山西运城市2025-2026学年高二第一学期期末调研测试数学试题（试卷+解析）

2025-2026学年第一学期期末调研测试

高二数学试题

2026.2

满分150分考试时间120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合要求的.

1.下列求导正确的是()

A(•兀丫71n(11

A.sm—=COS—B.x+—=1+—

I6J6kx)X-

（）11

2.已知数列｛〃“｝中，=----.则々2026=（）

2

2025202620262027

A.----B.----C.----D.----

2026202720252026

3.已知直线/：x-2y+5=0与圆。：/+/=9交于A］两点，则以用二（）

A.2B.y/sC.4D.275

4.如图，在平行六面体43co-4与G2中，

7T71

AB=AD=AA,=2,/BAD=Z.BAA｝=NDAA、=则直线BD｝与直线AC所成角的余弦值为

（）

显B.逅C.一显D.如

6336

5.已知函数/(x)=xJlnx(〃£R)，则以下最不可能是其图像的是()

2Q25

6在数列｛叫中,an=n+——f则|q—azl+E—^l+L+|。2024-。2025k（）

A.3872B.3882C.3892D.3902

22

rv,

7.己知椭圆。：土？+%=1（。>b>0）的左焦点为少，点〃,改在椭圆。上，若四边形OFA/N为菱形，

则椭圆C的离心率为（）

A.yB.岑C.72-1D.73-1

8.设Q=ln3,b=JJln2，c=&ln3，则。、b、c的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知抛物线C:歹2=4、的焦点为产，准线为/,过点”的直线与抛物线。交于P,。两点，点P,。在/

上的射影分别为q9,准线/与工轴的交点为E,则下列说法正确的是（）

A.若|尸0|=8,则直线R2的方程为：y=x-\

B.以。。为直径的圆与准饯/相切

C.设则1PM+|尸制之0

D.山同加国=但开

ULUULUUUUUUU

10.在棱长为2的正方体力4。一44。|。中，4E=2AB,BF=尢BC，则下列说法正确的

是()

A.A.FLQE

B.三棱锥BEF的体积最大值为1

C.若％=g,则点4到直线Eb的距离为孚

D.三棱锥4-外接球球心轨迹的长度为百

11.已知工=1是函数=的极大值点，则（）

A.a=3

B,若函数y=/（x）-〃?有三个零点，则实数〃?的取值范围为（0,4）

C.若函数y=/（x）在区间（6力+4）存在最小值,则实数b的取值范围为（-1,3）

D.过点*1,5）存在3条直线与曲线y=/（X）相切

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设S,是等比数列｛%｝的前〃项和，々2-4|=3,%-%=6,贝|J$3=.

13.已知函数/（x）=（4-x）lnx+x-1,若£（°，+00），玉工工2，都有久"~则

14.已知双曲线C：/一A=ip〉0）的一条渐近线方程为X+岛=0,点Pn（居,K）（5,%EN）在双

b-

曲线。上，且数列｛%｝递增，则玉=,S&op“%=.

四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2n+xa

15.已知数列｛%｝的首项q=l,且％讨二亍一索.

（1）证明：数列|2丁"）是等差数列；

71、

（2）令”=一，求数列｛f2｝的前〃项和S”.

16.已知函数/（x）=lnx+N-

X

（1）当4=2时，求曲线y=/（x）在点0,/（1））处的切线方程;

（2）若函数/（x）有极小值，且/（X）的极小值小于1-/,求实数。的取值范围.

17.如图，已知斜三棱柱力夕。-44G,底面45C为等腰直角三角形，AC=BC=2,A4=2,/C的

中点为。，4。，底面49c.

B

（1）求证：/C1_L平面43。：

（2）求直线。片与平面48c所成角的正弦值.

18.已知椭圆G:=+/■=1（〃＞力＞0）的左、右焦点分别为6卜6,0）,g（G,。），点/j

是椭圆G上一点，过原点的直线/与抛物线。2：»=--1相交于民。两点，点4是椭圆G的下顶点，直

线,4B,AC分别与G相交于P,Q两点.

（1）求椭圆G的方程：

（2）证明：AB1AC；

（3）记V/l6c和△力F0的面积分别是S1,S2,求才的最小值.

32

19.已知函数/（x）=Qe'—l—xe1

（1）对任意的xeR,/（x）《0恒成立，求实数。的取值范围：

（2）数列｛〃/满足q=l,e%“=匚二L

〃

①判断数列｛%｝的单调性并说明理由；

②设数列｛%｝的前〃项和为S,,证明：sn>\

2025-2026学年第一学期期末调研测试

高二数学试题

2026.2

满分150分考试时间120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合要求的.

1.下列求导正确的是()

【答案】D

【解析】

【分析】根据导数的运算法则以及复合函数求导法则运算求解即可.

sin—1=0,cos—=»两者不相等,

【详解】对于选项A：故A错误:

I6；362

对干选项B：(x+L)=1-4,故B错误;

对干选项C：(in，)x=(—Inx)x==-1，故C错误:

2Af2r

对于选项D：(e)=(e)(2x/=2C2X»故D正确;

故选:D.

r)11

2.已知数列｛/｝中，ax=-,aK+l=-----,则。20,6=()

2幺一

2025202620262027

A.----B.----C.----D.----

2026202720252026

【答案】B

【解析】

111.(1]

【分析】将牝+1=3；——两边同时减去1,再同时取倒数得到-----7=——7-1,从而得到〈——；卜是以

2一凡见+|Ta„-\a„-\

-2为首项，-1为公差的等差数列，即可求出｛%｝的通项公式，代入计算可得.

11Cl—1

【详解】因为4向,所以=------1=-

2一42一册

12-a111

所以-----7=——7=——7-1,即------7——

%+1-1%Ta”T〃”+|Ta>r

又一;=-2,所以》是以-2为首项，T为公差的等差数列,

4T

所以----7=一〃-1,所以Q=_!_+1=/-

/一1-77-177+1

20262026

所以4加6=-------=-----•

m2026+12027

故选：B

3.已知直线/：x-2y+5=。与圆。：/十）产二9交于48两点，则»必=（）

A.2B.yfsC.4D.2#）

【答案】C

【解析】

【分析】先算出圆心到直线/的距离d,然后利用圆的弦长公式»4二2尸万'计算即可.

【详解】已知圆的方程为0:/+/=9,所以圆心坐标为（0,0）,户=9.

力0—2x0+5£

故圆心到直线/：苗_2心+5=0的距离〃=,]2+（_2）2=2，

所以弦|力同“J,—/=2，石=4.

故选:C

4.如图，在平行六面体力8。。-44加，中，

AB=AD=AAi=2,ABAD=g,NB4A=NDAA、=g,则直线BD｝与直线4c所成角的余弦值为

乙J

()

AV6R76CDV6

6336

【答案】D

【解析】

【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得西=1万+麴-刀、AC=AB+AD，利用向量

数量积的运算律求万•西、|西最后应用夹角公式求直线夹角余弦值.

【详解】因为AB=AD=M=2,ZBAD=-^BAA=ZDAA=-,

2}]3

可得万.而=0,而.麴=石.您=2x2x；=2,|^c|=2V2,

乂因为西=而+通+万万=7万+麴一万，AC=JB+7D»

UUUULLTULUUUUUUUULUUHULM,lUbULUULMIUDuum

可得=（力B+力。）・（4。+力4一/8）=力。-AB+ABAA^ADAAl=4-4+2+2=4,

阿卜J（而十五^一万1=J而2+封+万+2诟•麴-2诟•万-2麴•万

=74+4+4+4-0-4=2A/3，

国国4=网

所以直线与直线AC所成角的余弦值为

国•画272x2736

故选：D.

5.已知函数/（X）=xJhlY（4ER）,则以下最不可能是其图像的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】当。=1时，/(x)=x/nx,求导确定函数的单调性、最值即可判断B；当。=-1时，

/(x)=—,求导确定函数的单调性、最值即可判断C；当。=0时，/(x)=hu,根据对数函数的性质

X

即可判断C；。工0时，求/'(X)确定函数的极值点即可判断A.

【详解】己知函数/(x)=xJg(a£R),

当”=1时,/(x)=xlnx,则/'(x)=l+lnx,令/'(x)=1+Inr=0得x=L

e

所以当时，f\x)<0,函数/(x)单调递减，当xjL+oc时，/z(.r)>0,函数/(X)单调

递增，

且工->0,/")->0;/(1)=0;1->+8,/(工)->+8；则选项8是函数/(1)=£山的部分图像；

当a=-l时,/(力=吗则/")=匕毁,令/'("=0得%=6,

.XX

所以当x«0,e)时，/"(x)>0,函数/(x)单调递增，当xw(e,+8)时，/(力<0,函数/(x)单调递

减，

InY

且工f0,/(x)-—纥;/(1)=0;xf+8,/(x)fo；则选项C是函数/(x)=—的部分图像；

X

当4=0时，/(X)=1ILY,则/(x)在(0,+8)上单调递增，且/⑴=0,选项D是/(x)=hir的部分图

像，

对于A选项，显然。工0,

r1.

•••r(x)=(x“4nx)=axa~[-lnx+xfl—=xa-1(a-lnx+1),令/'卜)=。得工=/Z，所以一定有极值

X

点，故A选项不符合.

故选：A.

2Q25

6.在数列｛/｝中,%=〃+——,贝必-《I+E-Oj+L+同024-。2025|=()

A.3872B.3882C.3892D.3902

【答案】A

【解析】

【分析】令。向一为＞0,判断数列的单调性，再去掉绝对值计算即可.

【详解】•.•%=〃+些2025(20252025

•••/7-勺=(〃+1)-〃+-----1

n〃+1kn〃(〃+1)

2025

令…＞。，即『而而＞。=〃（向）＞2025,

v44x45=1980<2025,45x46=2070>2025,

故当〃W44时，afl+I＜an,数列递减;当王N45时,。向〉％,数列递增，

•••HI+1+•.•+1^2024~40251

二（《一。2）+（々2一%）+…（。44一。45）+（。46一。45）+（%7-。46）+…+（白2025一生024）

=a\~a45+（“2025一。45）=+々2）25.2〃45，

202520252025

又4=1+-----=2026,45=45+-----=90,^,=2025+-----=2026,

1145452（P0252025

4+生025-2/5=2026+2026-2x90=3872.

故选：A.

7.已知椭圆。：0+4=1（。＞力＞0）的左焦点为尸，点在椭圆。上，若四边形为菱形，

则椭圆。的离心率为（）

A.yB.4C.V2-1D.＞/3-1

【答案】D

【解析】

【分析】利用菱形性质确定点"的坐标，代入椭圆方程，再通过/，=/—/转化为关于离心率？的方程

求解.

【详解】因为ORWN是菱形，所以|。必|二|0目二c,且MN//OA点M的横坐标为O/7中点的横坐

c

标，即i,

jD十此=5整理得以=¥，解得将;士容，故C,

由=c可得,

r22°22

代入椭圆。：0+4v=1,得二+3。=1,整理得〃。2+34%2=4/〃，

a2h24a24b2

乂/=/一。2,0f(6T2-c2)?+3a2c2=4a2(a2-c2),整理得4/一8/。2+不=0,

两边同时乘以得/一8/+4=0,解得同=8±」—4x4=4±2&，

a2

因为e«0』)，所以/«o,l),所以/=4一26,解得e=JJ—l.

故选：D.

8.设Q=ln3,b=JJln2，c=&ln3，则。、b、。的大小关系是()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】

G1

【分析】利用函数/(x)二'二在(0,e)上的单调性可得到b、。的大小关系，利用对数函数的单调性可

人

得出。、力的大小关系，即可得出结论.

【详解】构造函数/(力=亚，其中x>0,则/a)」』："),

XX

当0Vx<e时，/'(x)>0,所以，函数/(x)在(0,e)上单调递增,

因为0<0<JJ<e即JJln2<01n3,

所以,b<c,

o

因为35=243<256=2，,故51n3<81n2,即ln3<《ln2</Jln2,即。<力，

因此,c>b>a.

故选：D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知抛物线的焦点为/，准线为/,过点厂的直线与抛物线。交于P,。两点，点R。在/

上的射影分别为0储，准线/与X轴的交点为E,则下列说法正确的是（）

A.若|P0=8,则直线也的方程为：

B.以尸。为直径的圆与准线/相切

C.设则|尸必+|尸。之&

D.由同抡同=但歼

【答案】BCD

【解析】

【分析】由抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线也的方程为工=4+1并于抛物线联立，利用韦

达定理由归。|=8可得/=±1,可判断A错误，由抛物线定义以及焦点弦公式可证明R正确，再由三点共

线可得1PMi+|尸制=|尸初+|尸尸|之的耳=0,即可知C正确，由怪尸|=2以及韦达定理计算可得D正

确.

【详解】易知抛物线C:/=4x的焦点/（1,0）,准线方程为x=—1,

所以必+必=M必必=-4,

由抛物线定义可得|尸。|=|产制+|2。||=*+1+%+1=步+优+4=4/+4=8,

解得1=±1,所以直线尸。的方程为丁二工-1或丁二一工+1,即A错误;

对干B,设也的中点为。（马,%）,

易知匕）=匕产=力，则,）=8力+1=2『+1,即O（2»+l,2。：

所以。到准线距离为+1=2/+2,而四=土土1±±±1=2*+2,

22

即膛的中点到准线距离等于阳，所以以做为直径的圆与准线/相切，即B正确;

2

对干C,由|尸尸|二|「用可得1PM+1尸制=|尸陷+\PF\>\MF\,

当且仅当P，M/三点共线时，等号成立，

又M（O,1）可得阿尸|=0,因此1PMl+|「制N0,即C正确;

对于D,易知E（T,O）,即|EF|=2,又可得山阂二|必|,|0闽二|对,

因此|/]E血同=|川冈=|弘刃=卜4|=但可2,即口正确.

故选：BCD

uuuULUuuuuuu

10.在楂长为2的正方体48。。一48|。|。|中，AE"AB,BFrBC，则下列说法正确的

是（）

A.A.FLCXE

B.三棱锥4-的体积最大值为1

c.若2，则点4到直线叱的距离为半

D.三棱锥4-8防外接球球心轨迹的长度为

【答案】ACD

【解析】

【分析】设4£=8少=〃z（OV〃?02）,写出各点坐标.对于A,写出乖，甲，验证两者的数量积是否

为0即可：对于B,运用三棱锥的体积公式，结合二次函数的性质以及机的范围，即可得解；对于C,运

用等面积法求解即可；对于D,设外接球球心由外接球的性质可知J即可

2

判断其轨迹，进而得解.

【详解】以〃为原点，建立空间坐标系如图所示,

设AE=BF=w(0<m<2),

则4（0,2,2）6（2,0,2）,下（叫0,0）,E（0,2-加,0）田（0,0,2）,

对干A：可得力尸=（"],-2,-2）,的月=（-2,2-，小一2）,

因为乖=一2/〃一2（2-〃?）+4=0,即/尸_LC；E,故A正确；

对于B：因为三棱锥用-BE尸的体积除叱=；xS^x网=（x：xm（2-加）X2=；（T?2+2#

当加=1时，三棱锥的体积取到最大值g,故B错误；

对干C：若4=g,则尸（1,0,0）,E（0/,0）,设点4到直线EF的距离为人，

2222222

在△同■中，J（E=Vl+2=V5,4^=Vl+2+2=3,EF=Vl+l=>/2»

4炉+4尸-£尸_5+9-2_26

则cosZ.EAF=

[2A】E.A\F2x>/5x35

2

且Z.EA}F为锐角，可得sinZ.EAF=-^l-cosZ.EA^F=，

5

则S^AEF="X4尸xA\ExsinZ.EAF=—xEFxh,

22X

即Lx3x6x且=,x0x/?,解得〃=之巨，故C正确:

2522

对于D：设三棱锥片-BEb外接球球心历（x,乂z）,

易知直角三角形BEF的外接圆圆心位于其斜边EF的中点,

故△8£77的外接圆圆心为,

122）

由外接球的性质可知，球心〃位于△«口的外接圆圆心的正上方,

且打到6的距离与到及的距离相同，故z=l,

因此，M—,1——,1,

（22）

"I

x=~

x+y=1

即；1m,则《,且〃7£[0,2],

>=1—Z=1

2

z=1

可知球心〃的轨迹为线段，且两个端点坐标为（0』』）,（1,0』）,

所以三棱锥用-8"外接球球心轨迹的长度为护乔=8，故D正确.

故选：ACD.

11.已知x=l是函数的极大值点，则（）

A.。=3

B,若函数歹二/（'）—机有三个零点，则实数〃?的取值范围为（0,4）

C,若函数y=/（x）在区间优力+4）存在最小值，则实数b的取值范围为（-1,3）

D.过点。（1,5）存在3条直线与曲线y=/（x）相切

【答案】AB

【解析】

【分析】对函数/（x）求导，并根据极值点解得。=1或〃=3,经检验可得。=3符合题意，因此A正

确，利用函数与方程思想可得函数）'=m与y=x（x-3『有三个交点，画出函数图象求出其极值可得B正

确，由区间（4力+4）上存在最小值得出不等式可解得046<3,因此C错误，设出切点坐标求出切线方

程并代入点5）得出方程，求出方程根的个数可判断D错误.

【详解】对于A,易知广（x）=（x-q）~+2x（x-q）=（x-a）（3x-o）,

依题意可得/'⑴=（1一。）（3-。）=0,解得〃或〃=3：

当《=1时，/'(x)=(x-l)(3x—l),当时/”(x)<0,当XG(1,+8)或18,；时

可得/(X)在上单调递减，在(1,+8)上单调递增，在上单调递增；

显然X=1是函数/(x)=x(x—〃)2的极小值点，不合题意；

当〃=3时，易知/'(x)=(x-3)(3x-3),

当工£(1,3)时/1X)<0,当X£(TO,1)或(3,+8)时/(丫)>。，

可得/(X)在(1,3)上单调递减,在(3,+8)上单调递增，在(YO,1)上单调递增;

此时工=1是函数/(x)=x(x-a)2的极大值点，所以Q=3,即A正确；

对干R.若函数y=/(x)一机有三个零点,即方程m=x(x-3『有三个不相同的实数根，

也即函数卜二"与歹=x(x—3『有三个交点，根据已有分析可知/")在x=l处取得极大值/(1)=4,

在工=3处取得极小值/(3)=0,

画出函数/(x)的图象如下图：

对于C,若函数y=/(x)在区间优力+4)存在最小值，则需满足人4>3且0工人<3；

解得0«力<3,因此C错误，

对于D,设过点P(l,5)的直线与曲线歹二/(x)相切于点卜0，天(/一3)2),

易知切线斜率为/'(3)=(/-3)(3%-3),

所以切线方程为N-丫。(％-=(%-3)(3%-3)(丫—/),

代入点P(1,5)并化简可得2x1-9x；+12%-4=0,

也印2XQ—4XQ—(5XQ—12X0+4)=0,所以2x：(x0—2)—(5xc—2)(x0—2)=0,

即(XO-2)(2X：-5XO+2)=(%-2)2(2XO-1)=O,显然/=2或%=；,

因此只存在两个切点，所以过点尸(1,5)存在2条直线与曲线>=/卜)相切，即D错误.

故选：AB

三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设S”是等比数列｛〃“｝的前〃项和，a2-a｝=3,ay-a2=6,贝[$3=.

【答案】21

【解析】

【分析】设等比数列｛%｝公比为q,根据已知条件求出卬、q的值，再利用等比数列的求和公式化可求出

的值.

【详解】设等比数列｛《,｝公比为当夕=1时，a｝=a2=a.,此时。2-《=0,与题意不符，

a,-a=a,q(q-\)=6[a.=3

所以"1,由题意可得｛33:八…解得、，

=q(q-l)=3[q=2

由等比数列求和公式得&=)=出"2)=21.

1-q1-2

故答案为：21.

13已知函数/(x)=(Q—x)lnx+x-l,若VX1,X2£(°，+8)，玉工工2，都有~则

,西一工2

a=.

【答案】-1

【解析】

【分析】根据不等式可求得函数g(x)=/(x)-⑪在(0,+8)上单调递减,即g'(x)WO在(0,+8)上恒成

立，构造函数g'(x)="月二-精不+巴-。，对参数。分类讨论，求出函数极值并利用不等式恒成立可得

X

只有当力(一。)=力(1)=0时符合题意，即可得4=7.

【详解】不妨取£(0,+8),由/(xJ-/(工2)<〃可得/(xJ-(E,)<“再一7),即

为一工2

/（xj-ax,＜/（x2）-ax2,

令g（x）=/（x）—Qx，可得VX|w（O，+8），g（$）＜g（x2）,

即可得g（工）在（0,+8）上单调递减，所以g'（x）«0在（0,+8）上恒成立，

又易知g（x）=（a-x）lnx+x-l-ar,JJVJgr（x）=-Inx++i-a=-\nx+--a,

XX

令g'（x）=/?（x）=_lnx+g_Q,则〃'（工）=_，_彳=_^^；

XXXX

当“20时，易知"（x）＜0恒成立，此时〃（力在（0,+。）上单调递减,即g'（x）在（0,+。）上单调递减，

又/⑴="1）=0,所以当x£（0,l）时，g,（x）＞/?（l）=0,不合题意;

当〃＜0时，易知当不£（0,一。）时，//（x）＞0,当xw（—a,+oo）时，hf（x）＜0,

即可得力（工）在（0,一。）上单调递增，在（-以+8）上单调递减，

所以"x）在％=处取得极大值，也是最大值，

若g'（x）«0在（0,+。）上恒成立,即〃（x）＜0在（0,+8）上恒成立，

所以只需保证〃（另max=M一"）40恒成立即可，

令L（Q）=/7（-Q）=-ln（—4）一1一々,4＜0,则k'（Q）=_L_],

显然当Q£（-00,—1）时，k'（一4）＜0,当4€（—1,0）时，k\-G）＞Ot

即可得〃（。），即力（一。）在〃二一1处取得极小值，又力（1）=0,即〃（—。）2力⑴=0,

所以"（一。）="（1）=0,即4=一1.

故答案为：-1

14.已知双曲线。：/一与二lp＞0）的一条渐近线方程为X+舟=0,点月（居,兄）（匕,乂£1＜）在双

b-

曲线。上，且数列｛%｝递增，则玉=,S&op.%=.

【答案】①.2②.3##05

【解析】

【分析】先根据双曲线渐近线方程求出力的值，进而得到双曲线方程，再结合点在双曲线上以及数列递增

的条件求出X1,最后根据点的坐标求出△。££用的面积.

【详解】已知其中一条渐近线方程为;V十届=0,即^=一七%，所以6=玉=冬

则双曲线C的方程为犬-3歹2=1,

因为点匕(%,此)(x/“cN*)在双曲线。上，所以胃一3呼=1,即七=3歹；+1,

由于X”、y〃wN*,X：=3y；+1N4,即玉224,故』22,

当％=2时，弘=1,符合题意；

不妨设+优

xw+I=sx”+tyn,K+I=PA(s",p,q£N*)，

由点一3y3=1得卜%+亚)臼以+0丁口,

可得(--3/词+2(s—3pq)x/1+(/2-3/)y；=1,

52-3p2=152=3/72+l

对比片一3歹；=1可得,s-3Pq=0,所以・s2『=9p2/，

t2-3q2=-3%=3(12—1)

所以3(3p2+1)(/―1)=9P2g2,整理可得g2=3p2+1,

不妨取p=l,则4=2,此时S=2,t=3,符合题意，

所以x〃+i=2x“+34，乂用=x.+2yn,

先证明一个结论：在中,

若丽=5，3，而=（c,d）,则S©"二g|ad—力

证明：5.%,二；|而'丽卜由刀,而

乙

=：明J西Jl-cos^W,丽=；仍.|西1-uvuw

c2+/)-(ac+/W)”

0

=-y/a*2c2+a2d2-^b2c2+b2d2-a2c2-b2d2-labcd

2

=­[a2d2+b2c2-2abed=—《(ad-bc「=-\ad-bc\.

222

本题中。?二（x”，H）,。蜜=（5Q.+J，

所以九尸%=（匕+月）一以丹）卜一用二；.

|M„+I-^+IX,|=2（2x,+33

故答案为：2;y.

四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2”+%

15.已知数列｛%｝的首项％=1,且。用=Q；〃.

2"

（1）证明：数列〈是等差数列:

（2）令b,=；,求数列出｝的前〃项和S”.

【答案】（1）证明见解析

〃+3

⑵S'=3

~T~

【解析】

2什12〃

【分析】（1）根据等差数列的定义及递推公式推导出一=一+1,即可得证;

〃向?

_L1

(2)由(1)可得丁二〃+1,即可得到再利用错位相减法计算可得•

【小问1详解】

2'川。

因为“”+i=—蜜4=1，所以/

）刀+1,〃+1

___=______〃+>yx

所以。,川一22^=」—=一+1，

凡+2"%*

7〃+10〃

所以--------二1,

%3

,12"

又二二2,所以数列｛一｝是首项为2,公差为1的等差数列;

【小问2详解】

2"/、1/7+1

由(1)可得：一=2+(〃-1)=〃+1,则，z=—=f

%42

仁234〃+1尸、

所以色石+»+封+…+下"①，

1234〃+1尸、

贝rll%sr”=中+尹+>+.•・+尸②，

两式相减得：袅=1+!+*…+!-暮，

1_]_

。n+,

…।1।42〃+1=3〃+3

所以3S“=Hj+]~~1+1

N]।N乙乙

~2

〃+3

所以S“二3

"r-

16.已知函数/'（x）=lnx+?—a.

（1）当〃=2时，求曲线歹二/。）在点0,/（1））处的切线方程；

（2）若函数/（X）有极小值，且/（不）的极小值小于1-力，求实数。的取值范围.

【答案】（1）x+y-l=（）

⑵（0,1）

【解析】

【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求在点处的切线方程;

（2）分析〃>0和〃<0两种情况,利用导数判断单调件和极值,分析可得/斗上〃-々^。,构建函数解

不等式即可.

【小问1详解】

2

当〃=2时，/（x）=lnx+——2,所以/（1）=0,

X

I2

而「（工）二二一二，所以在（1J⑴）切线斜率左=/'（1）=-1,

XJC

所以切线方程为^二一（工一1）,即x+y-l=O.

【小问2详解】

因为/（x）=lnx+@-。，其中x>0，

X

n”/，/\]aX-a

贝丫（X）丁丁k，

①当4«0时，.，（x）〉0恒成立，此时函数/（X）在（0,+8）上单调递增，无极小值,

②当。>0时，令/'（x）=o,可得x=Q,歹|J表如下：

X（0,4）a(4,+00)

小）—0十

/（X）递减极小值递增

以/'（X）极小值一/'（4）一Ina+1一a,

由题意可得lna+1-a<1-/，即L+lna-avO,

令g(Q)=Q2+[nQ_Q(Q>0),则g(l)=0.

因为g'（4）=2a+1>2>/2-1>0,

所以函数g（a）在（0,+。）单调递增,

所以由g(〃)<g(l)=O,得OVQVI,

所以实数。的取值范围是（0,1）.

17.如图，己知斜三棱柱48C—4MG，底面4BC为等腰直角三角形，AC=BC=2,AA1=2,4C的

中点为。，•底面45C.

（1）求证：4G_L平面44C；

（2）求直线。4与平面43C所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

力3733

22

【解析】

【分析】（1）由线面垂直的性质定理得到,即可得到8C_L平面44CC,从而得到

BCVAC^再说明4C_L4£,即可得证；

（2）取4G的中点2,连接c。，即可得到C〃_L面48C,建立空间直角坐标系，利用空间向量法计

算可得.

【小问1详解】

因为平面Z8C,又BCu平面48C,所以,4Q_L4C,

因为底面48C为等腰直角三角形，AC=BC=2,所以4C_L4C,

又,4Cc4O=z）,4c，4。u平面/4G。，

所以8C1平面44GC,

又,4Gu平面44CC，所以8。J,4G，

因为力4:2,所以侧面44G。为菱形，所以4C_L%G

又4CC|8C=C,4C8CU平面48C,所以4G，平面48c.

【小问2详解】

取4G的中点。，连接CA，则CQ"4。，所以81•面48C,

以C为坐标原点，CA,CB,CD1所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

因为4C=8C=2,44=2,所以N（2,0,0）,4（1,0,百）,8（0,2,。），

则“=第=（1,0,_正），所以A（T,2,G）,西=（-2,2,6），

由（1）可知力G，平面48C,

所以平面48c的一个法向量存=（-3,0,JJ）,

gr-i.i1~77^7Yp*\6+33>/33

所以cos{AC.,DB.）=/——.=-------,

\1，ZV4+4+3XV9+322

所以直线。片与平面48C所成角正弦值空3.

22

18.已知椭圆£：J+}=1（〃>〃>（））的左、右焦点分别为6卜百,o）,g（6,o）,点"*，当

是椭圆G上一点，过原点的直线/与抛物线。2：^=--1相交于丛。两点，点力是椭圆q的下顶点，直

线.4民/c分别与G相交于产,。两点.

（1）求椭圆G的方程；

（2）证明：AB1AC-,

S\

（3）记V4?C和△［尸。的面积分别是号5,求亡的最小值.

32

丫2

【答案】（1）—+/=1

4.

25

（2）证明见解析（3）—.

64

【解析】

【分析】（1）结合代入法，焦点的坐标进行求解即可.：

（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合直线互相垂直斜率的关系进行求解即可:

(3)根据三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.

【小问1详解】

22

椭圆G:0+5=1（。>b>0）的左右焦点分别为6（-石,0）,"（J，,0）,

a,b

设d=/-〃,。＞0,则c=6,

所以椭圆G的方程为：—+/=1.

4