2026年高考数学终极冲刺压轴02 利用导数研究不等式的4大核心题型（原卷版）

压轴02利用导数研究不等式的4大核心题型

1.导数与不等式证明是高考考查的重点内容，在解答题中一般会考查函数的单调性、极值和最值的综合运用，

试题难度中等或偏上，若以压轴题出现，则难度较大.

2.恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门题型，可以出现在选

择、填空或解答题中，也经常以压轴解答题形式出现，难度较大.

题型01单变量函数不等式的证明

技法指导

利用导数证明或判定不等式问题常用方法

(1)最值法：通过移项构造新函数或者等价变型构造新函数，求解新函数的最值，从而得出不等关系；

(2)适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

(3)凹凸反转法：把所证不等式转化为两个函数的大小关系，分别求解两个函数的最值，得到不等关系.

1.（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数fxaexax．

(1)讨论fx的单调性；

3

(2)证明：当a0时，fx2lna．

2

2．（2026·菏泽一模）已知函数fxxexa，gxxlnxa．

4

(1)若函数fx的最小值与gx的最小值之和为，求a的值．

e

(2)若a0，x0，证明：fxgx．

题型02双变量函数不等式的证明

技法指导

证明含双参不等式的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的

不等式转化为含单参的不等式；二是构造函数，借助导数，判断函数的单调性，从而求其值；三是回归

含双参的不等式的证明，把所求的最值应用到含参的不等式中，即可证得结果.

a

3．（2026·四川攀枝花·三模）已知函数fxlnx1aR．

x

(1)当a2时，求函数fx在x1处的切线方程；

1

(2)设函数fx的导函数为fx，若fxfxxx，证明：fxfx1．

121212a

4．（2026·安徽六安一模）已知函数f(x)ex1cosx1ax(aR).

（1）若f(x)在1,上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）当a1时，若实数x1,x2(x1x2)满足f(x1)f(x2)2，求证：x1x20.

题型03利用导数研究恒成立问题

技法指导

由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略

(1)求最值法.将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.

(2)分离参数法.将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最

值，即得参数的范围.

5.（2024全国甲（理）卷T21）已知函数fx1axln1xx．

(1)当a2时，求fx的极值；

(2)当x0时，fx0，求a的取值范围．

6.（2026·山东青岛·一模）已知函数fxexax．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当x0时，f(x)x2x1恒成立，求a的取值范围.

7．（2026·湖南永州·一模）已知函数fxax2lnx，aR．

(1)讨论fx的单调区间；

(2)若a0，且当x(0,1]时，fx1恒成立，求a的取值范围．

题型04利用导数研究能成立问题

技法指导

不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.

含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法

若a>f(x)在x∈D上能成立，则a>f(x)min；

若a<f(x)在x∈D上能成立，则a<f(x)max.

8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数fxexax2x1,aR

(1)设Fxfxfx，讨论Fx的单调性；

(2)设Gxfxfx，若Gx0有解，求a的取值范围．

1

9．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数fxaxexaR的极小值为．

e

(1)求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；

(2)若b0，且存在x0,，使得bebxlnx成立，求实数b的取值范围．

lnx1

10．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数fx

(x1)2

1

(1)求出函数fx在,e上的最值

e

(2)若关于x的不等式lnex2axax21存在唯一的整数解，求实数a的取值范围．

1．（2025·湖北武汉·模拟）已知函数f(x)ln(x1)ax2x（aR）.

(1)当a1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围.

1

2．（2025·山东聊城·三模）已知函数fxmlnxmR．

x

(1)若fx0恒成立，求m的取值范围；

3sinx

(2)当m1时，（i）求fx的最小值；（ii）证明：xfx．

cosx2

3．（2025·广东肇庆二模）已知函数fxaln2xxlnxx．

(1)若a0，求fx的零点；

(2)若a0，讨论fx的单调性；

(3)若a0,1，证明：fea1．

1

4．（2025·福建龙岩三模）已知函数f(x)ax2(2a1)x2lnx4a(a0).

2

(1)求fx的单调区间;

2

(2)设gxx2x，若对任意x1(0,2]，均存在x2(0,2]，使得fx1gx2，求实数a的取值范围.

5．（2026·黑龙江·一模）已知函数fxa(x1)2xlnx，aR．

(1)讨论fx的单调性；

11

(2)当a0时，求证：fx2a1．

22a

2x1ex

6．（2025·广东·模拟预测）已知函数fx.

x1

(1)求fx的单调区间；

1

(2)证明：当x时，fx4e2x1；

2

(3)若gxfxk0k1有两个零点x1,x2，且x10x2，证明：x1x20.

7.（2025·海南·模拟预测）已知函数f(x)eax1x,aR．

(1)当a2时，求f(x)的单调区间与极值点；

(2)已知f(x)有两个极值点x12x2，证明：x1x23．

ex2x1

8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数fx,gxxlnxexx2ax1.

x1

(1)求fx的单调区间；

1

(2)若对于任意x1,1，总存在x21,，使得fx1gx2，求a的取值范围.

2

9．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知fxax22lnx，x0,e，其中e是自然对数的底数．

(1)讨论f(x)的单调性；

1x

(2)设a，gx5ln．存在x1，x2(0,e]，使得fx1gx29成立，试求实数a的取值范围．

e2a

10．（2026·河北保定·一模）已知函数fxsinxasin3x,aR.

1

(1)当a时，求fx的极值.

3

(2)已知a0.

（i）证明:x0,1，fx2xtanx；

（ii）若fxxtx2在0,上恒成立，求实数t的取值范围.

11．（2026·河北张家口·一模）已知函数fxex，gxlnx1．

(1)求曲线gx在点2,g2处的切线方程；

(2)证明：fxgx3；

(3)若a0，关于x的不等式afxlnagx1有解，求实数a的取值范围．

12．（25-26高三上·广西·期末）已知函数fxexcosx，gxsinx1．

π

(1)求fx在0,内的单调性；

2

π

(2)若存在x