初中八年级数学（下）第四章第二节第一课时：提公因式法教案

初中八年级数学（下）第四章第二节第一课时：提公因式法教案

  一、基本信息

  1.课程标题：整式乘法的逆运算探索——提公因式法（第一课时）

  2.教学对象：初级中学八年级学生

  3.教材版本：北师大版《数学》八年级下册

  4.课时安排：1课时（45分钟）

  5.课型：新授课

  二、设计理念

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生的核心素养，特别是抽象能力、运算能力、推理意识及模型观念。设计聚焦于“因式分解”这一代数恒等变形核心概念的起始课，强调从“数”的分解到“式”的分解的思维迁移与建构。教学以“整式乘法的逆运算”为逻辑起点，创设真实且富有挑战性的问题情境，引导学生经历“观察—类比—猜想—验证—归纳—应用”的完整数学探究过程。通过“问题链”驱动深度思考，借助数字化学习工具促进直观理解与抽象概括的融合，着力破解学生从“会算”到“会变”的思维跃迁难点。本设计致力于打造一个以学生为主体、教师为主导、思维为主线的探究型课堂，使学生在掌握提公因式法操作技能的同时，深刻领悟其数学本质——分配律的逆向运用，为后续学习更复杂的因式分解方法及分式、二次方程等内容奠定坚实的代数变形基础，实现知识的结构化与能力的进阶发展。

  三、学情分析

  1.知识储备：八年级学生已经熟练掌握了整式的相关概念（单项式、多项式）、有理数的乘法运算律（特别是乘法分配律），以及整式乘法运算（包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式）。他们对“互逆运算”的概念有初步体验（如加法与减法、乘法与除法），但将这种互逆思想系统地从“数”的运算迁移到“式”的运算，尚需引导和强化。

  2.认知特点：该年龄段学生的抽象逻辑思维正处于由经验型向理论型过渡的关键期。他们具备一定的观察、归纳和类比能力，乐于接受挑战，但对复杂代数式的结构识别、隐蔽关系的挖掘以及变式问题的灵活处理仍存在困难。注意力集中时间有限，需要多元化的教学活动维持学习兴趣。

  3.潜在困难与迷思：

  *概念建构层面：容易混淆“因式分解”与“整式乘法”的目标与形式，对“将一个多项式化成几个整式积的形式”这一形式的本质理解不深。

  *方法掌握层面：

  *公因式的识别：容易遗漏系数部分的最大公约数，或对字母部分取最低次幂的规则应用生疏。

  *符号处理：当多项式首项系数为负，或公因式为负时，提取负号后括号内各项符号的变化是普遍易错点。

  *“提净”原则：提取公因式后，未能检查括号内的多项式是否还有公因式，导致分解不彻底。

  *“整体”意识薄弱：当公因式是一个多项式时（后续课时内容，但需在此埋下伏笔），学生难以将其视为一个整体进行提取。

  4.应对策略：针对以上学情，教学将通过对比辨析、可视化演示（如利用面积模型动态展示因式分解与乘法的互逆关系）、典型错例分析、阶梯式变式训练以及小组合作探究等方式，搭建思维脚手架，化解认知冲突，促进深度理解。

  四、教学目标

  1.知识与技能：

  *理解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。

  *掌握公因式的概念，能准确、迅速地确定多项式各项的公因式。

  *熟练运用提公因式法将多项式（主要是公因式为单项式的情形）进行因式分解，并能用整式乘法验证结果的正确性。

  2.过程与方法：

  *经历从具体数字分解到抽象式子分解的类比过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。

  *通过观察、分析、归纳多项式的结构特征，发展概括能力和数学语言表达能力。

  *在探究和应用提公因式法的过程中，提升代数变形能力和逆向思维能力。

  3.情感、态度与价值观：

  *在探索数学知识内在联系的过程中，获得发现规律的成就感，增强学习数学的兴趣和自信心。

  *体会数学的简洁美与和谐美（如乘法分配律正逆运用的统一）。

  *养成严谨、细致的运算习惯和反思验证的学习态度。

  4.核心素养导向目标：

  *抽象能力：从具体的数字和简单式子中抽象出公因式和提公因式法的普遍模式。

  *运算能力：准确、熟练地进行提公因式法的代数运算。

  *推理意识：基于乘法分配律的逆向运用，合情推理并提出提公因式法，并通过逻辑推理验证其正确性。

  *模型观念：初步建立用“提公因式”这一数学模型解决一类多项式变形问题的观念。

  五、教学重难点

  1.教学重点：

  *因式分解概念的理解（特别是其与整式乘法的互逆关系）。

  *确定多项式各项公因式的方法。

  *提公因式法的基本步骤和应用。

  2.教学难点：

  *从整式乘法的逆运算角度建构因式分解概念。

  *当多项式首项系数为负时，如何正确提取公因式并处理括号内符号变化。

  *确保因式分解的彻底性。

  六、教学策略与方法

  1.教法选择：

  *启发式教学法：通过层层递进的问题链，启发学生自主思考，建构知识。

  *探究式教学法：创设探究情境，引导学生动手操作（如拼图、列式）、观察比较、归纳结论。

  *对比辨析法：将因式分解与整式乘法进行双向对比，强化互逆意识；展示正确与错误解法对比，澄清认识。

  *讲练结合法：精讲核心概念与关键步骤，辅以多层次、有梯度的练习，及时巩固与反馈。

  2.学法指导：

  *自主探究学习：鼓励学生独立观察、尝试，发现规律。

  *合作交流学习：针对疑难问题开展小组讨论，在思维碰撞中深化理解。

  *反思性学习：引导学生对自己的解题过程进行复盘和检验，培养元认知能力。

  3.技术应用：

  *使用交互式白板或几何画板动态演示图形面积分割与代数式变形的关系，使抽象概念可视化。

  *利用即时反馈系统（如课堂应答器或在线平台）进行快速全员检测，精准把握学情。

  七、教学准备

  1.教师准备：精心设计的多媒体课件（含动画演示、例题、练习题）；设计并打印“探究学习任务单”；准备课堂即时反馈工具；预设学生可能出现的各种错误及应对方案。

  2.学生准备：复习整式乘法尤其是乘法分配律的相关知识；准备课堂练习本；以小组为单位就座，便于合作学习。

  八、教学实施过程

  (一)情境导入，孕伏概念(预计用时：5分钟)

  1.活动启动——从“数”到“形”的双重感知

  师：（呈现问题一）我们学过，将一个数写成几个因数乘积的形式叫做因数分解。例如，整数12可以分解为哪些正整数的积？

  生：12=3×4，12=2×6，12=2×2×3。

  师：很好！分解的关键是找到“因数”。（呈现问题二）现在，我们来看一个几何问题：有一块长为(a+b)，宽为m的长方形场地。现在计划在场地内修建一条如图所示的小路（教师用课件动态展示：将长方形沿平行于长的方向分割出一个宽为m，长为某个量的矩形，剩余部分仍为矩形），使得剩余部分的面积可以简单地表示为另一个乘积形式。你能设计这种分割，并用两种不同的代数式表示剩余部分的面积吗？

  （学生可能提出多种分割方案，教师引导至预设方案：将长方形分割为一个长为a、宽为m和一个长为b、宽为m的两个小长方形。）

  2.列式表征——建立“形”与“式”的链接

  师：根据这种分割，原来整个长方形的面积如何表示？

  生：S总=m(a+b)。

  师：分割后的两个小长方形面积之和呢？

  生：S分=ma+mb。

  师：根据面积不变，我们得到：m(a+b)=ma+mb。这是我们非常熟悉的——？

  生：乘法分配律。

  师：没错！现在，请逆向思考：如果已知总面积是(ma+mb)，你能把它变回乘积形式m(a+b)吗？这个逆向过程，在“形”上对应什么操作？

  生：将两个小长方形拼回原来的大长方形。

  师：在“式”上呢？就是把ma+mb这个“和”的形式，化成m(a+b)这个“积”的形式。这个过程，类似于数的因数分解，我们能否称之为对“式”的分解呢？今天，我们就一起来探索这种新的代数变形。

  【设计意图】：从学生熟悉的数的分解入手，搭建认知起点。通过设计几何分割问题，赋予代数式以直观的几何意义，使抽象的“因式分解”概念在“形”上找到支撑。从乘法分配律的顺向应用自然引出其逆向变形，孕伏“互逆运算”的思想，为新课学习创设了自然且有深度的问题情境。

  (二)探究新知，建构概念(预计用时：15分钟)

  1.概念形成——明晰“因式分解”的定义与本质

  师：请观察下列等式，并将它们分成两类，并说明分类依据。

  (1)m(a+b)=ma+mb

  (2)(x+1)(x-1)=x²-1

  (3)ma+mb=m(a+b)

  (4)x²-1=(x+1)(x-1)

  （学生独立思考后小组讨论，教师巡视指导。预期学生能按“从左到右是展开（乘法），从右到左是化成积的形式”来分类。）

  生：(1)和(2)是一类，左边是乘积形式，右边是和差形式；(3)和(4)是一类，左边是和差形式，右边是乘积形式。

  师：总结得非常到位！在数学上，我们把像(3)(4)这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（板书课题：因式分解）。也称作把这个多项式分解因式。那么，(1)和(2)是什么运算？

  生：整式乘法。

  师：由此可见，因式分解与整式乘法有什么关系？

  生：相反的过程，互逆的变形。

  师：（强化）正因如此，我们可以用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。请大家齐读并圈出定义中的关键词：“多项式”、“几个整式”、“积的形式”。

  2.概念辨析——深化理解与避免误区

  师：判断下列变形是不是因式分解？为什么？

  (1)x²+3x+2=x(x+3)+2

  (2)2a²b=2a·ab

  (3)a²-b²=(a+b)(a-b)

  (4)(y+2)(y-2)=y²-4

  （学生判断并阐述理由。重点辨析(1)右边不是“积的形式”，(2)左边不是多项式，(4)是乘法运算。通过反例强化对定义关键要素的把握。）

  3.方法探究——聚焦“提公因式法”

  师：我们已经知道了什么是因式分解。现在回到刚才的例子：ma+mb=m(a+b)。观察等式左边多项式ma+mb的两项，它们有什么共同的特点？

  生：都含有字母m。

  师：确切地说，每一项都含有因式m。我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式（板书）。在这个例子中，公因式就是m。那么，等式右边的m(a+b)是如何从左边得到的？

  生：把公因式m提出来，放到括号外面，括号里面是原来各项提走m后剩下的部分相加。

  师：这个过程就像我们小学时提取公共的因数一样。这种将一个多项式的公因式提取出来，从而将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法就叫做提公因式法（完善板书课题：——提公因式法）。

  4.核心突破——如何确定公因式

  师：显然，运用提公因式法的关键第一步是——？

  生：找到公因式。

  师：对！我们来看一个更复杂的多项式：6x³y²z-9x²y³。请找出它的各项的公因式。请先独立思考，尝试总结找公因式的一般步骤。

  （学生尝试，教师板书多项式。引导学生从系数和字母两部分进行分析。）

  师：我们先看系数，6和9，它们的最大公约数是？

  生：3。

  师：再看字母部分。第一项含有x³,y²,z；第二项含有x²,y³。公共的字母有哪些？

  生：x和y。

  师：对于公共字母，它们的指数如何选取？为什么？

  （此处学生可能产生分歧。教师引导学生思考：公因式要能“整除”每一项。以x为例，公因式中的x的指数，最大能取多少，才能保证提出来之后，括号内各项不再含有x？）

  生：应该取它们指数中最小的那个。因为要保证提走公因式后，括号里每一项的这个字母指数至少为0（即不出现该字母）。第一项x指数是3，第二项是2，所以公因式中x的指数取2。

  师：非常精彩的推理！同理，y的指数取2。字母z呢？

  生：z只在第一项出现，不是公共的，所以不能取。

  师：因此，这个多项式的公因式是？

  生：3x²y²。

  师：请同学们用自己的语言，总结一下确定公因式的方法。

  （学生总结，教师板书提炼）：

  确定公因式“三步法”：

  一看系数：取多项式各项系数的最大公约数。

  二看字母：取多项式各项都含有的相同字母。

  三看指数：取相同字母的最低次幂。

  5.初步应用——体验完整步骤

  师：现在，我们尝试用提公因式法分解因式：6x³y²z-9x²y³。

  （师生共同完成，教师板书规范格式）：

  解：6x³y²z-9x²y³

    =3x²y²·2xz-3x²y²·3y  （第一步：将各项写成公因式与另一因式乘积的形式）

    =3x²y²(2xz-3y)       （第二步：逆用分配律，提取公因式）

  师：完成后，如何检验？

  生：用整式乘法把3x²y²(2xz-3y)乘回去，看是否等于原式。

  【设计意图】：本环节是概念与方法建构的核心。通过对比分类，让学生亲身参与概念的生成过程，明确因式分解与整式乘法的互逆关系。通过辨析反例，加深对概念本质的理解。探究公因式的确定方法是本节课的技能重点，采用从具体例子分析到一般步骤归纳的探究路径，引导学生理解每一步操作背后的数学原理（如取最低次幂的合理性），而非机械记忆步骤。完整的例题示范旨在呈现规范的书写格式和思考流程。

  (三)例题精析，深化理解(预计用时：12分钟)

  1.基础巩固——正向提取

  师：（例1）分解因式：(1)8a³b²-12ab³c  (2)-4x²+12xy

  （请两名学生板演，其余学生在练习本上完成。教师巡视，收集典型做法和错误。重点检查公因式是否找对，提取后括号内的项数、符号是否正确。）

  生板演及可能问题预设：

  (1)易错点：公因式可能只找到4ab²，而遗漏系数最大公约数4和字母a的最低次幂（应为a而不是a³）。教师强调“三步法”要步步落实。

  (2)关键点：首项系数为负。这是突破难点的契机。

  师：我们重点看第(2)题。这位同学找到的公因式是4x，得到4x(-x+3y)。对吗？

  生：对，但通常我们把公因式写成负的，或者调整括号内首项为正。

  师：是的，这是一种处理方式。为了使得括号内的多项式首项系数为正，我们更常见的做法是：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数变为正数。在提出“-”号时，括号内各项的符号都要改变！

  教师规范板书：

  解：(2)-4x²+12xy

    =-4x·x+-4x·(-3y) （此步骤可心算，为理解服务）

    =-4x(x-3y)

  或者直接分析：各项系数的最大公约数是4，但为了提出负号，我们取-4作为公因式的系数。

  2.难点突破——符号变换与“提净”原则

  师：（例2）分解因式：(1)2a(b+c)-3(b+c)  (2)6(x-2)+x(2-x)

  师：观察(1)，有什么发现？

  生：两项都含有(b+c)。

  师：对！(b+c)作为一个整体，可以看成公因式。这就引入了“多项式作为公因式”的思想（为下节课铺垫）。

  师生共同完成：(1)原式=(b+c)(2a-3)。

  师：第(2)题看起来复杂一些。直接观察，有公共的因式吗？

  生：好像没有。一个是(x-2)，一个是(2-x)。

  师：它们有什么关系？

  生：相反数。2-x=-(x-2)。

  师：太棒了！发现了隐蔽的关系。那么，我们可以通过提取负号，将它们转化为相同的因式。

  教师引导板书：

  解：(2)6(x-2)+x(2-x)

    =6(x-2)+x[-(x-2)]  （将(2-x)变形为-(x-2)）

    =6(x-2)-x(x-2)    （去括号，注意符号）

    =(x-2)(6-x)     （提取公因式(x-2)）

  师：提取公因式后，还要检查括号内的多项式(6-x)能否继续分解？本例中不能，所以分解结束。这就是“分解要彻底”的要求。

  3.思维提升——指数含参问题

  师：（例3）已知多项式3x^(m)y^(n)-5x^(m+1)y^(n-1)可以提取公因式x^my^(n-1)，求m,n应满足的条件，并完成分解。

  （本题旨在提升学生对于“字母指数为参数”情况下公因式确定规则的理解，培养抽象思维和推理能力。教师引导学生分析：公因式x^my^(n-1)中的指数m和n-1，分别是两项中x和y指数的最小值。由此可得：m≤m,m≤m+1(恒成立)；n-1≤n,n-1≤n-1(恒成立)。实际上，公因式已给出，意味着第一项x指数至少为m，y指数至少为n-1；第二项x指数至少为m，y指数至少为n-1。由此可确定m,n为任意使式子有意义的正整数即可。重点是分解过程。）

  解：由题意，公因式为x^my^(n-1)。

   3x^(m)y^(n)-5x^(m+1)y^(n-1)

   =x^my^(n-1)·3y-x^my^(n-1)·5x

   =x^my^(n-1)(3y-5x)

  【设计意图】：例题设计遵循由浅入深、循序渐进的原则。例1巩固基本技能，并在其中刻意设置“首项为负”的情况，集中攻克符号处理难点。例2引入“整体思想”和“变形转化”（互为相反数的式子），拓展思维广度，渗透后续知识，并强调“分解彻底”的原则。例3作为挑战题，面向学有余力的学生，深化对公因式指数规则的理解，培养处理含参问题的能力。通过分层例题，满足不同层次学生的学习需求。

  (四)迁移应用，巩固内化(预计用时：8分钟)

  1.阶梯练习（学生独立完成，教师利用移动终端或巡视快速获取反馈）

  A组（基础达标）：

  (1)写出下列多项式的公因式：

   ①4x²y-8xy²  公因式：______

   ②-15a²b³c+10ab²c² 公因式：______

  (2)分解因式：

   ①12x²y³-8x³y²

   ②-6m³n²-3m²n³

  B组（能力提升）：

  (3)分解因式：

   ①5a(x-y)+10b(y-x)

   ②2(a-b)²-a+b

  (4)先分解因式，再求值：已知a+b=5,ab=3，求a²b+ab²的值。

  2.错例诊室（根据课堂实时反馈或教师经验预设）

  师：我们一起来“诊断”下面几位同学的解法“病情”在哪里，并开出“处方”。

  (1)分解因式：3x²-6xy=x(3x-6y)  （病因：未提取系数的最大公约数3）

  (2)分解因式：-2a²+4a=-2a(a+2)  （病因：提取负号后，括号内第二项符号未变）

  (3)分解因式：4x²y-8xy²=4xy(x-2y) （√，以此作为正确范例对比）

  （学生指出错误并纠正，教师强化易错点。）

  【设计意图】：分层练习确保所有学生都能获得必要的巩固训练。A组题面向全体，巩固基本方法和步骤；B组题增加灵活性（如相反数变形、整体思想、先分解后求值），促进知识迁移和应用。错例诊室活动将学生的潜在错误显性化，通过集体辨析，实现“防错于未然”和“纠错于当时”，极大地提高学习的针对性和有效性。

  (五)回顾反思，提炼升华(预计用时：4分钟)

  师：同学们，这节课我们共同经历了紧张的探索之旅。现在，请大家静下心来，回顾并思考：

  1.知识脉络：我们学习了什么？请用你自己的话概述。

  （引导学生总结：①因式分解的定义（与整式乘法互逆）；②公因式的概念及确定方法（三步法）；③提公因式法的基本步骤。）

  2.思想方法：在探索过程中，我们用到了哪些重要的数学思想方法？

  （学生可能提到：类比（从数到式）、逆向思维（乘法分配律的逆用）、整体思想、从特殊到一般等。教师予以肯定和提炼。）

  3.注意事项：运用提公因式法分解因式，要特别警惕哪些“陷阱”？

  （学生总结：首项为负先提负；提公因式要提“净”（系数最大、字母最低次幂）；提完要检查项数和符号；分解结果要彻底。）

  4.留疑启思：今天我们提取的公因式主要是单项式。如果公因式本身是一个多项式，比如例2(1)中的(b+c)，该如何规范地操作？生活中或后续数学学习中，因式分解还有哪些更大的用武之地？让我们带着这些问题，期待下一节课的探索。

  【设计意图】：引导学生从知识、方法、易错点三个维度进行系统回顾与反思，将零散的知识点串联成线，编织成网，促进知识的结构化。强调数学思想方法的提炼，提升学生的数学思维品质。设置悬念，为后续学习（提多项式公因式、公式法）埋下伏笔，保持学习的好奇心与连续性。

  (六)分层作业，拓展延伸(预计用时：1分钟，布置课后完成)

  必做题（面向全体，巩固基础）：

   1.教材对应章节的课后练习A组题。

   2.整理本节课的笔记，用思维导图归纳因式分解（提公因式法）的知识要点和注意事项。

  选做题（面向学有余力，拓展思维）：

   1.教材对应章节的课后练习B组题或配套练习册拓展题。

   2.探究题：试说明(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1是一个完全平方数。（提示：尝试将前四项两两组合相乘后，通