2020年成人高等教育初等数论考试题库及参考答案

2020年成人高等教育初等数论考试题库及参考答案

一、单项选择题，(总共10题，每题2分)。1.若整数a满足a≡5(mod7)且a≡3(mod11)，则a的最小正整数解为A.38B.61C.83D.1062.设p为素数，则模p的最小正原根一定A.存在且唯一B.存在但不唯一C.不存在D.与p的奇偶性有关3.欧拉函数φ(360)的值为A.96B.108C.120D.1444.若(a,m)=1且a^{m−1}≡1(modm)，则m一定是A.素数B.卡迈克尔数C.合数D.无法确定5.同余方程x²≡1(mod2⁵)的解的个数为A.2B.4C.8D.166.设p为奇素数，则Legendre符号(−1/p)等于A.1B.−1C.(−1)^{(p−1)/2}D.07.若正整数n的所有正因数之和σ(n)=2n，则n称为A.完全数B.亏数C.盈数D.亲和数8.在模17下，3的阶为A.4B.8C.16D.329.若a,b为正整数且a²+b²=c²，则c一定不能被A.3B.4C.5D.710.设p≡1(mod4)为素数，则p可表示为两平方和的方法数为A.0B.1C.2D.4二、填空题，(总共10题，每题2分)。11.若a≡b(modm)且c≡d(modm)，则ac≡____(modm)。12.模13的最小正原根是____。13.若p为素数，则φ(p^k)=____。14.同余方程x²≡2(mod7)的解为x≡____(mod7)。15.设n=2⁴·3²·5，则τ(n)=____。16.若a^{φ(m)}≡1(modm)，则a与m必须满足____。17.若p≡3(mod4)且p为素数，则(−1/p)=____。18.若n为偶完全数，则n必可写成____形式。19.设p为奇素数，则模p的二次剩余个数为____。20.若a,b为正整数且(a,b)=d，则存在整数x,y使得ax+by=____。三、判断题，(总共10题，每题2分)。21.若a≡b(modm)，则对任意正整数k有a^k≡b^k(modm)。22.若m为合数，则模m一定不存在原根。23.若p为素数，则φ(p)=p−1。24.若a为模p的二次剩余，则a^{(p−1)/2}≡1(modp)。25.若n>1且2^n−1为素数，则n必为素数。26.若(a,m)=1，则a在模m下的阶一定整除φ(m)。27.若p≡1(mod4)，则(−1/p)=1。28.若n为完全数，则n的所有真因数之和等于n。29.若a,b为正整数且[a,b]=ab，则(a,b)=1。30.若p为素数，则模p的简化剩余系构成乘法群。四、简答题，(总共4题，每题5分)。31.叙述中国剩余定理并给出其适用条件。32.简述欧拉函数φ(n)的积性性质并举例说明。33.说明如何判断一个奇素数p是否为模3的二次剩余。34.给出偶完全数的充要条件并写出前两个偶完全数。五、讨论题，(总共4题，每题5分)。35.讨论模2^k(k≥3)是否存在原根，并说明理由。36.讨论若n为素数，则2^n−1是否一定为素数，并举例验证。37.讨论若(a,m)=1，则a在模m下的阶与φ(m)的关系。38.讨论费马数F_n=2^{2^n}+1的素性规律及其与素数分布的联系。答案与解析一、单项选择题1.B2.B3.A4.D5.B6.C7.A8.C9.A10.C二、填空题11.bd12.213.p^k−p^{k−1}14.±315.3016.(a,m)=117.−118.2^{p−1}(2^p−1)，其中2^p−1为梅森素数19.(p−1)/220.d三、判断题21.√22.×23.√24.√25.√26.√27.√28.√29.√30.√四、简答题31.中国剩余定理：设m₁,…,m_k两两互素，则对任意整数a₁,…,a_k，同余组x≡a_i(modm_i)有唯一解模M=m₁…m_k。适用条件为模数两两互素。32.φ(n)为积性函数：若(m,n)=1则φ(mn)=φ(m)φ(n)。例φ(15)=φ(3)φ(5)=2·4=8。33.用二次互反律：(3/p)=(p/3)(−1)^{(p−1)/2}。若p≡1(mod3)则(3/p)=1；若p≡2(mod3)则(3/p)=−1。34.偶完全数充要条件：n=2^{p−1}(2^p−1)且2^p−1为梅森素数。前两个为6和28。五、讨论题35.模2^k(k≥3)无原根，因(ℤ/2^kℤ)非循环，其结构为C₂×C_{2^{k−2}}。36.不一定。n=11为素数但2¹¹−1=2047=23·89为合数，故逆命题不成立。37.阶d必整除φ(m)，且d