2018年中考数学翻转折叠专题复习资料

引言：翻转折叠——中考几何中的“动态”难点与核心素养体现在中考数学的几何板块中，翻转折叠问题因其涉及图形变换的动态过程、对空间想象能力的高要求以及与多个知识点的综合应用，始终是学生备考的重点与难点。这类问题不仅能有效考察学生对图形性质、全等变换、轴对称等核心知识的掌握程度，更能深入检验学生的逻辑推理能力、动手操作能力和数学建模思想。从历年中考试题来看，翻转折叠问题呈现出“源于基础，高于基础”的特点，既有直接考察基本性质的简单题，也不乏结合函数、动点、最值等综合题目的压轴题。因此，对翻转折叠专题进行系统性的梳理与针对性的训练，对于提升中考数学成绩具有至关重要的意义。本专题将从核心知识回顾、解题策略提炼、典型例题精讲及易错点警示等方面，帮助同学们构建完整的知识网络，掌握高效的解题技巧，从容应对各类翻转折叠问题。一、核心知识梳理：理解翻转折叠的本质与内涵翻转折叠，本质上是图形的一种全等变换，具体而言是轴对称变换的一种应用形式。在变换过程中，图形的形状和大小保持不变，仅仅是位置发生了改变，新图形与原图形关于折痕（即对称轴）成轴对称。1.1翻转折叠的定义*翻折：将平面图形沿着某一条直线（称为对称轴或折痕）进行折叠，使直线两旁的部分能够完全重合的图形变换过程。翻折后，重合的点称为对应点（对称点），重合的线段称为对应线段，重合的角称为对应角。*折叠：通常指将一个平面图形的一部分沿着一条直线翻折到另一部分上，使它们互相重合。折叠是翻折的一种常见操作形式，其结果是形成一个新的图形，该图形由原图形的一部分和翻折后的另一部分组成，且这两部分关于折痕对称。1.2翻转折叠的基本性质理解并熟练运用这些性质是解决翻转折叠问题的关键：1.对应边相等：翻折前后的对应线段长度相等。2.对应角相等：翻折前后的对应角大小相等。3.对应点连线被对称轴垂直平分：对称轴是连接任意一组对应点的线段的垂直平分线。4.图形全等：翻折后的图形与原图形全等，即形状和大小完全相同。5.轴对称性：翻折后的图形与原图形关于折痕（对称轴）成轴对称。对称轴上的点的对应点是其本身。1.3常见的翻转折叠类型中考中常见的翻转折叠问题主要围绕以下几类图形展开：1.三角形的翻折：*等腰三角形、等边三角形、直角三角形（特别是等腰直角三角形）沿某条边或角平分线翻折。*一般三角形沿中线、高线、角平分线或某条特定直线翻折。2.四边形的翻折：*平行四边形、矩形、菱形、正方形沿对角线、对边中点连线或某条特定直线翻折。*梯形（特别是等腰梯形）沿两底中点连线或某条腰的垂直平分线翻折。3.圆的翻折：（相对少见，但需了解基本思想）*圆的一部分（如扇形）沿某条半径或弦翻折。4.图形的部分翻折：*一个图形的某个顶点或某条边向图形内部或外部翻折，与图形的另一部分重合或形成新的图形。5.沿某条直线翻折：题目中明确给出对称轴（折痕）。6.沿某个点翻折：（中心对称，有时也广义地包含在翻折变换中，但严格来说中心对称是旋转180度）7.折叠成特定立体图形：（如平面展开图折叠成立方体、棱柱、棱锥等，这类问题更偏向空间想象，但也涉及平面图形的翻折）二、解题策略与方法归纳：从直观感受到逻辑推理解决翻转折叠问题，需要将直观想象与逻辑推理相结合，通常遵循以下步骤，并辅以相应技巧：2.1解题的一般步骤1.审题识图，明确翻折方式：仔细阅读题目，理解图形是如何翻折的，明确折痕（对称轴）是什么，哪些部分是翻折前的，哪些是翻折后的，哪些点是对应点。2.画出翻折后的图形（或在原图中标注）：这是至关重要的一步。根据题意，准确画出翻折后的图形，或者在原图形上清晰地标出对应点、对应边、对应角以及折痕。对于复杂图形，可以用不同颜色的笔区分翻折前后的部分。3.运用性质，找出等量关系：根据翻转折叠的基本性质（对应边相等、对应角相等、对应点连线被对称轴垂直平分等），找出题目中的隐含等量关系。4.构造辅助线，转化已知未知：当直接求解困难时，要学会添加适当的辅助线。常用的辅助线有：连接对应点、过对应点作对称轴的垂线、构造直角三角形、利用中点连线等。5.建立模型，列方程求解：对于涉及计算长度、角度、面积等问题，常常需要设未知数，利用勾股定理、相似三角形的性质、锐角三角函数、方程思想等建立数学模型，通过解方程求出结果。6.检验反思，确保答案合理：求出结果后，要代入原题情境中检验其合理性，确保符合图形的几何性质和实际意义。2.2常用辅助线技巧*连接对应点：利用“对应点连线被对称轴垂直平分”的性质。*作对称轴的垂线：特别是从对应点向对称轴作垂线，利用轴对称的性质。*构造直角三角形：在求线段长度时，若图形中存在直角或通过作辅助线可以得到直角，常利用勾股定理。*延长线段交于一点：有时翻折后，某些线段的延长线会相交，形成特殊三角形或四边形。2.3思想方法提炼*转化与化归思想：将翻折后的复杂问题转化为我们熟悉的基本图形（如直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形）问题来解决。*方程思想：利用图形中的等量关系，设未知数，列方程求解，是解决计算类翻折问题的核心方法。*数形结合思想：将几何图形的性质与代数运算紧密结合，通过图形分析找到数量关系，通过代数计算解决几何问题。*分类讨论思想：当翻折方式不唯一，或翻折后图形的位置关系有多种可能时，需要进行分类讨论，避免漏解。三、典型例题精析：举一反三，触类旁通例题1：三角形中的简单翻折——求角度题目：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处。若∠A=25°，则∠ADE的度数为多少？思路点拨：1.明确翻折要素：将△BCD沿CD折叠得到△ECD，所以点B与点E对应，BC与EC对应，BD与ED对应，∠B与∠CED对应，∠BCD与∠ECD对应，∠BDC与∠EDC对应。2.利用已知角求未知角：在Rt△ABC中，已知∠A=25°，可求出∠B的度数。由翻折性质知∠CED=∠B。3.在△AED中求∠ADE：∠CED是△AED的一个外角，它等于∠A与∠ADE的和，由此可求出∠ADE。解答：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°-∠A=65°。∵将△BCD沿CD折叠，点B落在AC边上的点E处，∴∠CED=∠B=65°（翻折性质：对应角相等）。∵∠CED是△AED的外角，∴∠CED=∠A+∠ADE。∴∠ADE=∠CED-∠A=65°-25°=40°。故∠ADE的度数为40°。例题2：四边形中的翻折——求长度题目：如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E在边AB上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，求AE的长。思路点拨：1.矩形性质与翻折性质结合：矩形ABCD中，AD=BC=6，AB=CD=8，∠A=90°。翻折后，AD=A'D=6，AE=A'E，∠DA'E=∠A=90°。2.求出对角线BD的长度：在Rt△ABD中，利用勾股定理可求BD。3.求出A'B的长度：BD已知，A'D=AD=6，故A'B=BD-A'D。4.设未知数，在Rt△A'EB中应用勾股定理：设AE=A'E=x，则BE=AB-AE=8-x。在Rt△A'EB中，A'E²+A'B²=BE²，列方程求解x。解答：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=6，AB=8。在Rt△ABD中，BD=√(AB²+AD²)=√(8²+6²)=√(64+36)=√100=10。∵将△ADE沿DE折叠，点A落在BD上的点A'处，∴AD=A'D=6，AE=A'E（翻折性质：对应边相等）。∴A'B=BD-A'D=10-6=4。设AE=A'E=x，则BE=AB-AE=8-x。在Rt△A'EB中，∠EA'B=90°（翻折后∠DA'E=∠A=90°，故∠EA'B=180°-90°=90°），由勾股定理得：A'E²+A'B²=BE²，即x²+4²=(8-x)²。展开得：x²+16=64-16x+x²。化简得：16x=64-16，16x=48，x=3。故AE的长为3。例题3：与函数结合的翻折——综合应用题目：如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)。点D是抛物线的顶点，将△BCD沿直线BC翻折，得到△BCE，求点E的坐标。思路点拨：1.求出抛物线解析式：已知抛物线过A、B、C三点，可用待定系数法求出a、b、c。2.求出顶点D的坐标：利用顶点坐标公式或配方法求出D点坐标。3.求出直线BC的解析式：已知B、C两点坐标，可求直线BC的斜率和方程。4.求点D关于直线BC的对称点E：翻折后点D与点E关于直线BC对称，因此BC是线段DE的垂直平分线。要求E点坐标，可设E(m,n)，根据DE中点在直线BC上以及DE所在直线与BC垂直（斜率乘积为-1）列出方程组求解。解答：（1）求抛物线解析式：∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)，∴可设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3)。将C(0,3)代入得：3=a(0+1)(0-3)，即3=-3a，解得a=-1。∴抛物线解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x²+2x+3。（2）求顶点D的坐标：∵y=-x²+2x+3=-(x²-2x+1)+4=-(x-1)²+4，∴顶点D的坐标为(1,4)。（3）求直线BC的解析式：设直线BC的解析式为y=kx+d。∵B(3,0)，C(0,3)，∴将B、C代入得：{3k+d=0{d=3解得k=-1，d=3。∴直线BC的解析式为y=-x+3。（4）求点D(1,4)关于直线BC：y=-x+3的对称点E(m,n)。∵BC是DE的垂直平分线，∴线段DE的中点M((1+m)/2,(4+n)/2)在直线BC上，且直线DE的斜率与直线BC的斜率乘积为-1。直线BC的斜率为-1，所以直线DE的斜率k_DE=(n-4)/(m-1)=1（因为两垂直直线斜率乘积为-1）。即：(n-4)/(m-1)=1→n-4=m-1→n=m+3...①中点M在BC上：(4+n)/2=-(1+m)/2+3。两边同乘2：4+n=-(1+m)+6→4+n=-1-m+6→4+n=5-m→n=1-m...②联立①②：m+3=1-m→2m=-2→m=-1。将m=-1代入①得：n=-1+3=2。∴点E的坐标为(-1,2)。四、易错点警示与应试技巧4.1常见易错点1.对翻折后图形的空间位置想象不清：导致无法正确画出翻折后的图形或找不到对应关系。2.忽略翻折的隐含条件：如对应边、对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分等，未能充分利用这些性质构建等量关系。3.辅助线添加不当或缺失：特别是在需要构造直角三角形或利用中点性质时，辅助线是连接已知与未知的桥梁。4.计算失误：在利用勾股定理、相似比、三角函数进行计算时，因粗心导致结果错误。5.考虑不全面，漏解：当翻折方式不唯一或图形具有对称性时，可能存在多种情况，容易漏解。6.混淆翻折前后的量：在表示对应边、对应角时，将翻折前后的字母或符号写错。4.2应试技巧1.动手操作，辅助理解：对于较为复杂的翻折问题，可以利用草稿纸进行简单的折叠操作，帮助建立直观印象。2.规范作图，标注清晰：在解题过程中，务必将图形画准确，并清晰标注已知条件、对应点、折痕等，避免因图形潦草导致错误。3.“执果索因”与“由因导果”结合：综合运用分析法和综合法，从已知条件出发推导可知，从所求结论出发寻找需知。4.注重方程思想的应用：遇到求长度、角度等计算问题时，常设未知数，根据等量关系列方程求解，这是解决几何计算问题的利器。5.多思多练，总结模型：通过大量练习，总结常见的翻转折叠模型及其解题方法，如“将军饮马”模型的变体有时也与翻折有关。6.关注动态变化中的临界点：对于翻折过程中图形形状或位置发生变化的题目，要注意分析临界点，明确不同阶段的情况。7.注意书写规范，步骤完整：在中考中，解答题需要写出完整的推理和计算过程，确保逻辑清晰，步骤不跳步，避免不必要的失分。五、总结与展望翻转折叠问题作为中考数学的热点与难点，其核心在于对轴对称性质的深刻理解和灵活运用。通过