第四讲 椭圆与双曲线（学生版）

第四讲椭圆与双曲线【知识梳理】一、椭圆的定义平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.定义式：.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.二、椭圆的标准方程焦点在轴上，；焦点在轴上，.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：.三、椭圆的图形及其简单几何性质标准方程图形焦点位置几何性质范围顶点焦点对称性离心率在轴上，对称轴：轴，轴，对称中心：原点，在轴上，注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.必记结论：1．设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处．2．已知过焦点F1的弦AB，则的周长为四、双曲线的定义和标准方程1．双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：.（3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；当时，轨迹为分别以为端点的两条射线；当时，动点轨迹不存在．2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图1所示；（2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示．图1 图2注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有．3．必记结论（1）焦点到渐近线的距离为.（2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为．（3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或．（4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为．（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为．（6）与椭圆有共同焦点的双曲线方程可设为．五、双曲线的几何性质1．双曲线的几何性质标准方程图形范围，，对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点焦点左焦点，右焦点下焦点，上焦点顶点轴线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴；实轴长，虚轴长渐近线离心率2．等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：（1）方程形式为；（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3）实轴长和虚轴长都等于，离心率．题型01椭圆及双曲线的定义【解题思路】椭圆的定义：平面内动点到两定点的距离的和为常数，即，当时，动点的轨迹是椭圆；当时，动点的轨迹是一条线段；当时，动点的轨迹不存在.双曲线定义中，距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支，若分别表示双曲线的左、右焦点，则有以下两种情形：①若点满足，则点在左支上；②若点满足，则点在右支上.【例1】已知，下列命题正确的是（

）A．若到距离之和为，则点的轨迹为椭圆B．若到距离之差为，则点的轨迹为双曲线C．椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积是D．渐近线为且过点的双曲线的焦点是【例2】已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-1】（多选）已知、，下列说法中正确的是（

）A．平面内到、两点的距离相等的点的轨迹是直线B．平面内到、两点的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支C．平面内到、两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆D．平面内到、两点距离的平方和为的点的轨迹是圆【变式1-2】设满足：，则的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．不存在【变式1-3】（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（

）A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线题型02求椭圆、双曲线的方程【解题思路】用待定系数法求椭圆方程：根据焦点位置设方程为或，若焦点位置不确定，则可设椭圆的方程为，，用待定系数法求椭圆方程：根据焦点位置,设方程为或,焦点不定时,亦可设为；【例3】已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为2，则椭圆的方程是（

）A． B．C． D．【例4】求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为2；(2)与双曲线有共同的渐近线，并且经过点．【变式2-1】焦点在轴上的椭圆过点，且点到两焦点的距离之和为8，则该椭圆标准方程为.【变式2-2】与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【变式2-3】求满足下列条件的双曲线的方程：(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点；(2)渐近线方程为，且经过点．题型03根据椭圆、双曲线的方程求参数范围【解题思路】给出方程，①当时，方程表示圆；②当时，方程表示椭圆.若，则焦点在轴上；若，则焦点在轴上.①当时，方程表示双曲线.若，则焦点在轴上；若，则焦点在轴上.【例5】已知方程对应的图形是双曲线，那么的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．【例6】若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3-1】（多选）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-2】（多选）若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是（

）A．若为椭圆，则B．若为双曲线，则或C．若为椭圆，则焦距为定值D．若为双曲线，则焦距为定值【变式3-3】（多选）若曲线的方程为：，则下列说法不正确的是（

）A．当曲线为直线时， B．当时，曲线为焦点在轴的双曲线C．当时，曲线不存在 D．当曲线表示焦点在轴上的椭圆时，题型04焦点三角形【解题思路】在解焦点三角形的有关问题时，可结合椭圆的定义或双曲线的定义及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．【例7】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，则的周长为（

）A．4 B． C．8 D．【例8】若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（

）A． B． C． D．【变式4-1】已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【变式4-2】已知，为双曲线的左，右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，设的内切圆半径为，圆心为，若，则（

）A． B． C． D．【变式4-3】已知双曲线的左、右焦点分别是，．若双曲线上一点P使得，则的面积为．题型05距离之和（差）的最值问题【解题思路】设为椭圆或双曲线上一点，为椭圆的焦点．与的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解．【例9】已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【例10】已知椭圆的左、右焦有分别为，离心率为为C上任意一点，且的周长为6，则椭圆方程为；若直线经过定点N，则的最小值为.【变式5-1】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（

）A．不存在 B．8 C．7 D．6【变式5-2】已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为．【变式5-3】阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积，除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆，以()的左焦点为，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为，则的最大值为.题型06椭圆、双曲线的简单几何性质【解题思路】由标准方程求有关性质，首先要将方程化为标准形式确定的值，进而求出，再根据几何性质得到相应的答案.【例11】椭圆与椭圆的（

）A．长轴长相等 B．短轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等【例12】（多选）已知曲线，，则（

）A．的长轴长为4 B．的渐近线方程为C．与的焦点坐标相同 D．与的离心率互为倒数【变式6-1】焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（

）A． B．C． D．【变式6-2】（多选）已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（

）A．实轴长为6 B．虚轴长为2 C．焦距为 D．离心率为【变式6-3】若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是序号是.①的焦点到渐近线的距离为4；②的离心率为；③上的点到距离的最小值为2；④过的最短的弦长为.题型07求离心率【解题思路】求离心率的值，一般先将已知条件转化为关于的方程，再求解：（1）若已知可直接代入求得；（2）若已知则使用椭圆的或双曲线求解.；（3）若已知，则先求，再利用（1）求解；（4）若已知的关系，可转化为关于离心率的方程求值【例13】已知A、F分别为椭圆的左顶点和左焦点，B、C是椭圆上关于原点对称的点，若直线平分线段，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【例14】已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的离心率是（

）A．3 B． C． D．【变式7-1】设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【变式7-2】己知是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得，则椭圆的离心率为．【变式7-3】已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且，双曲线的离心率是．题型08求离心率的取值范围【例15】设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【例16】设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式8-1】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点A、B为椭圆（）上任意两个动点，动点P在直线上，若恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知椭圆C的离心率的取值范围为【变式8-2】已知，分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存得线段的中垂线恰好经过焦点，则椭圆离心率的取值范围是【变式8-3】已知双曲线的左､右焦点分别为.(1)该双曲线虚轴的一个端点为，若直线与它的一条渐近线垂直，求双曲线的离心率.(2)若右支上存在点，满足，求双曲线的离心率的取值范围.题型09渐近线问题【解题思路】根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了此双曲线的渐近线方程．与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为；若已知双曲线的渐近线方程或，则双曲线方程可设为.(当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上.)【例17】若双曲线经过点，则此双曲线的渐近线夹角的余弦值为．【例18】已知双曲线：的左、右焦点分别为，点在轴上，点在的渐近线上.若，，则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【变式9-1】在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点是左支上一点，且，，则C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【变式9-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M（异于坐标原点O），若线段交双曲线于点P，且，则该双曲线的渐近线方程为．【变式9-3】已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为.若，则点的坐标为；双曲线的渐近线方程为.题型10轨迹方程问题【例19】已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【例20】（多选）已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能为（

）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆【变式10-1】已知动点P在曲线上，则点与点P连线的中点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【变式10-2】（多选）若A是圆所在平面内的一定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹可能是（

）A．圆 B．椭圆C．双曲线的一支 D．抛物线【变式10-3】已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线题型11实际应用【例21】如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道I上绕月球飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道II绕月球飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月球飞行，设圆形轨道I的半径为，圆形轨道III的半径为，则下列结论中正确的序号为（

）

①轨道II的焦距为；②若不变，越大，轨道II的短轴长越小；③轨道II的长轴长为；④若不变，越大，轨道II的离心率越大.A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【例22】根据中国地震局发布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共发生六级以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站A，B在公路l上（l为直线），且A，B相距，地震局以的中点为原点O，直线l为x轴，为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据A，B两站收到的信息，并通过计算发现震中P在双曲线的右支上，且，则P到公路l的距离为（

）

A． B． C． D．【变式11-1】（多选）彗星是太阳系中具有明亮尾巴的天体，它们的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．某彗星测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心约4个天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心约6个天文单位，且近日点、远日点及太阳中心同在一条直线上，则轨道方程可以为（以“天文单位”为单位）（

）A． B． C． D．【变式11-2】双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为为其左右焦点，若从由焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，则该双曲线的离心率为．

【变式11-3】某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.(1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数）(2)如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）参考数据：，椭圆的面积公式为，其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴长.课后作业一、单选题1．已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则椭圆的方程是（

）A． B．C． D．2．已知圆与坐标轴的交点为，点P为椭圆上一点，若，则点P到轴的距离为（

）A． B． C． D．3．已知双曲线的两个焦点分别是和，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．4．已知分别为双曲线的左、右焦点，过且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．5．已知曲线的方程为，下列说法错误的是（

）A．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件B．当时，曲线是半径为2的圆C．存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线D．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为6．如何计算一个椭圆的面积？这个问题早已在约2000年前被伟大的数学、物理学先驱阿基米德思考过．他采用“逼近法”，得出结论：一个椭圆的面积除以圆周率等于其长半轴长与短半轴长的乘积．即．那如何计算它的周长呢？这个问题也在约400年前被我国清代数学家项名达思考过．一个椭圆的周长等于其短半轴长为半径的圆周长加上四倍的该椭圆长