2026年高考数学终极冲刺限时预测01（原卷版）

限时预测01（A组+B组+C组）

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

为适应AI（人工智能）的发展与其对工作的影响，某公司在甲、乙两个部门随机调查了50名职工，对他们

是否熟练使用AI工具进行了测试，测试结果如下表．

不熟练熟练合计

甲部门62430

乙部门81220

合计143650

(1)分别估计甲、乙两个部门的职工熟练使用AI工具的概率；

(2)根据小概率值．的独立性检验，分析甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度是否有差异．

附：�=005

2

2�(𝑎−𝑏)

�=(�+�)(�+�)(�+�)(�+�)

0.050.010.001

2

��≥�

k3.8416.63510.828

16．（15分）

已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有．

(1)证明：数��列�1=3是,�等2差=数8列；��≥2��+1+��−1=2��+2

2

�

(2)设�，求−数�列的前项和．

2�+3

��=����+1�����

17．（15分）

如图，在三棱柱中，侧面是矩形，.

π

𝐴�−�1�1�1���1�1��1=2,𝐴=��=4,∠���1=3

(1)求证：平面；

(2)若��.1⊥𝐴1�1

（i）�求�三=棱4柱的体积；

（ii）求平面𝐴与�−平�面1�1�1的夹角的余弦值.

𝐴����1

18．（17分）

已知椭圆的方程为，其长轴长为，且点在上

226.

��5

22

��3

(1)求的方�程；+=1�>�>0�2,�

(2)设�的左顶点为，动直线的斜率为，且与交于两点，为坐标原点.

（i）�若，且�的重�心在轴上�，求�的方�程；�,��

（ii）若�经=过1的右△焦�点��，点在第�一象限，�是关于原点的对称点，且四边形与的面积之比

为，�求的�值.��������△���

5:3�

19．（17分）

已知函数．

(1)当�时�，=求4��+在��点cos�−3si处n�的�切∈线�方程；

�=2��0,�0

(2)当时，证明：对任意，都有；

3

�≥5�≥0��≥0

(3)证明：，.

�

1∗

�=1sin�+2<ln�+1�∈�

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

已知函数的最小正周期为.

π

�(�)=sin(��+3)(�>0)π

(1)求以及曲线的对称中心；

(2)讨论�函数�=�(�)在区间上的单调性.

�(�)=�(�)−�(0,π)

16．（15分）

已知椭圆：的右焦点为，且过点

22.

��3

22

��2

(1)求的方�程；+=1�>�>0�1,0�−1,

(2)设�为上一动点，当取得最大值时，求直线被截得的弦长.

����+�����

17．（15分）

如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点

′

分别为F，G．将𝐴�沿直线AB�翻��折�到，使二面角𝐴=4为��12=0°�，�设=CE31的中点为H．

′

△𝐴�△𝐴��−𝐴−�

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与��平�/面/的𝐴夹�角的余弦值．

������

18．（17分）

已知函数，．

�

(1)讨论��的单=调2e性−；���∈�

(2)若�在�上有两个零点，求实数的取值范围；

����

(3)若函数有两个极值点，，证明：．

12�1�2

��=2��−��1�2e+e>4

19．（17分）

流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈.

��

(1)若有某种治疗方案M，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭

23

3��4

致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案M痊愈的条件

1

下，能杀�灭致病菌的概率；�4�

(2)若市面上仅有两�款药物A和药物B对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天（假定药物使用时，

均按疗程服用3天），超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力

再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种

47

��510

致病菌的事件相互独立.药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平

9

均天数更短？��10

(3)已知某种药物C能治愈疾病S的概率为.设针对药物C的次临床试验中有连续3次或连续3次

�0��≥3

以上治愈疾病S的概率为，且每次治疗结果相互独立.求证：.

33�−3

����+1>��≥1−1−�01−�01−�0

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

为比较A、B两种AI教学系统在提升教师备课效率方面的差异，研究人员在某地区随机招募了200名教师，

并随机分配其中100名使用系统A，其余100名使用系统B．经过一个月的试用后，以“备课时间减少15%

以上”作为备课效率显著提升的标准，经整理得到如下列联表：

备课效率

显著提升没有显著提升合计

使用的教学系统

系统A7525100

系统B5545100

合计13070200

(1)记事件“该地区教师使用系统A后，备课效率显著提升”的概率为，求的估计值；

(2)根据小概率值的独立性检验，分析这两种AI教学系统�在显著�提升教师备课效率方面是否存在

差异．�=0.005

附：，

2

2�𝑎−𝑏

�=�+��+��+��+�

0.050.0050.001

�

3.8417.87910.828

��

16．（15分）

已知数列的前n项和为，，且．

�����1=2��=���+1−2�−2

(1)证明：数列为等差数列；

��

�

(2)记，求数列的前项和．

1

��=����+1�����

17．（15分）

如图，直角梯形中，为的中点，以为折痕把折

1

起，使点到点�的�位��置，且𝐴//��,𝐴．⊥��,��=��=2𝐴=2,�𝐴��△���

����=23

(1)设平面与平面的交线为，证明：；

(2)证明：𝐴�平面���；���//�

(3)求二面角��⊥���的�余弦值．

�−��−�

18．（17分）

已知双曲线的