北京2026年中考数学二轮复习难点03 圆的综合证明与运算（5大题型）（重难专练）（解析版）

难点03圆的综合证明与运算

内容导航

第一部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点

核心模块重难考向考法解读/考向预测

第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧

要点梳理典例验知技巧点拨类题夯基

考向圆及相关性质

第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶

重难考向解读

2023、2024、2025年考法解读2026年考法预测

预测第一问考查切线的判定或角/线段相等的证

中考数学中圆主要考向为：

明；第二问结合相似三角形、勾股定理、三角函数求

一、圆相关性质（每年1~2道，6分）；

线段长或半径。可能考查双切线模型：从圆外一点引

二、圆与其他知识综合（每年1~2题，6分）；

两条切线，结合角平分线、垂直关系命题。直径与垂

考查内容稳定，命题形式多样，以解答题为主，

径定理：已知直径，构造垂径定理求弦长或半径。圆

偶尔出现在选择题和填空题中，难度中等偏

内接四边形：结合对角互补、外角等于内对角等性质

上．

进行角度转换。

重难要点剖析

考向圆及相关性质

题型1垂径定理

考查了垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，

勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三

角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．

1．（2025-2026·北京·北京师范大学附属实验中学·模拟）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，且E

为OA中点，CD6．

(1)求O的半径r的长；

(2)过C作DA的垂线段交DA延长线于F，求AF的长．

【答案】(1)23

(2)3

【来源】北京市北京师范大学附属实验中学2025-2026学年九年级上学期12月期末模拟考试数学试卷

【分析】本题考查了圆的基本性质，特别是垂径定理及其推论，同时结合直角三角形的勾股定理，直角三

角形中30所对边是斜边的一半；解题的关键是灵活运用垂径定理得到弦心距与弦长的关系，并利用勾股定

理建立方程求半径；对于第二问，通过直角三角形中30所对边是斜边的一半的灵活应用转化条件，再结合

勾股定理求解．

1

（1）连接CO，由垂径定理可得CEED3，由E为OA中点得OEr，在Rt△OEC中利用勾股定理列

2

出关于半径的方程求解；

（2）由CO2OE，CEO90求得OCE30，AO，CD相互垂直平分，可得ACOC，ACAD，

等边对等角得出ACDADC，COECAE，在Rt△ACF中，利用30所对边是斜边的一半，求得AF

的长．

【详解】（1）解：连接CO，

∵直径ABCD

11

∴CECD63

22

又∵E为OA中点

11

∴OEOAr

22

在Rt△OEC中，

OE2CE2OC2

2

122

即r3r

2

3

r29

4

r212

解得r23或23（舍）

（2）解：连接AC，

11

由（1）得OEr233

22

∵CO2OE，CEO90

∴OCE30，COE60

∵E为OA中点，且CDAB

∴ACOC23

∴COE60CAE

∴ACE906030

又∵AO垂直平分CD，

∴ACAD23

∴ACDADC30

∵CFAF

∴F90

∴FCD903060

∴ACFFCDACD603030

∵在Rt△ACF中，ACF30，AC23

∴AF3

2．（2022·北京西城·二模）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点M在O上，MD恰好经过圆

心O，连接MB．

(1)若CD16，BE4，求O的直径；

(2)若MD，求D的度数．

【答案】(1)O的直径是20

(2)D30

【详解】（1）解：AB是O的直径，弦CDAB于点E，

1

DECD8，OED90，

2

设ODOBr，则OEOBBEr4，

OE2DE2OD2，

2

r482r2，

解得：r=10，

O的直径为20；

（2）解：OMOB，

MB，

DOEMB2M，

MD，

DOE2D，

DOED90，

2DD90，

D30．

3．（2025·北京密云·二模）如图，ABC内接于O，AE是O的直径，AEBC，垂足为D．

(1)求证：ABOCAE；

(2)已知O的半径为5，DE2，求BC长．

【答案】(1)见解析

(2)8

【详解】（1）证明：∵AE是O的直径，AEBC，

∴BDCD，

∴ABAC，

∵AEBC，

∴BAECAE，

∵OBOA，

∴BAEABO，

∴ABOCAE；

（2）解：∵O的半径为5，DE2，

∴ODOEDE3，

∵AEBC，

∴BDOB2OD252324，

∵AE是O的直径，AEBC，

∴BC2BD8．

4．（2025·北京清华附中·二模）如图，已知AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC，OC，BC．

(1)求证：CAOBCD；

(2)若BE3，CD8，求O的直径．

【答案】(1)见解析

25

(2)O的直径为

3

【详解】（1）证明：∵AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E，

∴BCBD，

∴CAOBCD．

（2）解：设O的半径为R，则OEOBBER3，

∵ABCD，CD8，

11

∴CECD4，

22

在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2OE2CE2，

2

∴R2R342，

25

解得R，

6

25

∴O的直径为．

3

5．（2025·北京一零一中学·一模）如图，OAOB，AB交O于点C，D，OE是半径，且OEAB于点F．

(1)求证：ACBD；

(2)若CD6，EF1，求O的半径．

【答案】(1)见解析

(2)5

【详解】（1）证明：∵OEAB，CD为O的弦，

CFDF，

OAOB，OEAB，

AFBF，

AFCFBFDF，

ACBD；

（2）解：如图，连接OC，

OEAB，CD为O的弦，

1

∴CFCD3，OFC90，

2

CO2CF2OF2，

设O的半径是r，

2

r232r1，

解得r=5，

∴O的半径是5．

6．（2025·北京十一学校龙樾学校·一模）如图，在以AB为直径的O中，弦CDAB于点H，与弦AE交于

点F，连接BE，已知CD8，AH2．

(1)求O的半径；

(2)若ACCE，求BE的长．

【答案】(1)5

(2)6

【详解】（1）解：如图，连接OD，

设半径ODr，

CD8，AH2，CDAB，AB是O的直径，

DH4，OHOAAHr2，

2

r216r2，

解得r=5，

O的半径为5；

（2）解：由（1）得：直径AB10，ACAD，E90，

∵ACCE

∴ACCE，

AECD，

AECD8，

BEAB2AE26．

题型2切线的判定与性质

考查切线的判定与性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角

形的性质、平行线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用，熟练掌握相

关知识的联系与性质是解答的关键．

7．（2025·北京西城·二模）如图，O为ABC的外接圆，点A为BAC的中点，O的切线AD交BO的延

长线于点D，BD交AC于点E．连接OA，OC，且AOC2AED．

(1)求证：DAEAED；

(2)若AD1，求BC的长．

【答案】(1)详见解析

(2)2

【来源】2025年北京市西城区九年级中考二模数学试卷

【分析】（1）本题要证明DAEAED，通过设ABC，利用同弧所对圆心角是圆周角的两倍，得

到AOC2．再根据等腰三角形OAC两底角相等以及三角形内角和求出OAC．由切线性质得到

OAD90，进而得出DAE的度数．最后结合已知AOC2AED，得出AED的度数，从而证明

两角相等．

（2）求BC的长，先延长AO交BC于F．根据点A为BAC的中点，利用垂径定理的推论得到ABAC，

再通过证明ABOACO得出AFBC．由AFBFAD90得到ADBC，进而推出角相等关系．结

合前面（1）中角的结论，得出OBCOCBADOAOD45，从而得到线段相等关系

OBOCOAAD，最后根据BCOD2AD，结合AD1求出BC的长．

【详解】（1）证明：设ABC，则AOC2，

∵OAOC，

∴OACOCA，

∴OAC90，

∵AD是O的切线，

∴半径OAAD，

∴OAD90，

∴DAE，

∵AOC2AED，

∴AED，

∴DAEAED．

（2）解：延长AO交BC于F，则FAD90，

∵点A为BAC的中点，

∴ABAC，

∵OAOA，OBOC，

∴△ABO≌△ACO，

∴BAOCAO，

∴AFBC，

∴AFBFAD90，

∴AD∥BC，

∴ADOOBC，

∵OECAEDDAE，OCAOAC90DAE，

∴COECOB90，

∴OBCOCBADOAOD45，

∴OBOCOAAD，

∴BCOD2AD，

∵AD1，

∴BC2．

8．（2024·北京顺义·一模）在O中，AB为O的弦，连接OA，OB，ABO30，

(1)如图1，若半径OCAB于点D，CD1，求弦AB的长；

(2)如图2，MN为O的切线，点P为切点，且MN∥OB，过点P作PFAB于点F，与半径OB相交于点

E．若O的半径是3，求OE的长．

【答案】(1)23

(2)3

【详解】（1）解：OCAB，

AB2BD．

ABO30，

OB2OD．

OBOC，OCODCD，CD1，

2ODOD1．

OD1，OB2，

在RtBOD中，由勾股定理得BDOB2OD222123，

AB2BD23．

（2）解：如图，连接OP．

MN为O的切线，

OPMN，即OPN90．

MN∥OB，

BOPOPN90．

PFAB，

BFE90，

BOPBFE90，

BEFPEO，ABO30，

EPOABO30，

PE2OE．

在Rt△PEO中，由勾股定理得PE2PO2OE2，

即(2OE)232OE2，

解得OE3．

9．（2025·北京丰台·一模）如图，AB，AD是O的弦，AO平分BAD．过点B作O的切线交AO的延

长线于点C，连接CD，BO．延长BO交O于点E，AD交于点F，连接AE，DE．

（1）求证：CD是O的切线；

（2）若AEDE3，求AF的长．

33

【答案】（1）见解析；（2）

2

【详解】解：（1）如图，连接OD．

BC为O的切线，

CBO90．

AO平分BAD，

12．

OAOBOD，

1425，

BOCDOC，

OBOD

在△BOC和△DOC中BOCDOC

OCOC

BOCDOC，

CBOCDO90，

CD为O的切线．

（2）AEDE，

AEDE，

34，

124，

123．

BE为O的直径．

BAE90，

123430，

AFE90．

在RtAFE中，AE3，330，

13

EFAE，

22

2

222333

AFAEEF3．

22

10．（2025·北京海淀·二模）如图，P为O外一点，PA，PB是O的切线，A，B为切点，点C在O上，

连接OA，OC，AC．

(1)求证：AOC2PAC；

(2)连接OB，若AC∥OB，O的半径为5，AC6，求AP的长．

【答案】(1)见解析；

(2)10．

【详解】（1）证明：过O作OHAC于H，如图：

∴OHA90，

∴AOHOAC90，

∵PA是O的切线，

∴OAP90，

∴OACPAC90，

∴AOHPAC，

∵OAOC，

∴AOC2AOH，

∴AOC2PAC；

（2）解：连接OB，延长AC交PB于E，如图：

∵PA，PB是O的切线，

∴OBPB，PAPB，

∵AC∥OB，

∴ACPB，

∴四边形OBEH是矩形，

∴OHBE，HEOB5，

∵OHAC，OAOC，

1

∴AHCHAC3，

2

∴OHOC2CH24，

∴BEOH4，AEAHHE8，

∵PA2AE2PE2，

2

∴PA282PA4，

∴PA10．

11．（2025·北京三帆中学·二模）如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于

点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

BC1

（2）若DE＝3，CE＝2.①求的值；②若点G为AE上一点，求OG+EG最小值．

AE2

2

【答案】（1）证明见解析（2）①②3

3

【详解】（1）连接OE

∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO

∵∠FAE=∠EAO，∴∠FAE=∠AEO

∴OE∥AF

∵DE⊥AF，∴OE⊥DE

∴DE是⊙O的切线

（2）①解：连接BE

∵直径AB∴∠AEB=90°

∵圆O与BC相切

∴∠ABC=90°

∵∠EAB+∠EBA=∠EBA+∠CBE=90°

∴∠EAB=∠CBE

∴∠DAE=∠CBE

∵∠ADE=∠BEC=90°

∴△ADE∽△BEC

BCCE2

∴

AEDE3

②连接OF，交AE于G，

由①，设BC=2x，则AE=3x

BCCE

∵△BEC∽△ABC∴

ACBC

2x2

∴

3x22x

1

解得：x1=2，x（不合题意，舍去）

22

∴AE=3x=6，BC=2x=4，AC=AE+CE=8

∴AB=43，∠BAC=30°

∴∠AEO=∠EAO=∠EAF=30°，∴∠FOE=2∠FAE=60°

∴∠FOE=∠FOA=60°,连接EF，则△AOF、△EOF都是等边三角形，∴四边形AOEF是菱形

11

由对称性可知GO=GF,过点G作GM⊥OE于M，则GM=EG，OG+EG=GF+GM,根据两点之间线段最短，当

22

1

F、G、M三点共线，OG+EG=GF+GM=FM最小，此时FM=FOsin60o=3.

2

1

故OG+EG最小值是3.

2

12．（2025·北京燕山·一模）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，过点C的切线交AB的延长线于

点F，连接DF.

（1）求证：DF是O的切线；

（2）连接BC，若BCF30，BF2，求CD的长.

【答案】（1）见解析；（2）23

【详解】（1）证明：连接OD

∵CF是⊙O的切线

∴∠OCF=90°

∴∠OCD+∠DCF=90°

∵直径AB⊥弦CD

∴CE=ED，即OF为CD的垂直平分线

∴CF=DF

∴∠CDF=∠DCF

∵OC=OD，

∴∠CDO=∠OCD

∴∠CDO+∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°

∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切线

（2）解：连接OD

∵∠OCF=90°,∠BCF=30°

∴∠OCB=60°

∵OC=OB

∴ΔOCB为等边三角形，

∴∠COB=60°

∴∠CFO=30°

∴FO=2OC=2OB

∴FB=OB=OC=2

在直角三角形OCE中，∠CEO=90°∠COE=60°

CE3

sinCOE

OC2

∴CE3

∴CD=2CE23

题型3圆的内接四边形

考查圆内接四边形性质，同弧所对圆周角性质，垂径定理，弧弦圆周角关系，弦等弦心距相等，三角形

全等判定与性质，三角形相似判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，线段和差，本题难

度大，涉及知识多，图形复杂，利用辅助线画出准确图形，以及将条件转移是解题关键．

13．（2023·北京·中考）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分ABC，

BACADB．

(1)求证DB平分ADC，并求BAD的大小；

(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F．若ACAD，BF2，求此圆半径的长．

【答案】(1)见解析，BAD90

(2)4

【来源】2023年北京市中考数学真题

【分析】（1）根据圆周角定理得出ADBCDB，结合题意可得ABDCBD，再由三角形内角和定理

得BCDBAD，最后由圆内接四边形对角互补可求解；

1

（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，F90，△ADC是等边三角形，进而得出CDBADC30，

2

1

由BD是直径，根据含30度角的直角三角形的性质可得BCBD，在Rt△BFC中，根据含30度角的直角

2

三角形的性质求得BC的长，进而即可求解．

【详解】（1）解：∵BCBC，

∴BACCDB，

又∵BACADB，

∴ADBCDB，

∵BD平分ABC，

∴ABDCBD，

又∵BAD180ABDADB

BCD180CBDCDB

∴BCDBAD

又∵BCDBAD180，

∴BADBCD90；

（2）解：∵BAD90，CF∥AD，

∴FBAD180，则F90．

∵ADCD，

∴ADDC．

∵ACAD，

∴ACADCD，

∴△ADC是等边三角形，则ADC60．

∵BD平分ADC，

1

∴CDBADC30．

2

∵BD是直径，

1

∴BCD90，则BCBD．

2

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴ADCABC180，则ABC120，

∴FBC60，

∴FCB906030，

1

∴FBBC．

2

∵BF2，

∴BC4，

∴BD2BC8．

∵BD是直径，

1

∴此圆半径的长为BD4．

2

14．（2024·北京德胜中学·零模）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E，ABDCAD．

(1)求证：BD平分ABC；

(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若DB平分ADC,ACAD，求证：CF为O的切线．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【来源】2024年北京市西城区德胜中学九年级下学期零模数学试题

【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定：

（1）同弧所对的圆周角相等，得到CADDBC，进而推出DBCABD即可；

（2）先证明△ABD≌△CBD，推出ACD是正三角形，进而推出DAB90，得到BD是圆的直径，取BD

中点O，连接OC，易得△OBC是正三角形，推出OCF90，即可得证．

【详解】（）证明：，

1CDCD

CADDBC．

ABDCAD，

DBCABD，

BD平分ABC．

（2）解：DB平分ADC，

ADBCDB．

DBCABD,BDBD，

ABD≌CBD．

ADCD．

ACAD

ACD是正三角形．

ABDCAD60．

ABCD为圆内接四边形，

ADCABC180．

ADBDBA90．

DAB90．

BD是圆的直径．

CF∥AD，

F90

取BD中点O，连接OC

OBOC，

OBC是正三角形．

BOC60．

OC∥AF．

OCF90．

OCCF．

CF为O的切线．

15．（2025·北京延庆区·一模）如图，圆内接四边形ABDC，AB是O的直径，ODBC交BC于点E，

ACB90．

(1)求证：点D为BC的中点；

(2)若BE4，AC6，求DE．

【答案】(1)详见解析

(2)2

【详解】（1）证明：AB是O的直径，ODBC，

BDCD，即点D为BC的中点．

（2）解：AB是O的直径，ODBC，

BEEC4，

BC8，

ACB90,AC6

ABAC2BC210，

ODOB5，

OEOB2BE23，

DEODOE532．

16．（2025·北京第十三中学分校·三模）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分

ABC，BACADB．

(1)求证：DB平分ADC，并求BAD的大小；

(2)过点A作AF∥CD交CB的延长线于点F，若ACAD，BF3，求此圆半径的长．

【答案】(1)见解析，90

(2)6

【详解】（1）证明：∵BACADB，

∴ABBC，

∴ADBCDB，即DB平分ADC．

∵BD平分ABC，

∴ABDCBD，

∴ABD,CBD所对弧对的圆心角相等，

则有ADCD，

∴ABADBCCD，即BADBCD，

∴BD是圆的直径，

∴BAD90．

（2）解：∵BAD90，AF∥CD，

∴FBCD180，

∵BD是圆的直径，

∴BCD90

∴F90．

∵ADCD，

∴ADDC．

∵ACAD，

∴ACADCD，

∴△ADC是等边三角形，

∴ADC60．

∵DB平分ADC，

1

∴CDBADC30．

2

∵BD是圆的直径，

1

∴BCBD．

2

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴ADCABC180，

∴ABC120，

∴FBA60，

∴FAB906030，

1

∴FBAC．

2

∵BF3，

∴AB6，

∴BD2BC2AB12．

∵BD是圆的直径，

1

∴半径的长为BD6．

2

17．（2025·北京顺义·二模）如图，四边形ABDC是O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EAAD交

DB的延长线于点E，ABAC．

(1)求证：ABEACD；

(2)连接BC，若BC为O的直径，求证：BECD．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【详解】（1）证明：∵四边形ABDC是O的内接四边形，

∴ABDACD180，

∵ABEABD180，

∴ABEACD；

（2）连接BC，

∵BC为O的直径，

∴BAC90，

∵AEAD，

∴EAD90，

∴EABBADCADBAD90，

∴EABCAD，

在ABE和ACD中，

EABDAC

ABAC，

ABEACD

∴△ABE≌△ACD（ASA），

∴BECD．

18．（2025·北京八十中学·二模）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，BD为直径，DA平分BDE；

且AECD的延长线于点E．

(1)求证∶AE是O的切线

(2)若AE4，CD6，求O的半径和AD的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)5；25

【详解】（1）证明：如图，连接OA，

∵AEEC，

DAEADE90，

∵DA平分BDE，

ADEADO，

OAOD，

OADADO，

ADEOAD，

DAEOAD90，

OAE90

∴AE是O的切线；

（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，

OFCD，

又∵OAE90,AEC90，

∴四边形AEFO是矩形，

CD6，

DFFC3，

在RtOFD中，OFAE4，

ODOF2DF242325，

在Rt△AED中，AE4,EDEFDFOADFODDF532，

AD422225，

∴AD的长是25

题型4圆与三角形函数综合

考查了圆周角定理，垂径定理，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是正确的

作出辅助线；部分题目除需掌握三角函数定义外还需掌握特殊三角函数值。

19．（2025·北京·中考）如图，在O中，AB为O的直径，C为O上一点，PD是O的切线，过点P作

AC的垂线，交AC的延长线于点D．

(1)求证：AP平分DAB；

5

(2)若AC5，sinAPC，求PD的长．

13

【答案】(1)证明见解析；

(2)6

【来源】2025年北京市中考数学试卷（二）

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，关键是掌握切线的性质，圆周角定理，矩形

的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质．

（1）由切线的性质，垂直的定义推出OPAD，得到DAPAPO，由OAOP得到OAPAPO，因

此DAPOAP，即可证明PA平分DAB；

5

（2）由圆周角定理得到ABCAPC，因此sinAPCsinABC，求出AB的长，由勾股定理求出BC

13

的长，由垂径定理求出CH的长，由矩形的性质即可求出PD的长．

【详解】（1）证明：连接PO，

∵PD与圆相切于P，

∴半径OPPD，

∵ADPD，

∴OPAD，

∴DAPAPO，

∵OAOP，

∴OAPAPO，

∴DAPOAP，

∴PA平分DAB；

（2）解：连接BC，如图，

∵AB是圆的直径，

∴ACB90，

∵ABCAPC，

5

∴sinAPCsinABC，

13

AC55

∴，

ABAB13

∴AB13，

∴BCAB2AC21325212，

∵BCAD，PDAD，

∴PDBC，

∵OPPD，

∴POBC，

1

∴CHBC＝6，

2

∵四边形DCHP是矩形，

∴PDCH6．

20．（2025·北京朝阳·二模）如图，AB、BF分别是O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，

过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HFHG．

（1）求证：ABCD；

3

（2）若sinHGF，BF3，求O的半径长．

4

【答案】（1）证明见解析；（2）2

【详解】解：（1）连接OF，

，

∵FH为O的切线；

∴OFH90，

∴OFBBFH90，

∵FHGH，

∴GFHFGH，

∴GFHFGHBGE，

∵OFOB，

∴OFBOBF，

∴OBFBGEOFBBFH90，

∴ABCD；

（2）连接AF，

AB为直径，OAOF,

AFB90AFOOFB,AOFA,

BFHOFB90,

BFHA，

3

∵sinHGF，

4

3

∴sinA，

4

BF3

∴sinA，

AB4

∴AB4，

∴O的半径长为2．

21．（2025·北京门头沟·二模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，

连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

183

（2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长．

55

【答案】（1）见解析；（2）OF＝5．

【详解】（1）连接OC．如图1所示：

∵OA＝OC，

∴∠1＝∠2．

又∵∠3＝∠1+∠2，

∴∠3＝2∠1．

又∵∠4＝2∠1，

∴∠4＝∠3，

∴OC∥DB．

∵CE⊥DB，

∴OC⊥CF．

又∵OC为⊙O的半径，

∴CF为⊙O的切线；

（2）连接AD．如图2所示：

∵AB是直径，

∴∠D＝90°，

∴CF∥AD，

∴∠BAD＝∠F，

BD3

∴sin∠BAD＝sinF＝，

AB5

5

∴AB＝BD＝6，

3

∴OB＝OC＝3，

∵OC⊥CF，

∴∠OCF＝90°，

OC3

∴sinF＝，

OF5

解得：OF＝5．

22．（2024·北京燕山·二模）如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝10，以BC为直径作O交AB于点D，交

AC于点G，DF⊥AC于F，交CB的延长线于点E．⊙

（1）求证：直线EF是O的切线；

2

（2）若sin∠E＝，求⊙AB的长．

5

【答案】（1）见解析；（2）AB＝230．

【详解】（1）证明：连接OD，

∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠BAC，

∵OD＝OB，

∴∠ABC＝∠ODB，

∴∠BAC＝∠BDO，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∵OD为半径，

∴直线EF是⊙O的切线；

（2）连接BG，

∵BC是⊙O直径，

∴∠BGC＝90°，

∵DF⊥AC，

∴∠DFC＝90°＝∠BGC，

∴BG∥EF，

∴∠E＝∠GBC，

2

∵sin∠E＝，

5

2CG

∴sin∠GBC＝＝，

5BC

∵BC＝10，

∴CG＝4，

∴AG＝10﹣4＝6，由勾股定理得：BG＝BC2CG2221，

在RtBGA中，由勾股定理得：AB＝BG2AG2(221)262230，即AB＝230．

23．（△2025·北京清华附中·二模）如图，BA是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O

的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．

(1)求证：BE与O相切；

1

(2)延长EC交BA的延长线于点F．若AF＝2，tanABC，求O的半径长．

2

【答案】(1)见详解

(2)3

【详解】（1）证明：∵EC为O的切线，

∴OCE90，

∵ODBC，

∴COEBOE，

在COE和△BOE中

COOB

∵COEBOE

OEOE

∴△COE≌△BOE，

∴OBEOCE90，

BE与O相切；

（2）解：由（1）得OBE90，OBDEBD90，

∵ODBC，

∴OEBEBD90，OBDOEB，

1

∵tanABC，

2

∴在BOD，设ODx，则BD2x，OBx5，AB2x5，

1

∵tanABC，OBx5，AF＝2，

2

∴在△OBE，BE2x5，FB22x5，

∵EC为O的切线，

∴FCO90，

由（1）得OBE90，

∵FF，

∴FOC∽FEB，

FOCO2x5x5

∵，

FEBEFE2x5

∴FE42x5

∵在△EBF中，EF2FB2EB2，

35

∴x，

5

∵OBx5，

∴OB3．

24．（2025·北京清华大学附属中学·二模）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，ABCD于点E，BF//OC，

连接BC和CF，CF交AB于点G.

（1）求证：OCFBCD；

1

（2）若CD4，tanOCF，求⊙O半径的长.

2

5

【答案】（1）详见解析；（2）

2

【详解】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，ABCD，

∴BCBD

∴BCDBFC

∵BF//OC

∴OCFBFC，

∴OCFBCD.

1

（Ⅱ）∵CD4,CECD

2

∴CE2

∵OCFBCD

BE1

∴tanOCFtanBCD，

CE2

∵CE2

∴BE1

设OCOBx，则OEx1

在RtOCE中，

2

∵x2x122

5

∴x

2

5

答：⊙O半径的长为.

2

题型5圆与相似综合

考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是

解题的关键．

25．（2024·北京平谷·二模）如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦．过点B作BC//AD，交圆

O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点

P，且∠BCP=∠ACD．

（1）判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：

（2）若AB=9，BC=6，求PC的长．

27

【答案】（1）直线PC与圆O相切（2）PC=

7

【详解】解：（1）直线PC与圆O相切．理由如下：

如图，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN，

∵AB//CD，

∴∠BAC=∠ACD，

∵∠BAC=∠BNC，

∴∠BNC=∠ACD，

∵∠BCP=∠ACD，

∴∠BNC=∠BCP，

∵CN是圆O的直径，

∴∠CBN=90°，

∴∠BNC+∠BCN=90°，

∴∠BCP+∠BCN=90°，

∴∠PCO=90°，即PC⊥OC，

又∵点C在圆O上，

∴直线PC与圆O相切

（2）∵AD是圆O的切线，

∴AD⊥OA，即∠OAD=90°，

∵BC//AD，

∴∠OMC=180°-∠OAD=90°，即OM⊥BC，

∴MC=MB，

∴AB=AC，

1

在RtAMC中，∠AMC=90°，AC=AB=9，MC=BC=3，

2

由勾股△定理，得AM=AC2MC2=9232=62，

设圆O的半径为r，

在RtOMC中，

∠OM△C=90°，OM=AM-AO=62r，MC=3，OC=r，

由勾股定理，得OM2+MC2=OC2，

2

即62r32=r2．

27

解得r2，

8

在OMC和OCP中，

∵∠△OMC=∠△OCP，∠MOC=∠COP，

∴△OMC～OCP，

27

△622

OMCM3

∴=，即8．

27

OCPC2PC

8

27

∴PC

7

26．（2024·北京二中·一模）如图，AB是O的直径，C为圆上一点，D是劣弧BC的中点，DEAB于E，

过点D作BC的平行线DM，连接AC并延长与DM相交于点G，连接AD与BC交于点H．

(1)求证：GD是O的切线；

(2)若CD6,AD8，求AH的值．

【答案】(1)见解析

(2)3.5

【来源】2024年北京市东城区北京二中教育集团中考一模数学试题

【分析】本题主要考查切线的判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质等知识：

（1）连接OD，得ONC90，再由DM∥BC可得ODMONC90，故可证明GD是O的切线；

（2）运用勾股定理求出AB10，再△CDH∽△ABH，可求出DH,从而求出AH

【详解】（1）证明：连接OD，如图所示：

∵D是劣弧BC的中点，

∴ODBC，OD平分BC，

∴ONC90,

∵DM∥BC，

∴ODMONC90

∴DMOD，

∵OD是O的半径，

∴GD是O的切线；

（2）∵D是劣弧BC的中点，

∴BDCD6，

1

∴BNBC，

2

∵AB是O的直径，

∴ADB90,

∴ABAD2BD2826210，

∵DCHBAH，CHDAHB，

∴△CDH∽△ABH，

CHDHCD63

∴，

AHBHAB105

∵AB是O的直径，

∴ACBADB90，

DH3

∵，

BH5

BD4

∴，

BH5

5515

∴BHBD6

442

39

∴DHBH，

52

9

∴AHADDH83.5

2

27．（2025·北京怀柔·模拟）如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点

F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC于点D．

（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；

（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；

（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=3CD，请说明你的理由．

272

【答案】（1）（2）证明见解析（3）F在直径BC下方的圆弧上，且BFBC

53

【详解】（1）解：∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．

∴∠BCE=90°，

又∵BC为直径，

∴∠BFC=∠CFE=90°，

∵∠FEC=∠CEB，

∴△CEF∽△BEC，

CEEF

∴，

BECE

∵BE=15，CE=9，

9EF

即：，

159

27

解得：EF=；

5

（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，

∴∠ABF=∠FCD，

同理：∠AFB=∠CFD，

∴△CDF∽△BAF；

②∵△CDF∽△BAF，

CFCD

∴，

BFBA

又∵∠FCE=∠CBF，∠BFC=∠CFE=90°，

∴△CEF∽△BCF，

CFCE

∴，

BFBC

CDCE

∴，

BABC

又∵AB=BC，

∴CE=CD；

（3）解：∵CE=CD，

∴BC=3CD=3CE，

CE1

在RtBCE中，tan∠CBE=，

BC3

△

∴∠CBE=30°，

故CF为60°，

2

∴F在直径BC下方的圆弧上，且BFBC．

3

28．（2023·北京通州·一模）如图，ABC是圆内接三角形，过圆心O作OFAC，连接OA,OC，过点C作

CD∥AO，交BA的延长线于点D，COF45．

(1)求证：DC是O的切线；

(2)如果BCCE8，求O半径的长度．

【答案】(1)证明见解析

(2)O半径的长度为2

【来源】2023年北京市通州区中考一模数学试卷

【分析】（1）根据COF45，OAOC可得出AOC=90，根据平行线的性质可得OCD90，即可

得出DC是O的切线；

1

（2）根据圆周角定理可得ABCAOC45，得出ABCOAC45，即可证明ABCEAC，

2

根据相似三角形的性质，结合BCCE8可求出AC的长，根据勾股定理即可得答案．

【详解】（1）解：∵COF45，OAOC，OFAC，

1

∴AOC2COF90，OAC1809045，

2

∵CD∥AO，

∴OCD180AOC90，

即CDOC，

∵OC是O的半径，

∴DC是O的切线．

（2）由（1）可知AOC=90，OAC45，

1

∴ABCAOC45，

2

∴ABCOAC45，

∵∠BCA∠ACE，

∴ABCEAC，

BCAC

∴，即AC2BCCE，

ACCE

∵BCCE8，

∴AC28，

∴由勾股定理得2OC2AC28，

解得：OC2（负值舍去），

∴O半径的长度为2．

29．（2025·北京昌平·二模）如图，已知ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为CF的

中点，连接BE