第二讲 空间向量求解位置关系距离和夹角（学生版）

第四讲空间向量求解位置关系、距离和夹角【知识梳理】一、直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作,有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为，在平面内找出（或求出）两个不共线的向量，根据定义建立方程组，得到，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.2.利用空间向量表示空间线面平行、垂直设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.位置关系平行垂直线线（与）线面（与）面面（与）3.利用空间向量求空间角设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.（1）直线所成的角为，则，计算方法：；（2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：；（3）平面所成的二面角为，则，如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小．如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)．4.利用空间向量求距离（1）点到平面的距离如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则B到平面的距离为.（2）点到直线的距离设为直线上一点,为直线的方向向量,在向量方向上的投影向量的模长为,则点到直线的距离.题型01空间向量与平行问题【解题思路】设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，①若与平行，则；②若与平行，则；③若与平行，则【例1】若直线，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（

）A．4 B． C． D．8【例2】如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：平面CDE．

【变式1-1】设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（

）A．2 B．3 C． D．【变式1-2】（多选）如图，点A，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则直线平面的是（

）A． B．

C．

D．

【变式1-3】（多选）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：

(1)平面；(2)平面平面．题型02空间向量与垂直问题【解题思路】设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.①若与垂直，则；②若与，则；③若与垂直，则【例3】直线的方向向量是，若，则平面的法向量可以是（

）A． B． C． D．【例4】已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分）【变式2-1】正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【变式2-2】如图，在三棱锥中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证：【变式2-3】已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.

(1)求该正三棱台的表面积；(2)求证：平面题型03空间向量与距离问题【解题思路】（1）为平面外的一点，为平面内的一点，为平面的法向量，B到平面的距离为；（2）为直线外一点，为直线上一点,为直线的方向向量,则点到直线的距离.【例5】已知直线过点，其方向向量是，则点到直线的距离是（）A． B． C． D．【例6】（多选）已知棱长为2的正方体中，E，M，N分别为，，的中点，则下列说法中正确的是（

）A．平面 B．直线与直线的距离为C．点A到平面的距离为 D．到平面的距离为【变式3-1】在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为.【变式3-2】如图，在棱长为4的正方体中，点在棱上，且.(1)求平面与平面夹角的余弦值；(2)若点在棱上，且到平面的距离为，求到直线的距离.【变式3-3】如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且为中点．(1)求二面角的余弦值；(2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．题型04求异面直线夹角大小或范围【解题思路】设直线的方向向量分别为，若直线所成的角为，则，计算方法：；【例7】如图，已知四边形是菱形，，点E为的中点，把沿折起，使点A到达点P的位置，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【例8】如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.’(1)求证:(2)求三棱锥的体积(3)求异面直线所成的角的最小值.【变式4-1】如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，,

D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【变式4-2】如图，在正四棱锥中，，E，F分别是PB，PD的中点，则异面直线AE，CF所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【变式4-3】（多选）正方体中，P是体对角线上的动点，M是棱上的动点，则下列说法正确的是（

）

A．异面直线与所成的角的最小值为B．异面直线与所成的角的最大值为C．对于任意的P，存在点M使得D．对于任意的M，存在点P使得题型05已知异面直线夹角大小求参数【例9】如图，已知点在正方体的对角线上，设，则的值为（

）A． B． C． D．【例10】在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，是的中点，是棱上一点（不含端点），满足．若异面直线与所成角的余弦值为，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式5-1】如图，在三棱锥中，底面，，点D，E，N分别为棱，，的中点，M是线段的中点，，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)已知点H在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.【变式5-2】已知圆锥的顶点为，为底面圆心，，异面直线与所成角的余弦值为，的面积为.(1)求该圆锥的表面积；(2)求该圆锥内半径最大的球的体积.【变式5-3】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC(1)记平面平面，证明：平面；(2)点Q是直线上的点，若直线与所成角的余弦值为，求线段长.题型06求线面夹角大小或范围【解题思路】设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.若直线与平面所成的角为，则，计算方法：；【例11】在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，底面，且，(1)求直线与所成角的余弦值．(2)直线与平面所成角的正弦值【例12】（多选）在如图所示的直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是侧面内的动点（不含边界），，则与平面所成角的正切值可以为（

）A． B．C． D．【变式6-1】如图，已知平面，为矩形，，M，N分别为线段，的中点.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.(3)若Q是线段的中点，求点Q到平面的距离.【变式6-2】将长方体沿截面截去一个三棱锥后剩下的几何体如图所示，其中，，分别是，的中点.

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【变式6-3】如图，圆台的轴截面为等腰梯形为底面圆周上异于的点(1)若是线段的中点，求证：平面(2)若，设直线为平面与平面的交线，点与平面所成角为，求的最大值.题型07已知线面夹角大小求参数【例13】如图，在四棱锥中，平面，点是的重心.

(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.【例14】如图，平面，平面，，，，.(1)求证：平面；(2)试求为何值时，直线与平面所成角的正弦值为.【变式7-1】如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点．当直线BP与平面所成的角正弦值为时，求点D到平面的距离．【变式7-2】已知正方体中，、分别是，的中点，点是棱上的动点，．(1)证明：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值．【变式7-3】如图，且，，且，且，平面，．

(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．题型08求面面夹角大小或范围【解题思路】平面的法向量分别为.①若平面所成的二面角为，则，；②若平面所成的角为，则，，【例15】如图，四棱锥的底面为菱形，，，，.

(1)证明：；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.【例16】如图，在平行六面体中，底面，．(1)证明：；(2)设点为线段上一点（异于D，），当为何值时，平面与平面夹角的余弦值最大？【变式8-1】如图，在直四棱柱中，四边形ABCD为梯形，，，，，点E在线段AB上，且，F为BC的中点．(1)求证：平面；(2)若直线与平面ABCD所成角的大小为45°，求二面角的余弦值．【变式8-2】已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：(1)证明：平面平面；(2)若点M在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【变式8-3】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．(1)求证：EF⊥平面BCF；(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大？并求此时锐二面角的余弦值．题型09已知面面角大小求参数【例17】在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为．【例18】如图所示，四边形ABCD为圆柱ST的轴截面，点Р为圆弧BC上一点（点P异于B，C）．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)若，（），且二面角的余弦值为，求的值．【变式9-1】如图，在三棱台中，平面，，.

(1)证明：；(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的长.【变式9-2】如图，在三棱锥中，分别是线段的中点，，.(1)求证：平面；(2)若二面角的余弦值为，求.【变式9-3】如图，在四棱锥中，，，，，分别为的中点，．

(1)求证：平面平面；(2)设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围．题型10立体几何的探索性问题【例19】如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点．(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【例20】已知四边形为正方形，为，的交点，现将三角形沿折起到位置，使得，得到三棱锥.

(1)求证：平面平面；(2)棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.【变式10-1】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.(1)求证：；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)棱上是否存在点，它与点到平面的距离相等，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.【变式10-2】如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.

(1)求证：平面；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；(3)线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【变式10-3】如图①，在直角梯形中，，，.将沿折起，使平面平面，连，得如图②的几何体.(1)求证：平面平面；(2)若，二面角的平面角的正切值为，在棱上是否存在点使二面角的平面角的余弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，说明理由.课后作业一、单选题1．平面的一个法向量，如果直线平面，则直线的单位方向向量（

）A． B．C． D．2．如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（

）A． B． C． D．3．《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，，，，若AG⊥平面EFC，则=（

）A． B． C． D．二、多选题4．如图1，矩形由正方形与拼接而成．现将图形沿对折成直二面角，如图2．点（不与重合）是线段上的一个动点，点在线段上，点在线段上，且满足，，则（

）

图1

图2A． B．C．的最大值为 D．多面体的体积为定值5．如图，正方体的棱长为1，点，分别为和的中点，则（

）

A．直线平面B．直线与直线为异面直线C．点到平面的距离为D．若点为线段上的动点（含端点），则的范围为三、填空题6．在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点P到底面的距离为.7．某公园有一个坐落在水平地面上的大型石雕，如图是该石雕的直观图.已知该石雕是正方体截去一个三棱锥后剩余部分，是该石雕与地面的接触面，其中是该石雕所在正方体的一个顶点.某兴趣小组通过测量的三边长度，来计算该正方体石雕的相关数据.已知测得，则该石雕最高点到地面的距离为.四、解答题8．如图，已知正三棱锥和正三棱锥有相同的底面，且．(1)若，求二面角的余弦值；(2)若平面，求的长度．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，DC＝3AB＝3，AD＝3，AB∥CD，CD⊥AD，平面PCD⊥平面ABCD，