例精析范例1：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是()A．矩形B．平行四边形C．菱形D．都有可能仿例1：下列图形中，不一定为菱形的是()A．两条对角线互相垂直平分的四边形B．四条边都相等的四边形C．有一条对角线平分一个内角的四边形D．用两个边长相等的等边三角形拼成的图案CC仿例2：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是

.AC＝BD仿例3：如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.(1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由；(2)若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．解：(1)四边形OCED是菱形．理由：∵DE∥AC，CE∥BD.∴四边形OCED是平行四边形．在矩形ABCD中，OC＝OD，∴四边形OCED是菱形．(2)连接OE.由菱形OCED，得CD⊥OE，∴OE∥BC.又∵CE∥BD，∴四边形BCEO是平行四边形．∴OE＝BC＝8.

知识模块二菱形的判定定理2菱形的判定定理2的内容是什么？如何证明？答：定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．证明：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO.又∵DB⊥AC，∴∠AOD＝∠COD.又∵OD＝OD，∴△AOD≌△COD.∴DA＝DC.∴四边形ABCD是菱形．猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.你能证明这一猜想吗？我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形.那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？知识讲解证明：∵四边形

ABCD是平行四边形，ABCOD已知：如图，四边形

ABCD是平行四边形，对角线

AC与

BD相交于点

O

，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.证一证：∴OA=OC.又∵AC⊥BD，∴BD是线段

AC的垂直平分线.∴BA=BC.∴□ABCD是菱形（菱形的定义）.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.AC⊥BD几何语言描述：

在

□ABCD中，∵AC⊥BD，∴□ABCD是菱形.ABCD菱形

ABCDABCD□ABCD菱形的判定定理：归纳总结例3如图，在□ABCD中，

对角线

AC，BD相交于点

O，AC=8，BD=6，AB=5，求AD的长.ABCDO解：∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=5，∴△AOB是直角三角形，即OA⊥OB.典例精析

∴AB2=OA2+OB2.∴□ABCD是菱形.∴AD=AB=5.典例精析范例2：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF，则四边形AECF是()A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形C仿例：如图，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，交AC于点O.求证：四边形AECF为菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAC＝∠ACB.∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°.∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.∴四边形AECF为平行四边形．∵EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形．随堂练习1.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（

C

）C2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，则四边形ADCE的周长为

⁠.20

3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，作CF⊥AD，交AD的延长线于点F.

若CE＝CF，求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∴∠CBE＝∠CDF.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠CEB＝∠CFD＝90°.

∴△CBE≌△CDF（AAS），∴CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形.A4.如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交∠A的两边于点M，N，再分别以点M，N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB，NB.

若∠A＝40°，则∠MBN＝（

A

）A.40°B.50°C.60°D.140°5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且BE＝BF，连接CE，CF.

求证：四边形BECF是菱形.证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BE＝CE，BF＝CF.∵BE＝BF，∴BE＝CE＝BF＝CF，∴四边形BECF是菱形.D6.如图，添加下列条件中的一个，能使平行四边形ABCD是菱形的为（

D

）①AC＝BD；②AC平分∠BAD；③AB＝BC；④AC⊥BD.A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④7.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.

添加一个条件：_____________________，使四边形ABCD成为菱形.（写出一个即可）AD∥BC（答案不唯一）8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F.

求证：四边形AFCE是菱形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥FC，∴∠EAC＝∠FCA.∵EF垂直平分AC，∴AO＝CO，∠AOE＝∠COF＝90°，∴△AOE≌△COF，∴EO＝FO，∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EF