期末重难点检测卷（提高卷）（考试范围：1~4章 九年级上册全部内容）解析版-2025-2026学年九年级数学上学期（苏科版）

期末重难点检测卷（提高卷）（苏科版）

全解全析

（满分100分，考试时间120分钟，共27题）

注意事项：

1.本试卷分第1卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上；

2.回答第1卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；

4.测试范围：1〜4章（九年级上册全部内容）；

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、选择题（8小题，每小题2分，共16分）

1.（25-26九年级上•江苏盐城・期中）”-3±力2-4x3是下列哪个一元二次方程的根（）

2x2

A.2x2+3x+l=0B.2X2-3X+1=0

C.2X2+3X-1=0D.2X2-3X-1=0

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程公式法求解，通过对比•元二次方程的求根公式，

直接确定系数。、6C的值，从而匹配对应方程

【详解】解：.••一元二次方程加+bx+c=0，

-b±yJb2-44c

x=----------------，

2a

-3±V32-4x2xl

x=--------------------»

2x2

-h=—3,即6=3；2。=4,UP=2；

v/>2-4f7c=32-4x2x1=9-8=H

c=1,

故方程为2X2+3X+1=0,

故选：A

2.（2025•江苏泰州•模拟预测）如图，若随机闭合开关E，52,S3中的两个，则能让灯泡区发光的概率为

2

D.

3

【答案】C

【分析】本题主要考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式尸（力）=：是解题的关键.先列出随机闭合两

个开关的所有可能情况，再找出能让灯泡右发光的情况，最后根据概率公式计算概率.

【详解】解：•••随机闭合开关中的两个，共有3种等可能的情况：（$,&）、（，应）、⑸同）.能让

灯泡右发光的情况是（5,02）,共1种.

•••能让灯泡&发光的概率为g.

故选：c.

3.（25-26九年级上•江苏常州•期中）某班50名学生身高测量结果如下表：

身高1.511.521.531.541.551.561.571.581.591.601.64

人数113434468106

该班学生身高的众数是（）

A.1.58B.1.59C.1.60D.1.64

【答案】C

【分析】本题考查了众数的概念，根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数值即为众数，即可得到

答案，熟练掌握众数的概念是解题的关犍.

【详解】解：•.•这组数据中1.60出现10次，次数最多，

•••众数是1.60,

故选：C.

4.（25-26九年级上•江苏镇江•期中）如图，四边形内接7。。，£为AC延长线上一点，若

/力=70。，则/QCE的度数为（）

q

A.110°B.120°C.70°D.60°

【答案】C

【分析】本题考查了圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

根据圆内接四边形的性质得到4+NBCD=180°,根据平角的定义得到NDCE+NBCD=180°,得到

NDCE=NA，即可得出答案.

【详解】解：•••四边形48co内接于。。，

.-.ZJ+Z5CD=I8O°,

vZDCF+Z5CZ）=180o,

Z.DCE=Z/1=70°.

故选:c.

8.（25-26九年级上•江苏扬州•期中）如图，48为半圆的直径，将半圆绕点8顺时针旋转36。，使点力恰好

旋转到点C的位置.若力8=10,则图中阴影部分的面积为（）

A.27cB.2.571C.5itD.10几

【答案】D

【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及旋转的性质，根据题意，将阴影部分的面积转化为扇形历ic的

面积，再结合扇形的面积公式进行计算即可，熟知旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键.

AB

贝ijS①+S②=Sigj+S②，

所以s①=S③，

所以阴影部分的面积可转化为扇形BAC的面积.

因为49=10,乙48c=36°,

所以扇形8/1C的面积为：36--X1O2=107r＞即阴影部分的面积为10兀，

360

故选：D.

6.（25・26九年级上•江苏盐城•月考）某农户计划在一个长16m,宽9m的矩形菜地上,修建若干条

同样宽的小径，竖直的与48平行，水平的与X。平行，其余部分种草.已知草坪部分的总面积为112m一

设小路宽为xm,若尤满足方程/_1=0,则修建的示意图可以是（）

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，分别求出各选项中种植草坪部分的总面积是解题的关键

利用因式分解法解•元二次方程求出符合题意的工的值为1,再分别求出各选项中种植草坪部分的总面积,

将其H\\2rn2比较后即可得出结论.

【详解】解：=即（x-l）（x+l）=0,

1=%=T（不符合题意，舍去），

*"•JV=19

A.种植草坪部分的总面积=（16-ljx（9-lx3）=90（m2）,

♦.­90*112,

•・・选项A不符合题意；

B.种植草坪部分的总面积=。6-lx3）x（9-1）=104仙2）,

•••104*112,

厂•选项B不符合题意;

C种植草坪部分的总面积=(16-1x2)x(9-1)=112(11?),

•••112=112,

•.・选项C符合题意；

D.种植草坪部分的总面积=(16-1仅(9-1)=120仙2),

v120*112,

二.选项D不符合题意；

故选：C.

7.(2025•江苏连云港•模拟预测)课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出垃，出,石，…的线

段(如图).”记AOM，△044,…，的内切圆的半径分别为4，G，…，%,若

…+。=10,则”的值是()

【答案】A

【分析】利用勾股定理分别求出各边长，进而得出内切圆半径长的规律，再列方程求解进而得出答案.

【详解】解：设内切圆的圆心分别为何,。2，。3,…，设0。|与AO/4的三边相切于点5,GD,如图，

4。=4c=1一不。。=OA=1—乙

又。4=啦，

/.]一耳+1_A=VI,

1+1-V2

••=,

12

同样，在Rt/iO44中，四边形/七。2厂为正方形，

.\A2G=A2F=\-r2,OG=OE=>/2-r2

z=百,

OA2

:.\-r2+yf2-r2=>/3,

1+y/2—y/3

：.r.=

2

同理，"6一",

32

I+A/4-5/5

-

1+6一J〃+l

I2

IfllpJ-r-Lr4-j_r1+1—5/24-1+5/2—5/34-14-5/3—5/4d---卜1+G-+1〃+1-」〃+I

《十&+G_1Vrn=-------------------------------------------------=-----------=10»

22

〃+1-J〃+l=20，

〃-19=y1n+\，

(〃-19)2=〃+1

/一39〃+360=0

(〃-15)(〃-24)=0

=15,〃个=24

经检验，％=15是增根，々=24是原方程的根，

・••〃的值是24,

故选：A

【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及求一:角形内切圆半径，解题的关键是得到三角形内切圆半径长的

\+y[ii-yJn+\

规律:

8.（2025•江苏常州•模拟预测）如图，在Rt△力3C中，/4=9（）c,E是直角边48的中点，F是直角边BC

上的一个动点，将△8£”沿£厂所在直线折叠，得到AGM,。是斜边力C的中点，若45=8,8c=16,则

0G的最小值为（）

【答案】C

【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、

圆的定义，确定动点G的运动凯迹是解题的关键.根据折叠的性质可得EG=EB,结合E

是直角边力6的中点，得到£4=E8=£G=；48=4,由此可判断点G在以E为圆心，£4=4为半径的圆上

运动，当。、G、£1共线时，此时。G的值最小，根据三角形中位线定理求出。E=g8C=8,即可求出此

时QG的最小值.

【详解】解：:将△国沂沿痔所在直线折叠，得到△GM,

•••△BEFW4GEF、

EG=EB,

・•.E是直角边的中点，

EA=EB=EG=-AB=4,

2

・•・当力、G、E共线时，即G与G'重合时，取得最小值,

乂•:EG=4,

此时。G的值最小，

•••。是斜边47的中点，

，力上是△力8c的中位线，

QE=LBC=8,

2

/.此时，DG=DE-EG'=8-4=4,

DG的最小值为4.

故选：C.

第II卷（非选择题）

二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）

9.（25-26九年级上•江苏苏州•期中）已知〃八〃是一元二次方程-+X-2025=0的两个实数根，则代数式

m~+m+nui的值等于.

【答案】0

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系.

根据一元二次方程根的定义，根与系数的关系得到苏+加=2025,〃〃?=-2025,代入计算即可.

【详解】解：••・/〃、〃是一元二次方程—+x-2025=0的两个实数根，

•，•m2+m-2025=0，mn=-2025,

nr+m=2025.

m2+m+mn=20254-（-2025）=0.

故答案为0.

10.（25-26九年级上•江苏徐州•月考）小明用S?W「a-3『+（X2-3丫+…+（.%-3）1,计算一组数据的

方差，那么X]+*2+/+…+%10=.

【答案】3（）

【分析】本题主要考查了方差计算公式，一组数据小x2,%，…，%的平均数为工，那么它的方差为

§2=累芭-可+卜2-4+•••+h二）[,据此可得不%如…，/这组数据的平均数,进而可得答案.

【详解】解：由题意得，X，毛，％…，％这10个数据的平均数为3,

xt+.r,+-i---i-.vl0=3x10=30,

故答案为：30.

11.（2025九年级上•江苏南京•模拟预测）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试、微型课、教学

反思得分分别为90分、92分、88分.按照如图所示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成

【分析】本题主要考查加权平均数；根据加权平均数的计算方法计算即可.

【详解】解：90x30%+92x60%+88x10%=91,

・••李老师的综合成绩为91；

故答案为：91.

12.（25-26九年级上•江苏宿迁•月考）如图，四边形力4co内接于。。，连接口、OC,若。。的半径为

3,Z5=I20°,则元的长为..（结果保留乃）

【答案】2乃

【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角都定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关

键.根据圆内接四边形的性质得到/。=60。，由圆周角定理得到乙=120。，根据弧长公式即可得到结

论.

【详解】解：••・四边形内接于O。，4=120。,

.•.ZD=180o-120°=60°,

ZAOC=2/0=2x60。=120。，

，怒的长=萼2=2-

180

故答案为：2万.

13.（25-26九年级上•江苏无锡・期中）如图，飞镖游戏板中每一次小正方形除颜色外都相同.假设飞镖击中

每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷匕镖1次,

飞镖击中阴影区域的概率是.

9

【答案】石

【分析】本题主要考查了几何概率，掌握击中黑色小正方形的概率等于黑色小正方形与正方形总面枳之比

是解题的关键.

直接用涂有黑色的小正方形个数除以小正方形的总个数即可解答.

【详解】解：•.•大正方形等分为25个小正方形，其中涂有黑色的小正方形有9个，且每个小正方形被击中

的概率相同，

0

二任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是卷.

9

故答案为：—.

14.（24-25九年级上•江苏南京•期中）某口罩生产厂生产的口罩1月平均日产量为20000个，1月底因突然爆

发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月起扩大产能，3月平均日产量

达到2420（）个.

（1）口罩日产量的月平均增长率为-

（2）按照这个增长率，预计4月平均日产量为个・

【答案】10%26620

【分析】本题考查了一兀二次方程中增长率的知识，增长前的星x（l+月平均增长率产=增长后的量，熟

练掌握以上知识是解题的关键.

（1）设口罩日产品的月平均增长率为x,根据1月及3月的日产量，即可列出方程求解.

（2）利用4月份平均日产量=3月份平均日产量x（1+增长率）即可得出答案.

【详解】（1）解：设口罩日产量的月平均增长率为x,

依据题意可得：20000(1+x)2=24200,

解得：X]=0.1=10%,X2=-2A[不合题意舍去),

x=10%,

故答案为：10%.

(2)解：依据题意可得：24200(1+10%)=24200x1.1=266201个)，

故答案为：26620.

15.(25-26九年级上•江苏淮安・期中)如图，△力8C是一张三角形的纸片，。。是它的内切圆，点。是其中

的一个切点，已知力。=12,用剪刀沿着与。。相切的任意一条直线剪下一块三角形(△/MN),则剪下

的的周长为

【答案】24

【分析】此题重点:考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出4W+A/N+4V=2力。是解题的

关键.

设。。与MV、4c分别相切于点£、F,则EN=FN,因为与48相切广点。，所以EM=QM,

AF=AD,可推导出/M+MN+/N=4D+/E=24O=24,于是得到问题的答案.

【详解】解：设。。与A/N、力。分别相切于点£F,则EN=FN,

••・OO与AB相切于点。,

EM-DM,AF_AD,

AM+MN+AN=AM+EM+ENAN=AM+DM+FNAN=AD-^AF=2AD,

vAD=\2,

AM+MN+4N=24,

.,.剪卜的△力MN的周长为24,

故答案为：24.

16.(25-26九年级上•江苏常州•期中)如图1是化学实验中制取蒸锚水的装置，图2为圆底烧瓶底部截面,

阴影部分为液体部分，若瓶内液面的宽度/A=8cm,最大深度CO=2cm,厕圆底烧瓶截面。。的半径为

cm.

【答案】5

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理以及勾股定理的运用.

由垂径定理得到4C=；48=4cm,设。。的半径为xcm,则N=oo=xcm,0C=(9D-CD=(x-2)cm,

在△力OC中，根据勾股定理计算即可解答.

【详解】解：如图，连接/O,

AC==4(cm),

设0。的半径为犹m,则。4=OO=xcm,

OC=OD-CD=(x-2)cm,

在Rt△力OC中，AC2+OC2=OA\

ll|J42+(x-2)*=x2,

解得：x=5,

0。的半径为5cm.

故答案为：5.

三、解答题(11小题，共68分)

17.(25-26九年级上•江苏徐州•期中)解下列方程:

(1)(X-1)2=9；

(2)/+3X+2=0；

(3)3X(X-1)=2-2X；

(4)2.r-4x-l=0.

【答案】(1)>=4,吃=-2

(2)x,=-1,x2=-2

2

(3)/=1,x2=--

小2+娓2-娓

(4)%=—^―，x2=——

【分析】本题主要考查了解一元二次方程.

(1)利用直接开平法解答即可；

(2)利用因式分解法解得即可；

(3)利用因式分解法解得即可；

(4)利用配方法解答即可.

【详解】(1)解：(-r-l)2=9

x-1=±3,

解得：玉=4,X2=-2

(2)解：x2+3x+2=0♦

.-.(J+l)(x+2)=0,

•%xI1-O,xI2-0t

解得：X=-1,x2=-2-

(3)解：3x(x-l)=2-2x,

.,.3x(x-l)+2(x-l)=0,

.-.(3x+2)(x-l)=O,

即3x+2=O,x-l=O,

解得：X]=1,x2=--;

（4）解：2X2-4X-1=0,

2r1

x-2x=—,

2

x*-2x+1=—,

2

即（I）2=:，

・x1-+#

••A-1-H，

2

解得：芭=丝但，占=上里.

122

18.（25-26九年级上•江苏无锡•期中）如图，。。的两弦/〃，CD：交于点P,且AB=CD.

图1图2

（1）如图1,求证：AD=CB

（2）如图2,若点C为前的中点，连接0C交于点4，48=8,O。的半径为5,求C〃的长度.

【答案】（1）证明见详解

（2）2

【分析】（1）由AB=CD得弧相等，推导弧力。=弧CB,记/ID=CB-

（2）连接0A,用垂径定理得垂直平分48,勾股定理求0H,进而得CH.

【详解】（1）-AB=CD,

­■AB=CD

-AB-AC=CD-AC^即1O=CB・

AD=CB.

（2）如图所示，连接Qh

B

••,点C是AB的中点，

.'.OCLAB,且=4（垂径定理）.

在由"OH中,由勾股定理得：

OH=JOA【-AH2=,52-42=3，

又。。=5,故。〃=。。-0"=5-3=2.

【点睛】本题考查圆的弦、弧的关系及垂径定理的应用，涉及知识点：等弦对等弧、圆周角定理、垂径定

理（垂直于弦的直径平分弦）、勾股定理.解题方法是利用等弦推等弧证线段相等；通过弧的中点得垂直关

系，结合垂径定理和勾股定理计算线段长.解题关键是关联弦、弧的对应关系，构造直角三角形，易错点

是垂径定理的条件应用不充分.

19.（24-25九年级」二•江苏盐城•期末）如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分

别标不数字2,4,6：另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1,3,5的三个完全相同的小球，小杰先

转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转）.小玉再从瓶子中随机取出一个

小球，记下小球上的数字，然后计算两个数字的和.

（1）用画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；

（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰胜：若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉胜，分别求出两

人获胜的概率.

【答案】（1）见解析

（2）小杰获胜的概率为:，小玉获胜的概率是!

【分析】（1）利用树状图列出所有可能出现的结果即可；

（2）根据概率的定义进行计算即可.

【详解】（1）解：用树状图表示出所有可能出现的结果如下：

开始

两次之和3575797911

（2）共有9种可能出现的结果，其中两次之和是3的倍数的有3利1，是7的倍数的有3种，

所以两次之和是3的倍数的概率为13=§1,两次之和是7的倍数的概率为13=§I,

答：小杰获胜的概率为9，小玉获胜的概率是:.

【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有可能出现的结果是正确解答的前提.

20.（25-26九年级匕江苏苏州•期中）“尊老敬长”是刻在我们骨子里的传统，某地文旅商店在售卖•款冰箱

贴时，对60岁以上老人购买冰箱贴给予每个两元的优惠，对其他人则按原价销售.某旅行团在此商店每人

购买了一个冰箱贴，共花费了90元，售货员发现该旅行团人数和每个冰箱贴的原价恰好相同，该旅行团中

有5名60岁以下成员，其余成员均在60岁以上.

（I）求冰箱贴的原价.

（2）一段时间后新品上市，这批冰箱贴需清仓处理，商店经历两次降价，降价百分率相同，降价后，60岁以

上老人购买冰箱贴仍给予每个降价两元的优惠.若一名60岁以上老人购买一个冰箱贴付款6.1元，求降价

的百分率.

【答案】（1）冰箱贴的原价为10元

（2）降价的百分率为10%

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，

（1）设冰箱贴的原价为x元，根据题意列出方程，解出方程并舍去不符合题意的解即可；

（2）设降价的百分率为〃?，根据题意列出方程，解出方程并舍去不符合题意的解即可.

【详解】（1）解：设冰箱贴的原价为x元，

由题意，得5x+(x-5)(x-2)=90,整理，得X2-2X-80=0.

解得％=10/2=-8(舍去),

答：冰箱贴的原价为10元.

（2）解:设降价的百分率为加，

由题意，得10（1-川丫-2=6.1,整理，得（1—加）2=0.81,

解得网=0.1=10%,%=1.9（舍去）,

答：降价的百分率为10%.

21.（24-25九年级上•江苏苏州•期末）草帽：是用水草、席草、麦桔、竹建等物进行编织缠绕的中国特有的

传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、底面半径为15cm的锥形

草帽.粘贴时，彩色卡纸恰好覆差草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重置.

⑴这顶锥形草帽的高为cm,侧面积为cm，（结果保留兀）

（2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数.

【答案】（1）20,3757r

（2）216°

【分析】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、勾股

定理及扇形面积公式是解决问题的关键.

（1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式;分代值计算即可得到面积；

（2）由（1）知侧面积为375兀cm）设所需扇形卡纸的圆心角的度数〃°,列方程求解即可得到答案.

【详解】（1）解：如图所示：

Bhn

在RS4OC中，ZBOC=90°,OC=I5cm,BC=25cm,

则由勾股定理可得BO="BC2-OC2=V252-152=20（cm）：

圆锥底面圆的周长为2nxl5=30兀（cm）,

圆锥侧面积为弓x30冗x25=375q（cm2）；

故答案为：20,3757t；

(2)解：由⑴知侧面积为375兀cn?,

设所需扇形卡纸的圆心角的度数〃°，

/.-^―x兀x25?=375n,

360

解得〃=216,

答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216。.

22.(25-26九年级上•江苏扬州•月考)小明运用所学的一元二次方程。/+版+。=0(。=0)的根与系数的关

系，对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征进行了探究.定义：

倍根方程：如果关于工的一元二次方程。/+笈+6=0(。工0)有两个实数根(都不为0),且其口一个相等于

另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.

方根方程；如果关于X的一元二次方程“/+及+。=()(4步())有两个实数根(都不为o),且其口一个根的平

方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程

(I)若一元二次方程x2-6x+c=0是“倍根方程”，求c的值；

(2)根据探究，小明想设计一个一元二次方程/+外+。=0,使这个方程既是“倍根方程''又是"方根方程”，请

你先帮他算一算，这个方程的根是多少？

【答案】(l)c=8

(2)这个方程的根是是2和4,或;和5

【分析】本题主要考查了阅读理解类题目，一元二次方程根与系数的关系的应用.

(1)设方程的x2-6x+c=0两个根是石/2,根据定义可设/=2不，再根据根I系数的关系求出答案；

(2)设方程/+氏+。=0的两个艰是根据题意可知演=2%2八=的或『=28,芭=石,列出方程求出

解即可.

【详解】(1)设方程/—6x+c=0的两个根为x”W，

一元二次方程x2-6x+c=0是“倍根方程”，

不妨设％2=2芭，

3X]=6,=c,

A,=2,x2=4,

c=8；

（2）设一元二次方程/+加+。=0的两个实数根分别为为、

•••这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，

二•天妨设玉=考，

①当再=2上,演时，即2.丫2=考，解得马=2或々=0（舍去），

••・百=4,

②当x2=2芭,演=x；时，即=$,

解得工2=（或々=°（舍去），

1

•b•这个方程的根是2和4,或;和1.

23.（25-26九年级上•江苏无锡•期中）小明和小丽在一次综合实践活动中，尝试用一张矩形纸条测量马克杯

杯口的直径.他们的方法是：将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于力、8、C、。四

点.

（1）小明利用尺规作图找到圆心，进而度量出直径大小，请你用尺规作图在图1中确定圆心O；

（2）小丽利用刻度尺测量纸条的宽为7cm,48=8cm,CZ）=6cm,请你根据上述数据计算纸杯的直径（请利用

图2解答）.

【答案】（1）见解析

（2）10cm

【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，垂直平分线的性质，关键是通过作辅助线构造直角三角形;

（1）连接〃C，分别作8C与48的垂直平分线，交于一点。，即可求解；

（2）连接CO,BO,过圆心作得CF=DF=gcD=3,AE=BE=；AB=4,设。尸=。，那么

OE=7-a,根据在Rt△。尸。与Rl^O欧中，08?,可知。2+32=（7一。f+4?,即可求解.

【详解】(1)解：如图：连接8C,分别作〃。与48的垂直平分线，交于•点。，即是圆心。,

EF-7cm,AB-8cm,CZ)=6cm,

CF=DF=—CD=3cm,AE=BE=—AB=4cm,

22

设。尸=〃，那么O£=7—a,

vEFLAB,AB//CD,

••・在RtAOFC与RtAOEB中，OB1=OC\

.../+32=(7-“『+42,

解得：a=4；

••OC=732+42=5，

•••纸杯的直径为20c=10cm.

24.(2025•江苏徐州•模拟预测)【观察发现】

(1)如图1,在正方形力8。中，点O为对角线的交点，点?为正方形外一动点，且满足/8PC=90。，连

接尸O.若正方形边长为4,则0P的最大值为；

(2)如图2,已知△力6。和△4)5•都是等边三角形，连接40、CE,求证：BD=CE；

【拓展应用】

(3)如图3,某地有一个半径为3km的半圆形(半圆。)人工湖，其中BC是半圆。的直径，。在半圆。

上(不与8、。重合)，现计划在3。的左侧，规划出一个三角形44。区域，开发成垂钓中心，要求

AB1BD、AB=BD,A为入口,并沿力C修建一笔直的观光桥，根据规划要求观光桥4C的长度尽可能的长,

问/C的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.

【分析】本题考查了正方形的性质，圆的基本性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相关性质

是解题的关键.

(1)以8c为直径作G»E,连接产E,点O和点Q在OE上，当。P为OE直径时，。尸最长即可求解：

(2)通过等边三角形的性质，证明△历IOGAC/E,即可求证;

(3)过点8作40的垂线并截取点M使8M=80,如图，以点〃为圆心，8时为半径，作半圆碗，则

点力在半圆上运动，当4M、C三点共线时，AC=AM^MC,此时月C长度取到最大值，即可求解.

【详解】解：(1)以8。为直径作。£,连接尸E,如图：

：4BCD是正方形,

.•.4。。=90。，

乂•：4BPC=90°,

•••点。和点。在。石上，

当。、E、尸在一条直线上时，即。尸为OE直径时，OP最长,

•••正方形边长为4,

，OP="=4；

(2)•••△/8C和△4DE都是等边三角形，

AB-AC,AD=AE>NBAC=Z.DAE，

：./BAD=/C4E,

在和△C4K中,

AB=AC

</BAD=Z.CAE,

AD=AE

ASA（SAS）,

•••BD=CE；

C）过点“作BO的垂线并截取点B使=如图,以点股为圆心,为半径，作半圆碗，则

点4在半圆上运动，

理由如下：

作84J.80,交半圆嬴于点力,

•••ZABD=/ABM+/MBD=90°,

Z.MBO=NMBD+NDBO=90°,

:.ZDBO=N4BM,

,:AM=BD,OB=OD,

ZABM=NBAM/OBD=NODB,

ZABM=/BAM=Z.OBD=4ODB,

乂•.BM=BO,

.•.△U48%O8Q（AAS）,

/.AB=BD,即/8=8。且48JL8Q,

•••当点。在8C上运动时，点力在BN上运动，

连接力C,当4必、C三点不共线时，AC<AM+MC,

当4M、C三点共线时，AC=AM+MC,此时AC长度取到最大值，

,,

即:如图中，点/在4位置时，ACmM=AC=AM+MC,

vW=5D=34（m）,5c=23O=6（km）,

MC=>lBM2+BC2=375（km）,=B历=3（km）,

JrC=3V5+3（km）,

即4C最大值为（3石+3）km.

25.（2025•江苏苏州一模）在中国古代，“方''象征稳定秩序，"圆''代表无限循环.设计中结合“外方内圆

或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐.这些设计彰显古人智急、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如

古铜钱、良渚玉琮、中式窗根，从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学

问题.

(1)如图I,在正方形48。。中，。为对角线的交点,。。的半径为正方形边长的一半，求证：。。与力。相

切;

(2)如图2,在正方形力4。3中，4B=4,DN,BM,4。分别与相切于点N,〃，E,且

DN=BM=2五，OC=2&-1，求。。的半径：

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【分析】此题考查了切线的判定和性质、切线长定理、正方形的性质等知识，熟练掌握切线的判定和性质

是关键.

(1)通过作垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，从而证明直线与圆相切；

(2)连接OE.证明。。上三点在同一条直线，得到位=20，由OC=2&-1及。£=CE-0C即可得

到答案.

【详解】(1)设正方形边长为则。0半径为

过。作OHJ.4。于〃,

•.•O为正方形*38对角线交点,

••Q到4。的距离0,等于边长的一半，即。〃=微，等于。。半径,

••.00与/。相切.

(2)连接0E.

•••在正方形力8c。中，48=4,

BD=-J1AB=4A/2.BC=DC,

•:DN,BM,8。分别与。。相切于点N,M,E,

BE=BM,OE1BD,DN=DE.

•••DN=BM=2V2

:.BE=DE,

•••0C是BZ)的垂直平分线，

•••CD=CB、

点。在8。的垂直平分线是上，

・•.C,0,E三点在同一条直线，

：.CE=-BD=24i

2

*0C=2五-\

：.OE=CE-OC=\

•••0O的半径为I.

26.(25-26九年级上•江苏盐城期中)在长方形力8c。中，48=5cm,8c=6cm,点。从点才开始沿边力4

向终点4以lcm/s的速度移动，与此同时，点。从点3开始沿边向终点C以2cm/s的速度移动.如果P、

。分别从力、4同时出发，当点。运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为/秒.

(1)填空：8。=,PB=用，的代数式表示)：

(2)当/为何值时，尸。的长度等于5cm?

(3)是否存在/的值，使得五边形HP。。。的面积等于26cm”若存在，请求出此时/的值；若不存在，请说

明理由.

【答案】⑴2f,5-t

⑵：二2

⑶存在，1=\

【分析】本题考查了•元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出40、PA的长度是解题关键.

(1)根据距离=速度x时间解答即可；

(2)根据PQ的长度等于5cm,利用勾股定理列方程求出1值即可得答案；

(3)根据五边形力的面积加上八8P。的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案.

【详解】(1)解：,•,在长方形加%D中，AB=5cm,AC=6cm,

而4P=r(cm),80=2f(cm),

PS=(5-/)cm.

(2)解：在中，PB2+B(f=P(f,

.,.(ST)?+(2/『=5"

整理，得：/一力=0,

解得30或2.

把，=0舍去，

所以，当1=2时，尸。的长度等于5cm.

(3)解：,:S.V>8°+S五边初pyD=S长方形/8CZ)，

」P4x8O+26=5x6,

2〜

即，(5T)X2/+26=30,

整理，得：f2-5f+4=0,

解得：/=1或4.