高考数学复习二轮讲练：平面向量小题全归类（原卷版）

专题03平面向量小题全归类

【命题规律】

平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以

平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同平面几何、三角函数、解析几何、不等

式等知识相结合，以工具的形式出现.近几年高考主要考查平面向量的坐标运算、模的最值、夹角等问

题，与三角函数、解析几何密切相连,难度为中等.

【核心考点目录】

核心考点一:平面向量基本定理及其应用

核心考点二:平面向量共线的充要条件及其应用

核心考点三:平面向量的数量积

核心考点四:平面向量的模与夹角

核心考点五:等和线问题

核心考点六:极化恒等式

核心考点七:矩形大法

核心考点八:平面向量范围与最值问题

【真题回归】

1.（2022•全国•高考真题）已知向量〃=（3,4）,力=。,0）,。+/〃，若v%c>=<>,则，=（）

A.-6B.C.5D.6

mu「UUJIrs.i

2.（2022•全国•高考真题）在V48c中,点。在边月5上，BD=2DA.记CA=〃i,CD=n,贝U=()

A.3m-2/7B.-2m+3。C.3力+2。D.2/；?+3。

3.（2022・北京・高考真题）在皿8c中,JC=3,BC=4,ZC=90\P为V48C所在平面内的动点，且

V1XILXAJ

PC=l,则PA.PB的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

ULUrULAJIMLAJML1U「I__UU

4.（2022•天津•高考真题）在W8c中,CA=a.CB=b，。是力。中点,CB=2BE，试用表示b£>£>为

，若蒜"L注，则/4C8的最大值为.

【方法技巧与总结】

1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离,转化成平面向量的夹角、模的问

题，总的思路有:

（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行

相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

（2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方

程进行求解.

2、平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：

①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图

形的特征直接进行判断；

②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方

程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

【核心考点】

核心考点一：平面向量基本定理及其应用

【规律方法】

1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数

乘运算.

2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形：（3）

运用法则找关系；（4）化简结果.

【典型例题】

例1.（2022•全国•模拟预测）如图，在V48C中，点。是边/也上一点且2/。，E是边EC的中点，

\BC\

直线和直线CO交于点凡若8"是/力BC的平分线，则身=（）

\BA\

A.4B.3C.2D.y

例2.(2022•全国•模拟预测)如图，在平行四边形力BCO中，点£在线段8。上，且EB=mDECmeR),

ULUULWUJJ

^AC=^AE+/JAD(/,〃eR)且2+2〃=0,则m=()

34

例3.（2022•北京•牛栏山一中高三期中）在平行四边形W8CO中，E是边C。的中点，AE与BD交于■点、

F.若，40=6,则力尸=（）

A.U+Uc2r1[C.%+UD.y+学

B.—a+-b

4444

例4.（2022・广东广州•高三期中）如图，在平行四边形力8c。中，历,N分别为力民力。上的点，且

ILLB4""2"3....

AM=-AB,AN=-AD,连接力C,MN交于。点，若力尸=义力。,则义的值为（）

57cd

LUJ

〜―一VMMUL1U

例5.（2022•安徽省舒城中学模拟预测（文））已知平面向量的,08满足04=08=2,OAOB=-2^

点D满足防=2笏，E为WO8的外心，则法.防的值为（)

81616

A.——c「-D.——

3-T3

LUU1LLUfiun1IUI

例6.（多选题）（2022・湖北•华中师大一附中高三期中）如图，中,BD=±BC,AE=-AC,AD

34

与跖交于点尸，则下列说法正确的是（)

ULlfliUJD

B.BF=-BE

332

ULISULWUL1UI

C♦S：S“FE=1：3D.AF+2BF+CF=0

LUfIiuniun3LUI

例7.（2。22•黑龙江•哈尔浜三中模拟预测）在V48c中，AD=-AB,AE=-AC,BE与DC文于点

34

EijiJy/

若HF=A/1B+〃4C,则4+〃的值为.

例8.（2022・全国•高三专题练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边

上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对直角三角形。。£按.上述操作

UAJIUL1ULL4J

作图后，得如图所示的图形，^AF=xAB+yADf则》一丁=.

[]

H

核心考点二：平面向量共线的充要条件及其应用

【规律方法】

UXIULU1ULU

1、平面向量共线定理：已知04=20B+〃OC,若义+〃=1,则48,C三点共线；反之亦然.

2、两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若向量:=（和乂），［=（々,为），则的充要条件是

xxy2-x2y1=0;（2）若则！=

【典型例题】

例9.（2022・全国•高三阶段练习（理））已知点G是V48C的中线力产的中点，过点G的直线交边力〃于点

ULULXJU1或融;tUJI

D,交边AC于点、E.若4。=〃8（%>0）,/E=〃/C（〃>0）,则义+〃的最小值为（）

A.yB.1C.2D.4

例10.（2022•安徽・合肥一中高三阶段练习）已知向量。=（-6,1）,力=（5,-2）,且0+的则

"】=.

例11.（2022•全国•高三专题练习j已知。=（1,2）,力=（1,1）,且：与上外的夹角为锐角，则实数4的取值

范围为.

LLlfILUUULlfl3

例12.（2022•黑龙江•哈尔滨三中模拟预测）在V4BC中，AD=-ABAE=-ACBE与DC交于点F,

3f4t

若行=%/B+C,则4+〃的值为.

例13.（2022•吉林冻北师大附中模拟预测）在SIBC中，A/,N分别是边48,力。上的点，月.

ULU2"UXffl1CUDLXAILxaiCLUI

AN=-AC,AM=§48,点O是线段MN上异于端点的一点，且满足404+308+40。=0（2工0）,则

2=______

N

M

例14.（2022•辽宁沈阳高二阶段练习）如图，点G为34C的重心，过点G的直线分别交直线AC

点D,E两点，JB=3wjb(w>0)>AC=3/1JE(/z>0)>贝

核心考点三：平面向量的数量积

【规律方法】

1、向量的数量积：设两个非零向量口的夹角为则卧|力卜cos®叫做1与力的数量积，记作

2、数量积的几何意义：数量积=力等于方的长度|2|与，在。的方向上的投影|1|cos6的乘积.

3、设向量。=（',必）,6=（戈2，卜2），则,/）=工丙+）'|乃,由此得到：

⑴若1（"），则|!|2=./+）/或山=小中.

⑵设力（司,必）,5区必），则力，B两点间的距离48=I器|=J（r-.）2+（乃-乂）2

⑶设两个非零向量5,力,且』=（%,必），力=优,为），则！_!_力。中2+必为=0

（4）若都是非零向量，夕是）与力的夹角，则cos。:其=/「丙丁尸，

【典型例题】

例15,（2022•黑龙江,哈尔滨市第六中学校高三期中）已知人B,C,。在同一平面上，其中

1zLUUCUJ、ULUULW

BC=*=6,若点8,C,。均在面积为36星的圆上，贝4。乂Z历I—。/v）=（）

A.36B.-36C.18D.-18

例16.（2022•山东淄博•高三期中）在W8C中，内角4氏。所对的边分别为。力,。，且6=6,c=4,点。为

外心，则器炭=（）

A.-20B.-10C.10D.20

[]

例17.（2022•江苏•南京市天印高级中学高三期中）已知菱形力8C。的边长为2,ZBAD=\20°,G是菱形

4BCD内一点,若送+沆+能力，则泥为=（）

A.vB.1C.-D.2

22

例18.（2022•四川省遂宁市教育局模拟预测（文））在V48c中，AC=3,眈=5,。为线段8C的中点，

AD=-BC,E为线段8C垂直平分线/上任一异于。的点，则24E-C8=（）

A.-B.4C.7D.-6

3

uifiimIuuM

例19.（2022•江苏南通•高三期中）已知V4AC的外接圆的圆心为。，半径为1,AO=-AB+-AC,胡在

2/

1ABU11^10UJUULAJ1

8C上的投影向量为则（）

4

A.—^3B.—1C.1D.

核心考点四：平面向量的模与夹角

【规律方法】

（1）向量的夹角要求向量“共起点”，其范围为[0,4].

r'

（2）求非零向量力力的夹角一般利用公式cos〃=*L=匕先求出夹角的余弦值,然后

求夹角.也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象.

【典型例题】

例20.（2022•湖北•武汉市武钢三中高三阶段练习）设自=2,也卜6,若对VxeR,1十.固之以十则：

与力的夹角等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

例21.（2022•江苏连云港•高三期中）已知向量力，力满足向=6,同=1,且对任意实数x,不等式

1+x峭Z+可恒成立，设）与力的夹角为夕，则tan26=（）

12八1244

A.——B.—C.——D.-

5533

例22.（2022•甘肃•兰州五十一中高三期中（理））已知向量。与，的夹角是费，且卜卜f?+H，则向量：与

4+b的夹角是（）

A.60°B.30°C.150°D.120°

例23.(2022•浙江绍兴•一模)已知向量%满足||=1,2H=",小力=150。，则向=()

A.2B.C.1D.亚

2

例24.（2022•全国•高三专题练习）已知向量/，满足同=1,力|=2,5」=（"闷，则1+2力卜

（）

A.2&B.2石C.V17D.Vl5

例25.（2022•山西•晋城一中教育集团南岭爱物学校高三阶段练习）已知W4C为等边三角形，。为6。的

中点，关％=3，则阕=（）

A.y/2B.GC.2D.4

核心考点五：等和线问题

【规律方法】

等和线

ULULUUUL1ULUUULULUU

平面内一组基底04。4及任一向量OP,OP=M）A+〃OB（L"R）,若点尸在直线45上或者在平行于

川5的直线上，则/+〃=%（定值），反之也成立，我们把直线力8以及与直线43平行的直线称为等和线.

①当等和线恰为直线时，％=1：

②当等和线在。点和直线力。之间M,k€（0,1）；

③当直线48在点。和等和线之间时，丘（l,+oo）；

④当等和线过O点时，A=0；

⑤若两等和线关于O点对称，则定值左互为相反数；

【典型例题】

例26.（2022・全国•高三专题练习）在矩形488中，AB=4,AD=3,M,N分别是力8,ADk

VMLA34_川1c&JLJ

的动点，且满足2/M+〃V=1,设/lC=."M+y/lN,则2x+3y的最小值为（）

A.48B.49C.50D.51

例27.（2022•山东烟台•三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆。，。为圆O上任一点，若

LUUUJUUU

初=》48+）“。，则2》+2了的最大值为（）

[]

例28.（2022•全国•高一期末）在V/8C中，加为8C边上任意一点，N为线段4H上任意一点，若

VUJ1tA及11人4>

A^=AAB+J.IAC（A,〃wR）,则4+〃的取值范围是（）

A.0,1B.C.[0,1]D.[1,2]

例29.（2022•江苏•高二）如图，已知点P在由射线O。、线段。片,线段历i的延长线所围成的平面区

UUUCAJUUUU

域内（包括边界），且。。与平行，^OP=xOB+yOA,当x=-鼻时，歹的取值范围是（）

%]1/八「13]「13

A.[0,1]B.--,1C.D.

乙■乙乙一//

核心考点六：极化恒等式

【规律方法】

极化恒等式

（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

22

\a+b\+\a-bf=2(\af+\b\)

UJMIILUICUJIIICUIII

证明：不妨设4B=a,4D=b,则NC=a+b,DB=a-b

曲2=年=（"『=|a|2+2"+W①

।泓『=泓?=（；」『二42_2；1+w②

①②两式相加得：

|tuf|2|HW|2/.r,2/|Ujn,ULU\

\AC\+\DB\=2W+忖=2卜吊|2+⑷|2

（2）极化恒等式：

上面两式相减，得：-------极化恒等式

①平行四边形模式：：/=4|力。「一|。切［

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线''与“差对角线”平方差

的L

4

②三角形模式；a-b-\AM^--\DD^CW为〃。的中点）

【典型例题】

例30.（2022・山东师范大学附中模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条

弦，点尸为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，蜀•用的取值范围是.

例31.（2022•湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形48CO中，是C。边上长为6的可移动的

线段，AD=4,48=86，BC=12,则虎.非的取值范围为.

例32.（2022・全国•高一）设三角形46C,凡是边力〃上的一定点，满足当8=!4?，且对于边力4上

4

LLUIXU"11tiiJ

任一点P,恒有PBPC2RB工C,则三角形力8C形状为.

例33.（2022・全国•高三专题练习）已知直线八P=x+2。与圆C：（x-。）2+/=/上＞0）相切于点

〃卜1,九），设直线/与x轴的交点为A,点P为圆C上的动点，则芮.粉的最大值为.

核心考点七：矩形大法

[]

【规律方法】

矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等己知点O是矩形ABCD与所在平面内任一

点，证明：OT+OC2=O82+OZ）2.

【典型例题】

例34.（贵州省贵阳市第一中学2022届高三上学期高考适应性月考卷（三）数学（文）试题）已知平

面向量iL1满足口=卜卜；1=2,且（＞2a.0，）=o,贝小一4的最小值为（）

A.B.C.2D.县

2222

例35.（北京市人大附中朝BE学校2021-2022学年度高一下学期期末模拟数学试题（1））设向量1,

力，5满足|E|=|b|=l,ab=^t（a-c）（b-c）=0,则向的最小值是（）

A.避之!•B.避二!•C.石D.1

22

例36.（四川省资阳市2021-2022学年高三第一次诊断考试数学（理）试题）已知。为单位向量，向量

:满足：（。-4（4-5q=（）,则卜+4的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

核心考点八：平面向量范围与最值问题

【规律方法】

平面向量范围与最值问题常用方法：

（1）定义法

第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步：得出结论

（2）坐标法

第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步：将平面向量的运算坐标化

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

（3）基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

（4）几何意义法

第一步：先确定向量所表达的点的轨迹

第二步：根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

【典型例题】

例37,（2022•全国•高三专题练习j已知在V048中，OA=（）B=2,/8=2石，动点尸位于线段力4上，当

茂用取得最小值时，向量为与用的夹角的余弦值为（）

A.一侦B,空dD.叵

7777

例38.（2022・全国•高三阶段练习】已知平面向量。.b.c.*，满足。W=W=I,k+c|=l,若

（21d）（Zd）2；,则卜鼻的取值范围是.

例39.（2022•黑龙江•哈师大附中高三阶段练习）已知等边△ABC的内接于圆O:/+V=i,点〃是圆o

上一点，则"Ctu•（,UPLBU+PUJCJI）.的最大值是.

例40.（2022•四川资阳一模（理））已知平面向量：，力，。满足口=忖=以+耳=2,且|；L2"4=J7,

则，的最大值为.

例41.（2022・湖南•长沙一中高三阶段练习）如图，在直角梯形/出CQ中，AD〃BC,ABLBC,

imiILUII

AD=1,BC=2,P是线段力4上的动点，则\PC+4Pq的最小值为.

【新题速递】

一、单选题

1.（2022・全国•模拟预测）如图，在矩形中，AB=2BC=4,七为边上的任意一点（包含端

VMM

点），O为4C的中点，则O3.QE的取值范围是（）

C.[2,8]D.[4,20]

2.（2022•江苏南京•模拟预测）已知。为坐标原点，抛物线C：/=”过点7（/,0）（/>0）的直线/与。交

于A,8两点，且/4082贝M的取值范围为（）

[]

A.(0,1]B.(0,2]C.口收）D.[2,+00)

3.（2022・河南•高三阶段练习（理））已知平面向量［满足2=（1,石），卜-2力|=，T,则A在

b上的投影为（）

A.6D.5/6

4.（2022•广西贵港・高三阶段练习（理））已知忻周=10,点尸满足归周一|尸用=6,动点M,H满足

|MV|=2,则PB.aV的最小值是（

5.（2022・贵州•高三阶段练习（理））如图是来自占希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个

半圆构成，三个半圆的直径分别为直角V48C的斜边直角边BC,AC.若4c=2石，AC=2tE

为半圆。弧的中点，b为半圆Q弧上的任一点，则虎.茄的最大值为（）

BOA

A.273B.6+6C.276D.4

6.（2022・全国•高三阶段练习（理））如图所示，已知圆。的半径为5,OA=3,圆。上有一点8满足

力8_LO4,点C为圆O上任意一点，则注.冷的取值范围是（）

A.[-4,36]B.[-4,16；C.[-8,36]D.[-10,16]

7.（2022•山西吕梁•高三阶段练习）如图，在V46C中，O为线段6c上一点，且60=20（7,G为线段月O

的中点,过点G的直线分别交直线彳6,AC于D,E两点,AB=mAD（m>0）,AC=nAE（n>0）,则

19

-+一「的最小值为（）

mm+4〃

A

8.（2022・重庆八中高三阶段练习）如图所示，平行四边形48Q）的对角线相交于点。,24E二£。，若

（儿人||UUU

DE=Z4B+〃AD（入”R）,则〃等于（）

38

二、多选题

9.（2022•全国•模拟预测）已知平面向量0=（1/），:（-3,4）,则下列说法正确的是（）

A.cos（«,I\=—B.力在:方向上的投影向量为农:

C.与％垂直的单位向量的坐标为（小■!）D.若向量2+必与向量:―分共线.则2=0

1（）.（2022•福建•泉州五中高三期中）已知扇形〃阳的半径为I,408=120。，点。在弧力8上运动,

OC'=xQ4+yCM,下列说法正确的有（）

A.当c位于4点时，x+y的值最小B.当。位于3点时，工+y的值最大

UMUMLAJ___ItXML4JU___J3

C.0/5的取值范围为-5,0D.力的取值范围-弓,不

11.（2022・福建三明•高三期中）已知向量5=（后,1）,力=（cose,sine）（0<e<7t）,则下列命题正确的是

（）

A.1］的最大值为G

B.存在<9,使得林+力卜|「|+帆

C.若£_£8,贝1Jtan6=近

D.若力在方上的投影向量为-正鼠则向量2与，的夹角为今

63

[]

cun1inniw1mi

12.（2022・湖北•华中师大一附中高三期中）如图,V4BC中,BD=-BCfAE=-ACf力。与交于点

尸，则下列说法正确的是（）