方阵的最小多项式及其应用

题目：_方阵的最小多项式及其应用_____目录摘要： 4英文摘要： 5前言 6一矩阵多项式 7（一）矩阵多项式 7（二）矩阵A的最小多项式的性质及求法 8二方阵 14（一）方阵逆矩阵 14（二）方阵的运算 14三.由特征多项式求最小多项式 16（一）方阵的特征多项式 16（二）方阵的最小多项式 18四最小多项式的应用 24参考文献 28

方阵的最小多项式及其应用摘要：本文主要介绍方阵多项式及最小多项式，并由特征多项式求最小多项式.给出矩阵A的最小多项式的性质，并举例说明矩阵最小多项式在解决实际问题方面的应用.关键词：方阵多项式；方阵特征值、特征向量、特征多项式；方阵最小多项式；方阵最小多项式的应用

TheminimumpolynomialofsquarematrixanditsapplicationAbstract:Thisarticlemainlyintroducesthesquarematrixpolynomialandthesmallestpolynomial.Andtheleastpolynomialisfoundbycharacteristicpolynomials.Usingthepropertiesoftheminimumpolynomialofthematrixtosolvepracticalproblems.Keywords:Phalanxpolynomials;Squarematrixeigenvalues;Phalanxfeaturevector;Phalanxcharacteristicpolynomial;Phalanxminimumpolynomial;Applicationoftheminimumpolynomialofsquarematrix.

前言数学是在相当广泛意义下研究现实世界中数量关系和空间形式的科学.矩阵是利用数学解决实际问题的有效工具.当今，科技发展突飞猛进，所有科技领域都在迈向现代化，而现代化的标志是数字化，数字化意味着所涉及的问题都要通过数学模型变为数据，利用计算机进行分析运算，然后返回结果，变为方案或动作，以致得到产品.但计算机只能处理离散问题，不能处理连续问题，需要把问题转化成数字矩阵或处理矩阵的方法才能被计算机使用，即用数学模型将实际问题中要解决的问题抽象出来，成为数学中可解的问题，我们的矩阵就是其中的一种重要的工具.与每个矩阵相联系的有两个多项式：最小多项式和特征多项式.这些多项式在矩阵论的各种问题中有着重要的作用.例如，将关于矩阵的函数概念就完全奠基于矩阵的最小多项式的概念.本文中我们就来讨论特征多项式与最小多项式的性质.

一、矩阵多项式（一）矩阵多项式正如多项式是函数中最简单的函数一样，矩阵多项式也是矩阵函数中最简单、最重要的一类矩阵函数。定义1设A∈Fn∗n和变量λ的多项式f阵多项式.pA和A同为n阶方阵.若（1）中an≠0，则称n为多项式f设fλ=λfA=两个矩阵多项式fA、g(A)fAfA可以看出，对于矩阵多项式，加法运算的交换律、结合律，乘法运算的交换律、结合律以及与乘法运算的分配律等，显然都是成立的.定义2设A∈称fλf故f容易验证g由此可见，一个矩阵的化零多项式并不唯一.定理1任意n阶方阵A均有化零多项式.证：由于即存在na即定义3矩阵A∈记为（二）矩阵A的最小多项式的性质及求法定理2A∈A的任意化零多项式均能被A的最小多项式整除；A的首1相似矩阵的最小多项式相同；设A=Ji=diagJi∈C分别为A的特征值幂，若φ证a)设degf故由多项式的带余数除法知，存在多项式qfλ其中或者r若r这与φb)φ得φ由于φ即φc)设B=φd)φA=若记A的约当块为Ji=J显然，φmJ=O等价于φmJjk=O，j∈σ，k∈且d由于最小多项式是次数最低的化零多项式，故取d多项式为φ今后凡是提到最小多项式，都是首1的.定理3Hamilton−Cayley定理D是A的化零多项式，即证：设故存在满秩方阵PA=所以其中D由于D于是DJi项式.因此不存在A的次数最高的化零多项式.定理4设A∈a)凯莱−哈密尔顿A的特征多项式是A的化零多项式；b)A的所有特征值得几何重复度均为1的充要条件，为A的特征多项式与最小多项式一致；c)A是单纯矩阵的充要条件为dj=1d)若其中φ证a)由定理2的d)中所得最小多项式的构造即知；b)、c)显然；d)aλ得

λ显然dλ由此可知φ由于φφmλIn=λI于是用qφλIn=λI−AEQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(~),C)(比较（7）与（8），并由除法的唯一性得Cλ=EQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(~),C)(λ)qλ由此可见全部元素的公因式，但C即φ例3.设A=试用凯莱-米哈尔顿定理，求A7解:φ知AA定理5设A=diagAφ证：设φ于是即因此另一方面，若若例4.求J的最小多项式.解：不难验算得J因此，Jordan块根据定理及例题可以得到用矩阵A的Jordan标准形的方法.例5.求矩阵A的最小多项式A=解：A的Jordan标准形为A=故A的最小多项式为

二、方阵（一）方阵逆矩阵定义1对于则称A定理1若矩阵证：设B=BE=B从而A（二）方阵的运算已知A，B都是n级矩阵，则若求A若求A若求B对A证：设1P2P3A4PPPPPP定理2已知A，B都是方阵，(1)如果AB=E,则(2)如果AB=A+B,则AB=BA.证明：（1）因为AB=E,所以AB因为AB=E（2）因为AB=A+B，所以A由（1）可得B所以AB

三.由特征多项式求最小多项式（一）方阵的特征多项式定义1设Ax=则数向量.矩阵的特征值和特征向量有明确的几何意义.由于方阵Ax是：若某向量而特征值则反映了向量正是因为矩阵的特征向量具有上述几何特性，使得许多理论计算与工程技术问题最终都可归结为矩阵的特征值和特征向量问题.下面首先讨论矩阵的特征值和特征向量的计算.Ax=这是是系数行列式即a上式是以A−征值就是特征方程的解.根据代数基本定理，因此，设A−可求得非零解λ即设向量为k例1.已知A=求解：g由凯莱−哈密尔顿定理g从这个例子可见，若特征多项式，找到A的一个次数低于而使计算化简.矩阵的一个零化多项式与任何多项式的乘积仍为化零多项式.而由凯莱−哈密尔顿定理，A的特征多项式就是A的一个零化多项式.因此，矩阵有无穷多个零化多项式.矩阵的特征多项式不一定是次数最低的化零多项式.例如A=它的特征多项式是m（二）方阵的最小多项式定义2设φ一个化零多项式.矩阵A的次数最低的化零多项式称为A的最小多项式，记为定理1多项式φ证：充分性显然，现证必要性.假设φ则φ低于可得定理2矩阵的最后一个不变因子即为其最小多项式.证：设矩阵A的史密斯标准形为d现证明先证明d设d注意到次数，而任中的因子现在证明的次数比同样这只须证明对于A的约当标准形把因为12.先看第一种情况，设g因为的乘积，也为可逆矩阵，当然是非零矩阵.再看第二种情况，设为其对角元素为g由于而如在第一种情况中讨论的，可逆矩阵与非零矩阵的乘积为非零矩阵，因此，推论1相似矩阵有相同的最小多项式.证：因为相似矩阵有相同的不变因子，由定理2即得推论的结论.但是，逆命题未必成立，例如，设A=它们的特征多项式分别为多项式不同知它们不相似，但它们有相同的最小多项式推论2矩阵相似于对角阵的充要条件是其最小多项式无重根.证：若一个矩阵相似于对角阵，则其特征矩阵的初等因子都是一次的，因此其各个不变因子无重根，其最小多项式为最后一个不变因子，故也无重根.反之，若此矩阵的最小多项式无重根，即其特征多项式的最后一个不变因子无重根.由于前面的不变因子可整除后面的不变因子，故所有的不变因子无重根，因此所有的初等因子是一次的，此矩阵可相似于对角阵.定理3矩阵的最小多项式的根必为此矩阵的特征值；反之，矩阵的特征值也是矩阵最小多项式的根.证：由凯莱−哈密顿定理，矩阵的特征多项式为此矩阵的零化多项式.又由定理1，最小多项项式为特征多项式的因子，因此，最小多项式的根为特征多项式的根，即矩阵的特征值.反之，设矩阵A的最小多项式为mλ0==由于虽然最小多项式和特征多项式的根相同，但重数不一定相同，因此最小多项式不一定就是特征多项式.例2.求下列矩阵的特征多项式123解：λ得2λD故有D从而3λ把λ其中它有一个D由不变因子和行列式因子的关系，有d在推导过程中也可看出，A的特征多项式λE−Am

四、最小多项式的应用例1.证明：设A为任一A的特征值必为证：设又A的最小多项式f因此反之，设λ故A其中注意一般地，有A由此得知对任意多项式p===对A的最小多项式mA因即A得特征值为例2.证明：设A为任一J的最小多项式为n证：对于Jordan块f=由例1，0<J=J=⋯⋯JJ=故知k=例3.求矩阵A的若尔当标准形，其中A=解：12λ由且初等因子为λA~3A=λ又故A的若尔当标准形中对角元为aA=a参考文献杨克劭，包学游.矩阵分析[M].哈尔滨出版社史荣昌,魏丰.矩阵分析（第二版）[M].（北京理工大学出版社）黄有度