第二节　成对数据的统计分析

第二节成对数据的统计分析

课前⑥基础巩固

【教材回扣】

1.变量间的相关关系

(1)如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现

的趋势，我们称这两个变量正相关.

(2)如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现的趋势，则称这

两个变量负相关.

(3)一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在附近，

称这两个变量线性相关.

2.样本相关系数

E(为一x)(»-y)

tQLx八JtCv,-y)2

当r>0时，成对样本数据相关.

当KO时，成对样本数据相关.

当H越接近1时，成对样本数据的线性相关程度

当m越接近。时，成对样本数据的线性相关程度

3.经验回归方程

、

E(XLX)(州一y)

A1=1

将)，=8/+〃其中6=—:-----------a=7-bx称为,，关于x的经验回归方程,

£(XLX)2

7

也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法

叫做最小二乘法.

4.列联表与独立性检验

(I)分类变量：以区别不同的现象或性质的随机变量，称为分类变量.

(2)列联表

列出成对分类变量数据的，称为2X2列联表.

关于分类变量X和丫的2X2列联表：

Y

X合计

r=oY=\

x=oaba+b

x=\cdc+d

合计a+cb+d〃=a+b+c+d

利用*=讲点新篇国的取值推断分类变量X和r是否独立的方法称为f

独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检脸.

【题组练透】

题组一判断正误（正确的打“J”，错误的打“X”）

1.散点图是判断产个变色是否相关的一种重要方法和手段.（）

2.经验回归方程y=Zu+a至少经过点（xi，巾），8,m），…，（,“，W）中的一个点.（）

3.若事件X,V关系越密切，则由观测数据计算得到的*的值越小.（）

4.两个变量的相关系数的绝对值越接近于1,它们的相关性越强.（）

题组二教材改编

1.变最x与），的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x与y之间（）

A.很可能存在负相关R.一定存在正相关

C.很可能存在正相关D.一定不存在负相关

2.根据分类变量x与），的成对样本数据，计算得到三=2.974.依据。=0.05的独立性检

验，结论为（）

a0.10.050.010.0050.001

X。2.7063.8416.6357.87910.828

A.变量x与y不独立

B.变量x与），不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

C.变量x与y独立

D.变量x与），独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

3.假如女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为;=0.81x+

25.25,已知父亲身高为175cm,则估计女儿的身高为cm.

题组三易错自纠

1.某医疗机构通过抽样调查（样本容量〃=1000）,利用2X2列联表和犬统计量研究患

肺病是否与吸烟有关.计算得经查阅临界值表知现给出

四个结论，其中正确的是［）

A.在100个吸烟的人中约有95个人患肺病

B.若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病

C.有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”

D.只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”

2.（多选题）在统计中，由一组样本数据（汨，yi）,（即,”），…，（M”%）利用最小二乘法

得到两个变量的经验回归方程为；=£+：，那么下列说法正确的是（）

A.相关系数「不可能等于1

B.直线；，=法+。必经过点（7,7）

C.直线；=£+）表示最接近y与A-之间真实关系的一条宜线

D.样本相关系数为r,且仍越接近于1,相关程度越大；|「|越接近于0,相关程度越小

3.已知x,y的取值如下表，从散点图可以看出），与x具有线性相关关系，且回归方程

AAA

为y=0.95x+a,贝必=.

X0134

y2.24.34.86.7

题型一变量的相关关系的判断

m11(1)某商家2020年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下.

月份123456

人均销售额658347

利润率(%)12.610.418.53.08.116.3

根据表中数据，下列说法正确的是()

A.利润率与人均销售额成正相关关系

B.利润率与人均销售额成负相关关系

C.利润率与人均销售额成正比例函数关系

D.利润率与人均销售额成反比例函数关系

⑵为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩

得到如图所示的散点图。轴、y轴的单位长度相同)，用经验回归方程尸/*+“近似地刻画其

相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()

A.线性相关关系较强，g的值为1.25

B.线性相关关系较强，.的值为0.83

C.线性相关关系较强，♦的值为-0.87

D.线性相关关系较弱，无研究价值

［听课记录I

类题通法

判定两个变量正，负相关性的方法

(1)画散点图：点的分布从左下甭到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右

下角，两个变量负相关.

(2)样本相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关.

(3)经脸回归方程中：当力>0时，正相关；当晨0时，负相关.

巩固训练I：⑴对变量x,y有观测数据5,刈(i=1,2,…，10),得散点图如图①,对

变量小。有观测数据(wa)(i=l,2,…，10),得散点图如图②.由这两个散点图可以判断()

A.变量x与)，正相关，〃与。正相关

B.变量x与y正相关，〃与。负相关

C.变量x与y负相关，"与。正相关

D.变量x与)，负相关，〃与。负相关

(2)变量X与丫相应的一组数据为(101)，(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5)；变量U与

V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).〃表示变量丫与X之间

的线性相关系数，/'2表示变量V与U之间的线性相关系数，贝|J()

A.r2<n<0B.0</*2</i

C.r2<0<riD.r\=rz

题型二经验回归方程及应用

[例2][2021•山东济南外国语学校检测]我国大力发展校园足球，为了解某地区足球特

色学校的发展状况，社会调查小组得到如卜.统计数据：

年份£20142015201620172018

足球特色学校N百个)0.300.601.001.401.70

(1)根据上表数据，计算)，与x的相关系数八并说明y与x的线性相关性强弱；

(已知：0.75WHWL则认为y与x的线性相关性很强；0.3WHV0.75,则认为y与x的

线性相关性一般；|r|W0.25,则认为)，与x的线性相关性较弱)

⑵求)，关于x的经验回归方程,并预测该地区2020年足球特色学校的个数(精确到个).

Z(为一X)8—y)

参考公式和数据：r=―/”~/

、士(为x),/Lyy

5_5__

2

Z(XLX)2=10,ZIJ,—y)=1.3,也比3.6056,

Z(XLX)°LyI

=

AI1AA

b—----------------,a=y-hx.

E［Xi-X>

»=l

［听课记录］

类题通法

(1)求经脸回归方程

①利用公式，求出回归系数a.

②待定系数法：利用经验回归直线过样本点的中心求系数.

(2)利用经验回归方程进行预测，把经验回归方程看作一次函数，求函数£.

(3)利用经验回归直线判断正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数3.

巩固训练2：某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地•建设银行连续五

年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：

年份工20162017201820192020

储蓄存款

567810

.V(千亿元)

表1

为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，f=x-2015,z=)，一5得到

下表2：

时间代号t12345

201235

表2

(1)求z关于/的经验【可归方程；

(2)通过(1)中的方程，求出)，关于x的经验回归方程；

(3)用所求经验回归方程预疝到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？

n__

E(Xi-X)tv,-y)

(附：对于经验回归方程y=/?x+a,其中力=----------------,a=y—bx)

£(x,-x)2

产i

题型三独立性检验

［例3］［2020・新高考I卷］为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气

质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO?浓度(单位：阕/m,得下表：

SO

2[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35132184

(35,75]6812

(75,115]3710

⑴估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150”的概率;

(2)根据所给数据，完成下面的2X2列联表：

SO

2[0.150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,1151

(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2

浓度有关？

,_______n(ad-be)2______

附•:/3+b)(c+d)m+c)(Z?+(/)'"=〃+力+c+d.

a0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

Xa

I听课记录］

类题通法

应用独立性检验解决实际问题的环节

(1)提出零假设“0：x和y相互独立，并给出在问逝中的解释.

(2)根据抽样数据整理出2X2列联表，计算好的值，并与临界值此比较.

(3)根据检验规则得出推断结论.

(4)在x和丫不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析x和y间的影响

规律.

巩固训练3：［2021•山东青岛检测］2020年1月22日，国新办发布消息：新型冠状病毒

来源于武汉一家海鲜市场非法销售的野生动物，专家通之全基因组比对发现此病毒与2003

年的非典冠状病毒以及此后的中东呼吸综合征冠状病毒，分别达到70%和40%的序列相似

性.这种新型冠状病毒对人们的健康生命带来了严重威胁.因此，某生物疫苗研究所加紧对

新冠病毒疫苗进行实验，井将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到

统计数据如表：

未感染病毒感染病毒总计

未注射疫苗20XA

注射疫苗30yB

总计5050100

现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为方2

(1)求2X2列联表中的数据x,y,A,B的值；

(2)能否推断注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有关?

______n(ad-be)2______

附：£=〃=a+〃+c+d.

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

a0.050.010.0050.001

“3.8416.6357.87910.828

［预测1］核心素养——数据分析、教学运算

某工厂生产某种型号的农机具零配件，为了预测今年7月份该型号农机具零配件的市场

需求量，以合理安排生产，工厂对本年度1月份至6月份该型号农机具零配件的俏售量及销

售单价进行了调查，销售单价M单位：元)和销售量N单位：千件)之间的6组数据如下表所

示：

(1)根据1至6月份的数据，求y关于x的经验回归方程(系数精确到0.01)；

月份123456

销售单位

11.19.19.410.28.811.4

M元)

销售量y

2.53.132.83.22.4

(千件)

(2)结合(1)中的经验回归方程，假设该型号农机具零配件的生产成本为每件3元，那么

工厂如何制定7月份的销售单价，才能使该月利润达到最大？（计算结果精确到0.1）

Z（Xi-X）侪-y）

参考公式：经验回归方程;，=£+；b=~--------------.

Z（Xi-x）2

6

参考数据：£9=605.82,2必=168.24.

［预测2］新题型——多选题

某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量

（单位：厘米），所得数据的折线图与散点图如图所示，并求得其回归方程为;=l.16x—3075,

以下结论中正确的是（）

A.15名志愿者身高的极差小于臂展的极差

B.15名志愿者身高和臂展成正相关关系

C.可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米

D.身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米

状元笔记

非线性回归直线方程的求解

回归分析中，依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的，还是非线

性的，分为线性回归分析和非线性回归分析.通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇

到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理.

［典例］某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）

对年销售晟y（单位：/）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费力和年销售量

yi(i=l,2,…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d也哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x

的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y—x.根据(2)的结果回答下列问题：

①年宣传费x=49时，年销伐量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(U|,V1),(U2»V2),…，(Un，Vn),其回归直线V=a+pU的斜率和截

n______

Z(Ui-U)(Vi—V)

距的最小二乘估计分别为-----------------,a=~-[iT.

Z(Ui-U)2

i=l

【解析】⑴由散点图可以判断，y=c+岫适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回

归方程类型.

8__

Z(WLw)&-y)

Ai-11AOo

(2)令卬=小，先建立y关于w的经验回归方程，由于d=------------------=需

Z(WLW)2

=68,

AA

c=V-d~w=563-68X6.8=100.6,

所以y关于w的经验回归方程为y=100.6+68w,

因此y关于x的回归方程为y=100.6+68正.

(3)①由(2)知，当x=49时，

年销售量y的预报值y=100.6+684而=576.6,

A

年利润z的预报值z=576.6X0.2—49=66.32.

②根据(2)的结果知，年利润z的预报值

A

z=0.2(100.6+685)—x=-x+13.6-\/x4-20.12.

所以当代=孚=6&即x=46.24时，；取得最大值.

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.

第二节成对数据的统计分析

课前基础巩固

［教材回扣1

增加减少一条直线正负越强越弱交叉分类频数

［题组练透］

题组一

1.J2.X3.X4.V

题组二

1.答案：C

2.解析：由题意知为2=2.974<3.841=w。5

所以认为X和V独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05,故选D.

答案：D

3.解析：当x=175时，y=0.81X175+25.25=I67（cm）.

答案：167

题组三

1.解析：由题意知在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为患肺病与吸烟有关，故有

95%的把握认为患肺病与吸烟有关.故选C.

答案：C

2.解析：样本相关系数，•的取值范围为A错，D正确；经验回归直线;=鼠+

:一定经过样本中心点，B正确，C正确，故选BCD.

答案：BCD

3.解析：•・•点（1,歹）在经验回归直线上，

.-0+1+3+4

••x=J=2，

-2.24-4.3+4.8+6.7

・•・经验回归直线过点⑵4.5).

A

代入得4.5=0.95X2+。

A

••67—2.6.

答案：2.6

课堂题型讲解

题型一

例1解析：（1）由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例函数关系，也不是反比例

函数关系，排除C和D,其属于正相关关系，A正确，B错误，故选A.

（2）由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较强，

且应为正相关，所以经验回归直线的斜率应为正数，且从散点图观察经验回归直线的斜率应

该比），=x的斜率要小一些，综上可知应选B.

答案：(1)A(2)B

巩固训练1解析：(1)由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的经验回归方程斜率

为负.图②的经验回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量x与y负相关，〃与。正相关.故

选C.

(2)对于变量y与X而言，丫随X的增大而增大，故y与X正相关，即力>o；对于变量

V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2<0,故选c.

答案：(1)C(2)C

题型二

——1

例2解析：(1)由题得x=5X(2014+2015+2016+2017+2018)=2016,

7=1x(0.30+0.604-1.00+1.40+1.70)=1,

5__

Z(XLx)(Yr-y)

i~1ozRA

Jr=——i--------/=薪产。频同力

r5_r5_3-6056

A/E(XLx*、£(y-y)2

・•・,，与文的线性相关性很强.

(2)设y关于x的经验回归方程为y=〃+/?x,

5__

E(Xi-x心一yI

A尸।36

b=---------------------------=T7r=0.36,

5_IU

E(加—X)2

a=y~bx=1-0.36X2016=-724.76,

・•・)，关于x的经验回归方程是:=0.36x-724.76.

当x=2020时,)，=0.36X2020—724.76=2.44,预测该地区2020年足球特色学校有244

个.

巩固训练2解析：(1)7=3,7=2.2,fto=45,

1=1

%=55,

i=l

.；45-5X3X2.2—

''b=55-5X9=L2>

/.a=z~bt=2.2—3X1.2=-1,4>

・・・z=1.2f-1.4.

(2)将/=x—2015,z=y—5,代入z=1.2/—1.4,

A

得y-5=1.2(x-2015)-1.4,即y=L2x-2414.4.

A

(3)因为y=1.2X2022—2414.4=12,

所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达12千亿元.

题型三

例3解析：(1)根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75,且SCh浓

度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,

64

且SO?浓度不超过150的概率的估计值为丽=0.64.

(2)根据抽查数据，可得2义2列联表:

SO2

[0,150](150,4751

PM2.5

[0,75]6416

(75,115]1010

(3)根据(2)的列联表得

100X(64X10—16X10)2

贯=80X20X74X26仁7484.

由于7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空