高考数学数列不等式（典型题型训练）

救利茶与式，舞呗做型做妻制保，

目录

一、典型题型

题型一:数列不等式恒成立

题型二:数列不等式能成立（有解）问题

二、专题数列不等式专项训练

一、典型题型

题型一:数列不等式恒成立

题目1（23-24高二下•河南俞阳•期中）记数列｛an｝的前九项和为反,已知。尸一1,且斯+什（一l-a„=

8-2n.

⑴令勾=。2〃，求数列｛41｝的通项公式；

（2）若对于任意的九eM,2n+1-4-6n+1+S30恒成立，求实数4的取值范围.

1

题目|2：(2024•广东本关•二*)记R上的可导函数/(c)的导函数为『(c)，满足与+产的

一乎1⑺^力)的数歹ij｛xn｝称为函数/(切的“牛顿数列”.已知数列｛叫｝为函数/(4)=/一%的牛顿数

fM

列，且数列｛册｝满足5=2,0n=ln—1.

(1)求的；

(2)证明数列｛a,.｝是等比数列并求册；

(3)设数列｛/J的前〃项和为S”，若不等式(一1产45,-14W5；对任意的〃eN•恒成立,求L的取值范围.

题目叵(23-24高二下•贵州黄阳•期中)已知数列｛编满足：Q〃+尸聂，+(47'"，且Q产一率设M的

前九项和为北，也尸3n-a„.

⑴证明：｛0｝是等差数列；

⑵求空;

(3)若不等式£+六《必”对九€N•恒成立,求实数t的取值范围.

4

题目£（23-24高二下•吉株长春•阶段练习）设正项数列｛4｝的前九项之和bn=a^a2+…+册,数列

｛bn｝的前71项之积4=6也••也，且bn+C„=1.

⑴求证：｛十｝为等差数列，并分别求｛4｝、也｝的通项公式；

⑵设数列｛斯也.｝的前71项和为&，不等式Sn>4+4—早对任意正整数九恒成立，求正实数4的取值

Ab

范围.

题目旦（2024•湖南•二已知｛5｝是各项都为正数的等比数歹U，数列｛&｝满足：b0=21og20n+1,且b尸

1,bi=7.

⑴求数列｛4｝,他｝的通项公式；

（2）若对任意的"CN.都有6,-2，求实数4的取值范围.

题目6J(23-24高二上•山东出台•期末)设数歹U｛Q,J,｛bn｝的前九项和分别为S„,1,at=-2,d=1,且

4Sn+尸3sL8"团=枭z-一—(n6N).

Ja“+i

(1)求｛册｝的通项公式，并证明：｛住广％｝是等差数列;

⑵若不等式(6n/i-54)(-1)n-(n+3)(7；-9)40对任意的正N•恒成立，求实数1的取值范围.

题型二:数列不等式能成立(有解)问题

题目11(2024•云南•一模)已知｛%｝为等比数列，记S“、£,分别为数列｛0“｝、｛品｝的前几项和，55=62,

Sio=2016,2£=nbn+n,h2=3.

⑴求@｝、｛&｝的通项公式；

(2)是否存在整数c,使员+匹+…+且V。对任意正整数也都成立？若存在，求。的最小值;若不存在,

Ng4

清说明理由.

题目|（23-24高二上•江苏拉城•期末）已知正项数列｛4｝的前九项和为S”，H.2屈:=%+1；数列也｝

是单调递增的等比数歹U，公比为q,且5，儿的等差中项为10；8的等比中项为8.

⑴求｛4｝,｛4｝的通项公式；

佃”,九为奇数

⑵设片仔，几为偶数T„为数歹ij｛d｝的前几项和，若存在nGN,使得*2招+n>电成立，求实数4

的最大值.

题目3（2024•云南曲靖•一模）己知数列｛册｝的前n项和为S”,且5产2%-九.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵若数列｛>｝满足>=乌旦,其前九项和为求使得£>需成立的九的最小值.

0n0n+i2024

题目(23-24高三上•山东•阶段练习)已知正项数列｛%｝的前九项和为S”，2屈;=%+1；数列｛”,｝是

递增的等比数列，公比为q,且打仇的等差中项为10,山，儿的等比中项为8.

⑴求｛“｛0｝的通项公式;

为奇数

⑵设片住，几为偶数

Tn为｛crJ的前九项和，若外“+2九2_n+3＞也能成立，求实数4的最大值.

题目(23-24高三上•河北张家口•阶盘练习)已知正项数列｛4｝的前九项和为Sn，且册

H-l(nGN').数列｛0｝的前几项和为0,数列｛品｝的前几项和为4,数列第=2九M一Q“meN)q

+,1、=L(nGN*).

n(n+1)%

(1)求数列｛4｝的通项公式及或；

(2)若对任意九WN♦，存在的6[-1,1]使得2x0-7n成立，求实数m的取值范围.

二、专题数列不等式专项训练

题目|T（23-24高二下•辽宁大连•阶段练习）设数列｛氏）的前几项和为S”，已知Q1=5,Q2=25,SW

+5S,i=6S”S>2）,北是数列｛21o助%—1｝的前几项和.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）求满足（1—亲）（1一*）（1一*卜一（1—祟）（1—六）》黑的最大正整数九的值.

题目叵（2024•四川南充•二*）在数列｛%｝中，S,是其前n项和，且3s64.

（1）求数列｛QJ的通项公式；

（2）若WnCN+"-1VS,V4；+4恒成立,求A的取值范围.

题目f（2024•全国•模拟fl测）已知数列｛时｝的前71项和为S”,同。2=3,2&=71（册+2）.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若存在nWN*,使得二一+二一+…+」一>初,出成立,求实数3的取值范围.

Q2a3

题目叵（23-24高二下•云南玉溪•阶段练习）已知S”是等差数列｛%｝的前几项和，且电=3,&=25.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

12）若对任意n6N]n>鼻+与H---1"二,求m的最小整数值.

3J

题目;V(2024寄三•全国•寿题练习)已知数列｛%｝的前几项和为S”，且关于a的方程n/+2屈〉+九+

1=0,nGN,有两个相等的实数根.

⑴求｛oj的通项公式；

1：2)若b“=(0n+1)•2%,数列｛公｝的前几项和为北,且对任意的。GNa恒成立，求实数4的最大值.

题目16：(2024•天津虹桥•一松已知S”为数列｛&J的前n项和，且满足S〃=2a“+r,其中「E七旦0.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

q2n—12n

⑵设b“=(—1)"】①，若对任意的TICN'，都有＞＞小小＜»"求实数巾的取值范围.

ri=li=l

Me

题目］7；(23-24高二下•湖南长沙•升学才和已知｛4｝为等差数列，也)为等比数列，a.=b产1,a5=

5(a4-a3)，h=4(64-63).

⑴求｛%｝和｛6J的通项公式；

(2)求数列［」一J的前n项和£；

IQirJQ〃+2J

(3)记d=3n-2•(一1)”她口GR),对任意的"WN+,恒有&+>4,求X的取值范围.

题目叵(23-24方三下•湖南南潭•阶段练习)设各项都不为。的数列｛an］的前。项积为北，黑=2咤”

%，Q［=2.

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)保持数列｛4｝中的各项顺序不变，在每两项应与为+1之间贵入一项2(念+「4)(其中k=1,2,3,…)，组

成新的数列记数列｛&｝的前几项和为S”,若SQ>2023,求打的最小值.

10

题目9（2014-全国•竟春）对于给定的mmWN*,若定义G=…"丫"+1）.已

知数列｛册｝满足。产1,当九＞2时，C：S“（7—7+2）&_（/_1）耳一，其中Sn为数列｛%｝的前九

项和.

⑴求｛4｝的通项公式；

（2）计算数列｛册｝的前。项和S”,是否存在kCN♦，使得任意也＞上都有S”＞2014?若存在，求出k的最小

道；若不存在，请说明理由.

题目讪（23-24高三下•重庆•阶段练习）已知正项数列｛%｝的前八项和为S,，且满足内=1,2&=%

册+「数列｛0｝为正项等比数列，b.产.」且瓯3乩,%依次成等差数列.

⑴求｛M｝飙｝的通项公式：

（2）设。=3，｛0｝的前几项和为北，问是否存在正整数k使得普＜北＜然1（九＞4）成立,若存在，求

a“b”2424

出k的值;若不存在,请说明理由.

11

救利茶与式，舞唤题型忸奏制株，

目录

一、典型题型

题型一:数列不等式恒成立

题型二:数列不等式能成立（有解）问题

二、专题数列不等式专项训练

一、典型题型

题型一:数列不等式恒成立

题目1（23-24高二下•河南俞阳•期中）记数列｛Q,J的前九项和为&,已知。尸一1,且Q〃+I+（—1-

8-2n.

⑴令勾=。2〃，求数列｛bj的通项公式；

（2）若对于任意的九eM,2n+1-^-6n+l+S30恒成立,求实数4的取值范围.

【答案】⑴晨=9-4n

（2）［f,+oo）.

【分析】（1）分类讨论九是奇数和偶数，利用递推公式计算即可；

•»

⑵先利用等差数列求和公式分组求和，再分离参数，令c,产生,判定其单调性，计算即可.

【详解】（1）令九=2A:—1,则。2人一。24-1=10—驮①，

令n=2k,则知+1+%=8-4k②，

②一①，得。2&+1+。2人-尸一2,

又因为。1=一1，所以可得a-2A-i=-1,

代入①式，得a-2tc=9—4k,所以b„=9—4n.

(2)S2n+i=S#+S偈，其中S#=(-1)•(?i+1)=一(九+1)，

5邵=8+62+,,-4~b=5nH------——x(—4)—7n—2",所以$2n+1=—2/+6九—1.

n4

,,+1

由2-1一6n+1+S2n+1>0,可得耳恒成立.

(72+if2_一九2+2-+1

设备=3•，则c-c,=n

n+12n+12n

1

当1—V2VnV1+V2,即九二1,2时，cn+|—c„>O,CnVcn+i,

当n>1+方，即九>3时，c1l+i-c„<0,cn>cM+i,

所以C1<02VC3>C4>C5>--,故（Cn）max=。3=9所以心言,

oo

部实数）的取值范围为佟,+8）.

LO7

题目F（2024•广东事关•二榭记R上的可导函数/Q）的导函数为f（。），满足与+产为

一千々SEN'）的数列｛4｝称为函数〃⑼的“牛顿数列”.已知数列｛综｝为函数/Q）的牛顿数

/（稣）

列，且数列｛an｝满足％=2,0n=ln｛r，稣,1.

⑴求的：

⑵证明数列M是等比数列并求Q”；

⑶设数列｛4｝的前几项和为&,若不等式（T）7S”T4WS；对任意的nWN.恒成立,求七的取值范围.

【答案】⑴4

（2）证明见解析,%=2"

⑶-94七音

【分析】（1）求出导函数，化简数列递推式，根据对数运算及递推式求解即可；

⑵对递推式变形结合对数运算求得况=2,利用等比数列定义即可证明，代入等比数列通项公式求解通

项公式；

⑶先利用等比数列求和公式求和，再把恒成立问题转化为（-D7&&+普对任意的nENT恒成立，令

g（c）=c+迫，cW（0,+8）,利用导数研究函数的单调性，然后根据单调性求解函数最值，根据71的奇偶性

X

分别求解范围即可.

【详解】（1）因为/Q）=/2—],则了（1）=2i-i,从而有0+1=入一=彩一①”；=J"1,

/（xn）2x,-l2xn-l

力处=2,a“=In—七-，则2=1嗝

4一1

则窗_=已解得I尸法则有1产*,所以的=也a=2皿隹[=4;

2a；i—1

⑵由叫尸白网令_d_（为）2

式_1一犹_2%+]—14T）

1

2xn-l

所以*=仔=M表）=三表=2"＞】）,

故马色=2（非零常数），且缶=2W0,所以数列｛4｝是以2为首项，2为公比的等比数列,

Q*n

圻以册=2X2”T=2"；•M

n+1

(3)由等比数列的前几项和公式得：Sn==2-2,

因为不等式(-1)y&-14W文对任意的71€2恒成立，又5,>0且5”单调递增，

所以(-1产t<S“+4对任意的九CN•恒成立，令g(x)=x+—,xe(0,+8),

2、4

则g'(c)=1—4=3~~H，当虞E(0,47)时，g'(c)<0,g(x)是减函数，

xx

当2G(V14,4-00)时，g(x)>0,g(x)是增函数，

又2=/V714V$2=6,且g(2)=9,g(6)=空,g(6)Vg(2),则g(x)min=g(6)=冬,

J<5

当也为偶数时，原式化简为卷，所以当九=2时，当；

3nJ

当n为奇数时，原式化简为一所以当九=1时，一£49,所以£二一9;

综上可知，-9《右<

O

题目T；(23-24高二下•贵州青国•期中)己知数列｛4｝满足：明产福什(4户，且。产一日.设｛an｝的

JJ<5

前几项和为北，0=3叫.〃.

⑴证明：｛鼠｝是等差数列；

⑵求或;

(3)若不等式£十卷4％对MN”恒成立,求实数t的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

⑵片一卜管T)•(万

⑶一界£<3

【分析】(1)根据等差数列的定义证明

⑵由已知得a,=*=(/)”•3-3),再通过错位相减法求解出看;

(3)不等式化简为t(n-3)>土含，把问题转化为t(n-3)>~~~对n€N"恒成立，然后分别求出当

44

14九<3、九=3和九>3时，£满足的条件即可

nn+,

【详解】(1)因为bn=3-Q“，所以bn+1=3-4+1,

n+ln

bn+in=:尸"4+1-3~a,=3[-1-aR4-(-1-)q-3・%=1,

且61=一2,所以鼠是以一2为首项，且公差为1的等差数列，即br=n-3.

⑵由⑴知，bn=n-3,所以a„=争=(-1-),(n—3).

n

则Tn=(-2)•(y)'+(-l)*(y)-+0•(y)+--•+(n-4)•(y)'+(n-3)•信);

于是七£=(一2)•(打+(-1)•(y)3+0-(j)4+--+(n-4)-(y)n+(n-3)•信)同,•M

两式和减得,北=一.+(打+(打+(打+…+(打一⑺-3)・([■)““

•j«5«5JJJJ

2,4口―G)]/(1\n+11(n1\/1\w

=一可+—口------(九—3)・(3),

因此人-卜母-奸（广

⑶由《tj，得-修-卜）・t（n-3）-（y）n,

依题意,i（n-3）>国二卢对nGN*恒成立，

4

11

当14OV3时，一下3Vx----1-->、-—1,则t1<--;

4(n—3)-3,2n—388

当72=3时，不等式恒成立;

3-2n

当n>3时，£>Sx」一—

4(n-3)4n-324n-32

则£>一［,于是一

2Zo

综上，实数,的取值范围是一

2o

题目［（23-24高二下•吉林长春•阶盘练习）设正项数列｛4｝的前n项之和鼠=火+的+…+M，数列

｛bn｝的前几项之积Cn=岫2…b,.,且bn+Cn=1.

（1）求证：｛十｝为等差数列，并分别求｛4｝UM的通项公式：

（2）设数列｛4•bn+l］的前71项和为Sn，不等式Sn>/+4-普对任意正整数。恒成立，求正实数4的取值

范围.

【答案】（1）证明见解析，%=J=,b=一驾

n（n+I）nn+1

（2）-i-<^<2

【分析】（1）利用已知关系可得公=▲,代入6w+c,=1,化简可证为等差数列，从而求律｛4｝,也）

金-1IGiJ

的通项公式：

⑵由⑴得%b“+i=」、，利用裂项相消可得S萨4-4（一T+一K）,利用数列的单调性求出

S”>Si=:，解不等式即可求出正实数久的取值范围.

【详解】（1）由题意知：当九,2时，，产,代入6n+c„=1得+cn=1,

Cn-1C,L]

所以」-----L=i.

cTICn-1

bi=C\产k1

由,,.1,付d=Ci=丁,

(o,4-Ci=12•M

所以｛1｝是以2为首项，1为公差的等差数列,

所以」-=0+1,C„=]71

n+1n+1

Cn

_"一]

当九>2时，％=b-b-=n1

nnxn+1nn(n+1)

当71=1时，Qi=bi=］也符合上式，所以%=—"---

2n(n+1)

⑵由⑴得——•篙!西,

所■以S=1_______1_______1___I----------1-----------1-------J-----

1x32x43x5(n—1)(n+1)n(n4-2)

,1/.111111111\

2、32435n-1n+ln九+2,

-31/11\

42^n+ln+2^

显然｛&｝单调递增，所以a>S产g.

由题意得即!+*<■!，

Abo/t2

又A>0,所以1的取值范围为］V1V2.

尸

题目叵(2024•湖南•二«)己如｛an｝是各项都为正数的等比数列，数列｛&｝满足：b=210g20n+1,且b

1,b4=7.

⑴求数列｛4｝,｛“)的通项公式；

(2)若对任意的neN*都有24%>br-2，求实数4的取值范围.

【答案】(1)0n=2时\幻=2n-l

o

【分析】(1)利用题设条件求得Qi,外,再利用等比数列的通项公式求得%，进而求得bn;

(2)将问题转化为4>空心•恒成立，再利用作差法求得/(力=2f的最大值，从而得解.

【详解】⑴因为bn=21og2a„+l,6i=1,d=7,

所以6=1=210g2〃+1，则。i=1,

&=7=210g2a4+1,则Q尸8,

因为｛%｝是各项都为正数的等比数列，所以不=旦=8,即q=2,

n

所以%=2t,则bn=21og>a,l+l=2(n—1)4-1=2n—1.

2n3

(2)因为2Aan>6,-2恒成立，所以112=-恒成立，

设/S)=CN・),则/(n+l)-f(n)=,

当nV2时,f(n+1)-/(n)>。，则/(3)>/(2)>/(1):•M

当n>3时，/伍+1)-f(n)<0,则/(3)>/(4)>/(5)>-：

所以加)max=/⑶=1•，则心等.

OO

题目6(23-24高二上•山东如合•期末)设数列｛即｝,也)的前几项和分别为S”，7,a,=-2,山=1,月.

4Sn+尸3Sn-8,人产枭,一一—(nGN*).

Ja”+i

(1)求｛%｝的通项公式，并证明：｛(弓)”70｝是等差数列；

(2)若不等式(6加一54代丫一标+3)(7；-9)《。对任意的MN'恒成立，求实数4的取值范围.

【答案】⑴%=—2x信广：证明见解析；

(2)(-oo,3].

【分析】⑴根据给定条件，结合火尸Sm—Sid>2)求出｛4｝的通项，再利用等差数列的定义推理即得.

=

12)利用错位相减法求和得，Tn(3n—+9，由给定不等式得，与十一=2G—，再求出~~+

\J/2n2Zn2

三的最小值即可.

2n

【详解】(1)数列｛%｝中，4Sn+产3Sn-8,当九二2时，4Sn=3s,1—8,两式相减得，M+产

义4s2=3sL8,即4(%+g)=3aL8,而四=一2，解得一一,,则a2=,

/TT

所以数列｛%｝为等比数列，%=—2x4尸

由八=部「土，瓦=1,得bn+l=y&n+TJ-=信"同一用"％=1，

因此数列｛(等)"%｝是以(a)%=1为首项、1为公差的等差数列.

n-1

(2)由⑴得，1+(n-1)x1=n，即hn=n(y),

则Tn=1*信丫+2x借丫+3x(j)2+-+nx信广，

于是翱=1x传丫+2x传丫+3x(裁+…+(n-l)x停尸也x即

两式相减得,，北=(y)°+(f)'+(f)+(y)+-+(fF-n(f)"=3[(7)"-1]

因此£=(3n-9)停)"+9,

J

于是[4畔2=2+g，而与+瞿->2、博二^=3,当且仅当n=3时等号成立，则/43,

2n2In22nv22n

所以实数7的取值范围为(一8,3].

【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可.

6

题型二:数列不等式能成立(有解)问题

题目7(2024•云南•一模)已知｛册｝为等比数列，记S”、北分别为数列｛册｝、｛&｝的前几项和，$5=62,

3]0=2046,2空=ndr,+n,62=3.

⑴求｛4｝、｛&｝的通项公式；

(2)是否存在整数c,使与+匹+…+&Vc对任意正整数也都成立？若存在，求c的最小值;若不存在,

Q]Q*n

清说明理由.

【答案】⑴源=2",鼠=2n-l;

⑵存在，c的最小值为3

【分析】

Qn

⑴利用等比数列求和公式得首项和公比的方程组，得“=2,利用数列的和与通项的关系得(n-l)5n+1=

曲一],结合n/)n+2=(n+l)6n+1-l得｛bn｝是等差数列即可求解；

⑵错位相减法求和得G产生■+0•+…+刍■，再利用数列性质求最值即可求解.

【详解】⑴设等比数列｛册｝的公比为q,根据已知得q力1,且

传=^1=62

Ql=2,

解方程组得

<7=2.

1-q=2046

｛%｝的通项公式为册=001=2乂2"7=21

,/2Tl=nbn+n,

・•.27]=2b产6+1,解得仇=1,

且2北+1=(九+l)bn+i+九+1.

2£+i—24=(n+l)&n+14-n4-1—nbn—n,

即2b,计1=(n+l)^n+i+n+1—nbn—n.

:.(n一l)i>n+i=ribn-x且nbn+2=(n+l)bn+l-lt

则ndn+2-(n-l)6n+i=(n+l)b,l+l-nbn,

整理得bn+2+bn=26n+1,故{bJ是以1为首项，2为公差的等差数列,

故b,=1+2(n-1)=2n—1.

{bj的通项公式为b“=2n—1.

⑵设Q=®+匹+..•+2二-+亲+…+•工

2

5a2an222

则^-C=—+—H----卜2九一1

22?十2?十十2n+1

•c---C=-C=—+—+—+•••+--2n-1

・•〜252s2十2二十2：'十十2n2n+l

十x(l一

=4+2x2n~,2n-l

rpl+1

1—,24

._o_21+3

…n-2n・

•••C=3-2"+3V3恒成立，且。尸3一整>2,

216

.•.存在整数c,使自■+2+…+&Vc对任意正整数n都成立，且。的最小值为3.

Q]Q>2Gn

题目乜,（23-24高二上•江苏贵城•期木）已知正项数列｛厮｝的前几项和为S”,且2屈；=%+1；数列他｝

是单调递增的等比数歹U,公比为q,且R的等差中项为10；%,8的等比中项为8.

⑴求｛4｝,｛&｝的通项公式;

（%,九为奇数

⑵设/，几为偶数T,.为数歹IJ&｝的前几项和，若存在nEN*使得TJ,-2n2+n>M〃成立,求实数4

的最大值.

【答案】（l）o»=2n—1.6„=2"

【分析】（1）利用为与Sn的关系可得册，利用等比数列性质及等差中项、等比中项性质可得限;

⑵分组求和可得“可将原不等式转化为4&X版一三）,计算即可得.

【详解】⑴由2疯=4+1可得4s尸（%+1）2,

当71》2时，4Sn.i=（4-1+1）2,两式相减得4a,=。，一册_；+2（为一0nT）,

届—oiLi=2（a„4-a„-l）,

即（4+0n_。（%—即—1）=2（%+册_1）.•:0n>0,

%—*1=2（n>2）,

即可得｛4｝是等差数列.

有2/^=。1+1,得2ar=Qi+i,，。产1,

即a„=l+（n—l）x2=2n—1.

由题意得即毒叫廿，解得忆:或忆；6

[bibr=64｛o2bi=64[bi=161瓦=4

,••｛>｝是递增的等比数列，

北=1所以型U•，得d

[b4=16[bq=16（7=2

&=2x2n-,=2n,

即a,=2n—l,b,=2n：

⑵由⑴得：6n=（。1+的+…+。2“一1）+（庆+仇+…

若存在iiCN使得7^—2疗+TI>/Ibn成立,•M

等价于存在几WN”使得/Iq佳一点)能成立,

设

■侏一我)，则当一八=4侏一%)/(■煮■一吉)7(%-3)V。

｛4｝是递减数列，故dn的最大值为d产4-,

O

因此义的最大值为!.

O

题目叵(2024♦云南•靖・一模)已知数列｛厮｝的前〃项和为&，且4=2为一0

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵若数列也｝满足幻=止-,其前八项和为北，求使得北>需■成立的"的最小值.

0n0n+12024

【答案】⑴。“=炉一1;

(2)10.

【分析】

⑴根据0n，&关系及递推式可得。“+1=2(4.1+1),结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果；

(2)应用裂项相消法求二，由不等式能成立及指数函数性质求得打>10,即可得结果.

【详解】(1)当九)2时，On=Sn-Sn-i=(2a„—n)—(2%_[—n+1)=2(%—册—)—1,

所以a„=2%_廿1,则an4-1=2(%-i+l),而。尸S尸2ai-1=>a)=1,

所以的+1=2,故｛a“+l｝是首项、公比都为2的等比数列，

所以a„+l=2"na,=2"—1.

⑵由b=4+1=丁=1]

nag+1(2n-l)(2M+,-l)2n-l2n+1-l*

所以空="»尹/齐看+…+£?一三二T="3二T

要使或=1一士〉第，印士V册=2"”>2。25.

由210<2025V2”且九GAT,则九+1>lln九>10.

所以使得北常成立的n的最小值为10.

题目区〕(23-24方三上•山东•阶筮练习)已知正项数列｛4｝的前几项和为S”，2反=4+1；数列｛>｝是

递增的等比数歹U，公比为°,且"仇的等差中项为10,，，8的等比中项为8.

⑴求｛4｝，｛&｝的通项公式；

—0n,71为奇数

(2)设C,产(a九为偶数，北为｛cn｝的前几项和，若容+2/-九+3>北.能成立，求实数4的最大值.

n

【答案】(1)%=2n-l,6n=2

⑵M

o

【分析】(1)利用S”,册的关系式即可求得｛4｝是等差数列，可得0=2九一1；再利用等比数列定义即可求得

n•M

n

6=2,q=2,可得bn=2:

(2)采用分组求和并利用等差、等比数列前几项和公式即可求得nL—Z/+n+l—]；,不等式能成立等价

于14x(])”一佶门，利用单调性可求得久《孚

【详解】⑴由2国=%+1可得4S=4+1)2,

当？122时，4sti一产(册_[+1)2,两式相减得4an=a，一%一;+2(%—a,1),

\-点-i=2(an+an_1),

即(4+*)(0n-*)=2(4+%-1)-VOn>0,

:.即一。吁|=2(九>2),

即可得｛册｝是等差数列.

由2yfS1=。]+1,得2而\=。1+1,ax=1,

即an=1+(n-1)x2=2n—1.

力题意得｛图42即｛b>=4\b2=16

Fb2bB产I64：。，解得6=16玖1坂=4，

,・•｛&”｝是递增的等比数列,

::工所以卷网鸳，

bn=2x2”T=2”.

所以｛%｝和｛bn｝的通项公式为%=2n—1,bn=2".

(2)由(1)得：

/n=-31+。3+%+…+Q=T)+(8+&+&+,,•+8”)=—(1+5+94---F4n—3)+3

"+『)"+=一2疗+九4-1-^-.

2I——4"

石”+2九2—九十32Ab„能成JZ■，等价于4——>Ax2"能,成二,

nn

化简得，<4X(打-(，能成立,即，<口x(7)-(7)]inax-

设d“=4x("1")"-信)二则

aM=4x售户-住户-4X(打+(豺=-2x(1)»4x(i)=(|)Ux(1M<0.

.•.｛4｝是递减数列，故d„的最大值为4=与.

力/，

因此1的最大值为学.

O

题目(23-24高三上•河北张家口•阶盘练习)己知正项数列｛调的前沱项和为Sn，且4=^^

10

4-l(neN*).数列｛bn｝的前九项和为%，数列｛aj的前？i项和为Au，数列bn=2na,-a„(nGN*),c„

d———」-,(flCN*).

n(n+1)&

⑴求数列｛4｝的通项公式及久；

⑵若对任意九€N*，存在的€［—1,1］使得4m210-m•成立，求实数771的取值范围.

【答案】⑴诙=2n,716N*;z=6+(2九一3)•2n+,:

⑵(-8,制

【分析】⑴利用S,“a”的关系式可求得数列｛%｝的通项公式为4=2”,mW由错位相减法求和即可得力

=6+(2n-3)-2n+1;

⑵易知4=」；一」-,由数列的函数特性可知40力尸4一工=昙,根据题意只需满足2—m》

n+12〃51()8()

器即可求得标端♦

【详解】(1)由4=0s“+1(九WV),可得Sn=20n—2(九6M),

当7i=1时，a,=51=2。］—2,得。］=2;

当n>2时，%=Sn-Sn-i=20n-2-2an_i+2,即a,=2%_i,

可得｛%｝是以。产2为首项，2为公比的等比数列，所以4=2nmGN";

当7i=l时，。1=2符合%=2",

n4

所以数列｛册｝的通项公式为a,x=2,ne7V；

bn=2nan—an=(2n—1)0,,=(2n—1)•2”,

叫数列｛廉｝的前ri项和为北=1•2+3•224-5•23+…+(2九-1)•2\

2工=1•2»+3•23+5•2'十…十(2口一I)•2”“，

相减可得：

4(]_2TlT)

一二=2+2(22+23+…+2”)-(2n-l)-2n+1=2+2-―一(2n-1)•2n+1

1—2

=-6+2,l+2-(2n-l)-2n+1

所以M=6+(2n-3)・2n+i;

⑵由金+/L=—»(nGM)得q=!一(工一一，

n(n+1)«nTvnn+17

可得

x_M,1,,1、八1.11..11\_i(1-r)(、111

4一(万+了+”叶懑)_(1一5+5一5+."+三一二)一^71-一-

12

由Ci=0,c2>0,c3>0,c4>0,

当九二5时，2〃>九S+l),即有G〈0,可得4&力尸!-!=羔，

oiboU

又cW[—1,1]时，y=2x-m的最大值为2—m,

对任意n€N",存在a\jG[—1,1],使得AW2a^—m成立,•M

即2一小>悬即可，解得mW

所以实数m，的取值范围为

二、专题数列不等式专项训练

题目T(23-24高二下•辽宁大圣•阶虞练习)设数列｛4｝的前几项和为S”，己知%=5,g=25,%十】

+5S,1=6S,，S>2),方是数列｛21og，&-1｝的前八项和.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵求满足(1一爰)(1一/)(1一专)…(1一击)(1一直)》端|■的最大正整数九的值•

【答案】(1)%=5"

(2)95

【分析】(1)利用$“一5一=为得到数列｛Q.｝是等比数列，根据等比数列的通项公式求解•；

(2)先求出屋,进而可得刀,求出1—J—代入不等式左边整理化简，然后解不等式即可.

4+1

【详解】⑴因为S“+1+5sz=6SXn>2),

所以Sn+i—Sn=5S„-5S„-i,即时+尸5%,又a2=25=5。节0,

所以数列｛4｝是以5为首项，5为公比的等比数列，

所以a,=5n:

(2)由⑴得210gs%T=21og55n—1=2n-l,

(l+2n-l)n

所以北=

1x3、，2x4、，3x5、，、，(n-l)(n+l)_n(n+2)_n+2

——--x---X—--X…X-----------------X---------——----------,

2~3-4~n~(n+1)2(n+1)

所以忒希'勰'又"EN.，解得n&95,

所以正整数九的最大值为95.

题目2：(2024•四川南充•二*)在数列｛%｝中，&是其前几项和，且3&—即=64.

⑴求数列｛QJ的通项公式；

⑵若w丁e