方程组的解与系数矩阵的关系

方程组的解与系数矩阵的关系随着方程组求解问题的广泛研究，系数矩阵在方程组求解探索中起着极为重要的作用。结合系数矩阵秩的概念，我们对方程组的解的有无问题的判定变得更为清晰可见；在通过用消元法对方程组进行求解的过程中，我们可以看到，无非是对未知量前的系数进行变换；因此，我们可以考虑将未知量的系数提取出来，作为两个矩阵――系数矩阵与增广矩阵，同样像消元法一样，我们用同样的变换作用在系数矩阵与增广矩阵上，其作用自然也是一样的。结合克拉默法则，进一步引入矩阵的秩的概念，可得出线性方程组有解判别定理，可用于事先判断原方程组是否有解。绪论在人们的实践运用中，方程组求解的问题向来有着相当重要的地位，加上方程组求解在日常生活中的广泛应用，这使得更多的人去了解与学习。它不仅限于出现在数学的书籍之中（如高等代数，线性代数等），并且在其他领域，我们也能找到它的足迹，它已经普遍的出现在理工类的课题之中；例如：物理学中基于模拟电荷法的数值保角变换计算法与非线性折叠孤波和周期传播波模式等、经济学中环境经济均衡问题的几何求交方法与基于混沌理论的压缩感知等、航空中基于梯度的气动外形优化设计方法与航空发动机模型求解算法及性能寻优控制中的参数估计等、通信中基于安全多方计算的匿名认证与带有负顾客和优先权的排队系统分析问题等，这些方面都是需要涉及到线性方程组的求解问题的。而对于线性方程组如何求解，我们通常采用的求解办法便是一般消元法，这个办法虽可行，但也有其缺点所在，它的过程相对繁琐，对此不妨引入矩阵的知识点进行求解；我们知道矩阵在线性代数中扮演着不可替代的重要角色，加上矩阵的秩又是矩阵的研究及其应用的核心，因此利用矩阵的秩来判定一般线性方程组解的结构,是线性方程组理论中的主要手段，本文主要从矩阵的秩在线性方程组中的应用进行讨论。1研究背景方程一词最早出现于我国东汉初年编定的一部算书典籍《九章算术》一书，它是我国古典数学中现存有传本、最古老的著作，同时它也是世界数学史上非常珍贵的古典书籍文献，整本书中一共收录了246道经典数学方面的问题，可以分为：第一章是方田、第二章为粟米、第三章的衰分、第四章则是少广、第五章即商功、第六章讲的均输、第七章说的盈不足、第八章方为方程、第九章就为勾股，总计记录了九章的内容，故名《九章算术》；这当中的第八章内容方程所记载的即是一次方程组的问题。一般消元法是最先用于求解线性方程组的有效方法，它的思想无非是运用加减消元与代入消元的方法达到求解方程组的目的；其步骤大致可分为：⒈将线性方程组中的第一个方程的第一个未知量的系数化为1；⒉用第一个方程分别乘上其后每一个方程第一个未知量前系数的相反数；⒊将所得结果对应加到相应的方程上；这样除了第一个方程，其余的方程都消去了第一个未知量，以此类推，直至消到最后一个方程。从而可知，该过程需占用大量的篇幅进行书写，稍有不慎则会拟写出错。到了19世纪初期，在1801年的一位来自德国的著名数学家高斯成为历史上第一个提出设想把呈线性变换的系数提取出来当做一个整体看待；一直到了19世纪中期，来到了1850年，另外一位英国的知名数学家西尔维斯特则是历史上第一个作为使用矩阵这个词的人；一直延续到了今天，关于矩阵的概念、乃至矩阵的各种性质我们都有了更加清楚的认识，在方程组求解中引入矩阵的相关知识点，通过对比矩阵的运算性质，我们进一步简化了消元法的书写，极大的方便了方程组的求解。2预备知识对一般线性方程组,(2.1)引入向量，,,，.于是线性方程组可以改写成向量方程.对线性方程组，我们通常采用一般消元法进行求解。消元法的主要思想是对需要进行求解的线性方程组合理作出下面的这三种基本变换(通常称之为初等变换)：1.使用一个不为0(非0)的数，去乘上某一个方程；2.把其中一个方程的特定倍数加到另一个方程上；3.调整某两个特定方程的位置。从上述三种变换可以知晓，初等变换只会把原线性方程组进一步化成与之同解的全新的一个方程组，而在经历过许多次的初等变换之后，原来的线性方程组便会化为一全新的阶梯形方程组，如下.（2.2）而且(2.1)与（2.2）同解，考察（2.2）的解的情况:⑴若（2.2）中有方程0=，而≠0，则（2.2）无解；⑵第二种情形便是是等于0，亦或是在（2.2）中已经不存在有零等于零(“0=0”)的方程，这一来，可分为以下两种情况来考虑：⒈当r=n时，此种情况下的的阶梯形方程组既已化为如下形式(2.3）这就是说明了原方程组（2.1）是拥有唯一解的。⒉若r<n，则阶梯形方程组为.一般地，我们可以把，，……，通过，……，表示出来，其中，i=1，2，……，r，把它改写成这样一组表达式称为方程组（2.1）的一般解，而……，称为一组自由未知量。综合以上步骤来说就是，起初最先使用初等变换将线性方程组转化成为一全新的阶梯形方程组，通过观察这个阶梯形方程组，看在其最后面有没有一些恒等式零等于零(“0=0”)，如果有的话先将其删掉，之后再看余下来的方程组之中其最后边的一个等式是不是0等于了一个非零的数，如果有则可断定该方程组没有解，也就无需进行后续的步骤，反之则说明原方程组有解。建立于之前的判断后原方程组还有解的情形之下，这样一来我们看现有的阶梯形方程组中方程的个数r是否等于方程组中未知量的个数，相等的话则原方程组有唯一一个解；如果阶梯形方程组中方程的个数r比未知量的个数还小，这样一来则说明该方程组应该有无穷多个解。3主要结论克拉默法则：线性方程组(2.1)的系数矩阵如下若此系数矩阵的行列式不等于0，相当于系数行列式d=|A|≠0，则就有原线性方程组（2.1）必然有解，而且这个解还是唯一的，解是可以通过系数表示为如下形式的这当中是把系数矩阵A中的第j列换写成原线性方程组中的常数项所成之后的矩阵的行列式，也就是.定义3.1我们所说的矩阵的行秩，即就是指矩阵的所有行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的所有列向量组的秩。定理3.1任何一个矩阵，它的的行秩定然与列秩相等。证明：设下面需要讨论的矩阵形式为而A的行秩=r，列秩=。为了证明r=我们先来证r≤。以代表矩阵A的行向量组，无妨设是它的一个极大线性无关组。因为是线性无关的，所以方程有解，并且只有零解，这也就相当于是说，这个齐次线性方程组有且只有零解。而若这个齐次线性方程组它的系数矩阵的行秩r<n，那么可以断定它是有非零解的。由此我们还可以知晓，这个线性方程组的系数矩阵的行秩≥r。所以在它的行向量中是能够找到r个向量是线性无关的。比方说，以下向量组,是线性无关的。则在这些向量上添上几个分量后所得的向量组也必然是线性无关的。可以明确地知道它们刚刚是原系数矩阵A的r个列向量，由它们本身的线性无关性可以知道原系数矩阵A的列秩r1起码是r，就是相当于说≥r。用同样的方法可证r≥r1，则证明了行秩与列秩的相等。定义3.2现在在一个s×n的矩阵A中随意选择k个行与k个列，处在这些选定的行数和列数的交点处的k²个元素按照原先排号的顺序所组成的新的一个k级行列式，称作是矩阵A的其中一个k级子式。定理3.2任何一个矩阵的秩为r的充要条件是该矩阵中至少有一个r级子式不等于0，另外一切r+1级子式全等于0。证明：首先我们来证明必要性。不妨假设原矩阵A的秩等于r。可以清晰地知到矩阵A中随便r+1个行向量肯定是线性相关，矩阵A中随意r+1级子式的行向量也必定线性相关。故此，这样的子式全等于0。下面我们证明矩阵A中最少都有一个r级子式不等于0。由于的秩是r，则在A中有r个行向量线性无关。如就取前r个行向量作一新矩阵.显而易见，的行秩是r，其列秩也是r，说明了在中有r列线性无关。可假设前r列线性无关，行列式即是该矩阵A的当中的一个r级子式。必要性也就得以证明。下面我们再来证明其充分性。此处可以假设原矩阵A中有一个r级子式不等于0，则有一切r+1级子式全等于0。需要证明的是A的秩等于r。若假设原矩阵A的秩是t。则由上述已证明的必要性，我们知道了此处t≥r，否则A的r级子式就全等于零了，这也就与假设产生了矛盾。同样的道理，t≤r，不然A就有一个t（t≥r+1）级子式不等于零，如此也会与假设矛盾。所以综上所述得出t=r。如此充分性也随即得以证明。为了方便我们以下的探讨，不妨先引入以下几个结论：我们容易知道的是等价的向量组都有相同的秩，而初等变换又总是将向量组转化为与之等价的向量组，故可知初等变换不改变矩阵的秩。另外，每一个阶梯形矩阵的秩就是其中非零的行数的个数。即可得出一个小结论，要想计算出一个矩阵的秩，先得使用初等变换把它化成等价的阶梯形矩阵，在这个阶梯形矩阵中所有非零的行的个数即是原先矩阵的秩。线性方程组有解判别定理：定理3.3线性方程组（2.1）有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵有同样的秩。证明：首先我们来证明必要性。不妨设原线性方程组（2.1）解存在，换而言之，β可以用向量组线性表示出来。由此立即推出，向量组与向量组，β是互为等价的，所以它们有着同样的秩。上述的两个向量组分别对应是矩阵A与A的列向量组。由此可见矩阵A与A有着一样的秩。接着再来证明充分性。事先假设矩阵A与A有一样的秩，也可以说它们与之相对应的列向量组与，β有相同的秩，令它们的秩为r。中的极大线性无关组是由r个向量组成，无妨设是它的一个极大线性无关组，显然也是向量组，β的一个极大线性无关组，因此向量β可以经线性表出，既然β可以经线性表出，当然它可以经线性表示出来。所以也就说明了原方程组(2.1)是有解的。4数值例子判断下列方程组是否有解。例4.1已知，先求系数矩阵与增广矩阵的秩。解：系数矩阵变换为.增广矩阵变换为.由此可知，，故原方程组有解。例4.2已知，先求系数矩阵与增广矩阵的秩。解：系数矩阵变换为.增广矩阵变换为.由此可知，，故原方程组无解。例4.3已知，先求系数矩阵与增广矩阵的秩。解：系数矩阵变换为.增广矩阵变换为.由此可知，，因此由线性方程组有解判别定理原方程组有解。5结论5.1结论通过与消元法的求解过程对比可以清楚知到，线性方程组有解判别定理在本质上来说与消元法的解题想法是一致的。事实上来说，在用消元法求解线性方程组(2.1)无非就是相当于是使用初等变换把将原方程组的增广矩阵转化成一阶梯形矩阵。换而言之，当系数矩阵的秩与增广矩阵的秩一样时，原线性方程组有解；当增广矩阵的秩比系数矩阵的秩多1时，原线性方程组无解。5.2展望熟练地掌握住线性方程组有解判别定理，加之能够灵活运用此定理对线性方程组进行快速判断解的情况，可大幅减少对方程求解的繁琐步