【《微分几何中可展曲面的研究》4000字（论文）】

微分几何中可展曲面的研究目录TOC\o"2-3"\h\z\t"标题1,1"摘要 1引言 21.基本概念和引理 32.可展曲面的一些判定定理 4结束语 15参考文献 16摘要:可展曲面作为微分几何当中重要内容之一,是曲面论中非常重要的组成部分之一,且应用广泛.本文对可展曲面进行了一系列详细的研究,给出了可展曲面判定的一些定理.关键词:可展曲面;直纹曲面;包络面;曲率线.引言微分几何是一门历史悠久的学科,众所周知可展曲面在微分几何当中占有重要位置,是曲面论中非常要紧的组成部分之一,同时在微分结构的拓扑流形和计算机图形学及其应用中起到至关紧要的影响.将由动直线所产生的曲面称之为直纹曲面,则直纹曲面的直母线为动直线,如柱面、锥面、一条曲线的切线曲面等都是直纹曲面.而可展曲面是直纹曲面中的一种类型,经典微分几何对其进行研究.许多专业人士对可展曲面展开了学习和钻研,得到诸多的结果[1-12]如:文献[4]关于可展曲面等价条件给出了两点注记,根据曲面上的曲率线的几何特征证明得到可展曲面的等价刻划;文献[7]给出了直纹曲面是可展曲面的一个充要条件,通过单参数平面族的包络面证得直纹曲面是可展曲面;文献[10]通过一条挠曲线不可能是某一可展曲面上的渐近线,由此判定可展曲面.因为这一特殊的直纹面的存在,其可展性在几何学及工程的实际应用中都有着无可取代的作用,而可展曲面性质的应用对解决一系列的数学问题有着很大的助力,因此展开对可展曲面的性质研究.随着我们对这一理论研究的不断深入,伴随着经济迅猛发展所带来冲击,可展曲面的相关知识越来越受到众多数学研究工作者和与产品、形象设计相关人士的关注.简言之目前许多科学技术的问题都需要从可展曲面的性质、特征出发加以研究.微分几何对于生产实践,数学研究,力学分析等有举足轻重的作用.本文首先对可展曲面和一些相关的概念进行阐释,其次对可展曲面的判定进行了详细的研究.1.基本概念和引理定义l[1]若曲面有参数表示:,其中是单位向量,则称是直纹曲面.由直纹曲面的参数方程可到直纹曲面的三种特殊情况:(1)当为常向量时,称为柱面.(2)当为常点时,称为锥面.(3)当时,称为切线曲面.定义2[1]若曲面是直纹面,并且的切平面沿直母线是不变的,则称是可展曲面.定义3[2]设是依赖参数的一族正则曲面.如果有一个正则曲面,使得上的每一点是曲面族中的某个曲面上的一点,且曲面和在该点有相同的切平面;反过来,曲面族中的每一个成员必定与曲面在某一点有相同的切平面,则称曲面是的包络面.定义4[2]设是正则曲面上的一条曲线.如果曲线在每一点的切平面都是曲面在该点的主方向,则称曲线是曲面上的一条曲率线.定义5[2]若曲面上的点是第一类基本量和第二类基本量成比例的点,则该曲面称为全脐点曲面.引理1[5]一条曲线的即时转动轴所产生的直纹曲面是曲线的从切面族的包络,从而它是可展曲面,该曲面称为曲线的从可展曲面.引理2[5]全脐点曲面只能是平面或球面.引理3设曲面曲线是测地线,则为曲率线当且仅当它是平面曲线.证明当是直线时,结论显然;当是非直线时,记的基本矢量为,,,曲率和挠率分别为和,曲面的法矢量为若是曲率线,则由于,两边微分,有.但,所以,即是平面曲线.反之易得.2.可展曲面的一些判定定理定理1[6]直纹曲面:为可展曲面的充要条件是定理2[6]直纹曲面:为可展曲面的充要条件是:或者是柱面,或者是锥面,或者是某一条曲线的切线曲面.定理3[6]直纹曲面:为可展曲面的充要条件是:上任一点的曲率都为零,即.定理4[6]直纹曲面:为可展曲面的充要条件是:沿准线:,是它的切平面族的包络面.推广上面的定理4,得到如下定理.定理5直纹曲面:为可展曲面的充要条件是:曲面是它的切平面族的包络面.证明“”设直纹曲面可展,由定理1得(1)因为所以曲面上任一点的法矢量为(2)由(1)式知,三矢量,,共面,所以,(3)将(3)式代人(2)式得(4)曲面上任一点的切平面的方程是即即(5)这是单参数的切平面方程.现在求切平面族的包络面,特征线的方程是即(6)所以平面族的包络面的准线方程是(7)由(5)式知,平面的法矢量为又得特征线的方向矢量为.(8)由(7)式和(8)式知,平面族的包络面的方程是包:(9)这正是直纹曲面的方程.“”设曲面是它的切平面族的包络面,由(2)式知,曲面的法矢量是(10)曲面上点的切平面的方程是.(11)设是曲面上的任意一点,曲线:是经过点的任意一条曲线,由(11)式得沿曲线曲面的切平面的方程是(12)这是单参数的平面方程.由文献[4]知,切平面族(6)式的包络面只有以下三种情形之一:或是柱面或者是锥面,或者是某一条曲线的切线曲面.由定理2知,直纹曲面是可展曲面.定理6曲面的方程为且,则曲面是可展曲面的充分必要条件是．证明设曲面的参数方程令则则第一基本量为(13)另外,曲面的法向量为又曲面的第二基本量为(14)所以(15)记由隐函数求导可得(16)则有再对方程(16)两边分别对和求偏导,得由此解得再由(14)可得第二基本量为所以(17)下面证明(18)事实上,整理得,即,故有.又高斯曲率公式和(15)得再由定理3即可证得.定理7设曲面的方程是由方程所确定的隐函数为,且,则曲面是可展曲面的充分必要条件是.证明由公式(17),(18)以及高斯曲率计算公式可得.结合定理3可得.因此定理得证.定理8设直纹面:不是平面,若是可展曲面,则过上一点仅有的一条直母线.证明显然,直纹面:的曲线是直母线.因为是可展曲面,由定义知.又因为不是平面,所以它的第二基本量不全为.由于,,,所以必有.任取上一点,并假设上通过有一条直线不同于曲线,则在点有两个不同的实渐近方向.令沿着的渐近方向为,则.但,因此得,发生矛盾.故上仅有一条直母线.由此定理可知,直纹面:只有一族直母线.若一直纹面有两族直母线,且一族作为曲线时,有,那么另一族不必验证,即可断定不是可展曲面.但定理1的逆命题不成立,即仅有一族直母线的直纹面不一定是可展曲面.例证明正螺面不是可展曲面.证明因为曲面可化为,其中由,得.利用定义可知正螺面不是可展曲面.现在来考察正螺面上是的渐近方向.因为所以又因为所以由主曲率方程根据欧拉公式得所以两个渐近方向与对应的主方向成角.由渐近曲线方程:,有.可知坐标曲线即为渐近曲线.当时,曲线是直线.当时,曲线是一条螺旋线.上述表明正螺旋面上只有一族直母线.由此可见,只有一族直母线的直纹面不能误认为均为可展曲面.定理9[6]直纹曲面:为可展曲面的充要条件是:上的直母线(线)是曲率线.曲面上曲率线的几何特征表明:曲面上的曲线是曲率线的充分必要条件是沿此曲线的曲面的法线组成一可展曲面.那么,是否每一可展曲面都能被看成一曲面沿它的某一曲率线的所有法线形成的呢?定理10曲面为可展曲面的充分必要条件是是另一曲面沿其曲率线的所有法线形成的曲面.证明“”设:是曲面的曲率线,沿的法矢为,则:由于所以即可展.“”设是可展曲面,则是柱面,锥面或是某一曲线的切线平面.(1)为柱面,令是与的母线垂直的平面,且令．则是上一曲率线,且是沿的所有法线形成的曲面.(2)为锥面,令是以的任意点为球心的球面,且令,则是上一曲率线,且是沿的所有法线形成的曲面.(3)是曲线:的切线平面,令:是的一渐伸线,且令:这里是曲线的副法向量.显然的单位切向量正是沿的法向量,即是沿的所有法线形成的曲面,且由,这里是主法向量,以是的一曲率线.定理11直纹曲面为可展曲面是某一曲线的从可展曲面.证明“”由引理1即证.“”设直纹曲面为可展曲面,当为平面时,则其可看成直线的从可展曲面;当不是平面时,取上非平面测地线(这样的非平面测地线肯定存在,因为若任意测地线均为平面曲线,则由引理2,在任意点的任意切方向均为主方向,从而为全脐点曲面,由引理2,这与可展不符).与相交的的直母线必在的从切面上,又可展,所以沿该直母线的切平面正是的从切面,即是的从切面族的包络,亦即是的从可展曲面.推论1以曲线为准线,母线落在的从切平面上的可展曲面,除的切线曲面外,只能是的从可展曲面.推论2直纹曲面为可展曲面存在曲线,使得的方程可表为其中并且满足,这里为的基本矢量,和分别为的曲率和挠率.事实上,若直纹面为可展曲面,则其是一曲线的从可展曲面,亦即是的即时转动轴产生的直纹面,而上述正是沿即时转动轴方向的；反之若的方程有上述表示,则正是曲线的从可展曲面,所以可展.推论3任一曲线均可实现为某一可展曲面上的渐近曲线,或曲率线,或测地线.事实上,若是直线,则结论显然．若是平面曲线,则是其所在平面上的渐近曲线和曲率线,且是其从可展曲面上的测地线;若是挠曲线,则是其切线曲面上的渐近曲线;再由[8]中可展曲面的等价条件(12),只需取的沿方向的法线族,则在该法线族形成的可展曲面上是曲率线;最后是它的从可展曲面上的测地线.

结束语通过以上的叙述,我们从中发现:在可展曲面的一系列相关问题中,根据直纹曲面的相关性质在某种程度上能够帮助我们更快的分析可展曲面,并将其推论与判定等其它概念相结合,进而达到解决问题的目的.然而在面对一道题目时,如何准确地选择该题所适用的性质,则需要经过不断地思考练习才能愈加娴熟.利用可展曲面性质,将其拓展延伸,与矩阵等更多数学概念相结合,得到更多精确的定理.存在的问题:目前,关于可展曲面的研究已有很大成果.在理论上对其内涵、性质、特征、成立条件等已有一定成果,可展曲面的几种类型也已经确定,但在应用上仍需进一步研究,例如计算机图形,产品制造,形象建筑设计等方面.参考文献[1]梅向明,黄敬之.微分几何[M].高等教育出版社,2003.[2]陈维桓.微分几何初[M].北京大学出版社,1990.[3]沈志军,于渊博,李亚平.微分几何在钢丝绳空间建模的应用[J].金属制品,2019(045):26-29.[4]王伟.关于可展曲面等价条件的两点说明[J].淮北煤炭师范学院报,2003(3):61-62.[5]毛昕,马明旭,王哲英.曲面片的可展性能及其应用[J].工程图学学报,2002(2):133-138.[6]纪永强.微分几何[M].北京:高等教育出版社,2009:198-211.[7]赵燕,纪永强.直纹曲面是可展曲面的一个充要条件[J].湖州师范学院学报,2009(4):12-15.[8]黄保军.可展曲面特征等价性的环路证明[J].淮北煤炭师范学院学报(自然科学版),2008(04):79-82.[9]冯江威.对于可展曲面几何特征的研究[J].科学大众(科学教育),2017(4):175-175.[10]姚静荪.关于可展曲