分类思想在中学数学中的应用

引言分类讨论思想在中学数学的教育中适用,是目前教学模式的重要组成部分之一,同时也是提高学习效率的方法。在实际教学过程中不难发现,许多学生会套用的案例进行解答题目,并没有真正理解题目的本身,没有自己的见解分析,当题目稍微发生变动或者添加内容时,这种学习模式就会被淘汰,长期以往,不利于学生思维的拓展的同时不利于培养学生学习的良好心态。在教学中融汇分类思想,不仅可以提高学生在知识面的分析与解题能力,还有可以高学生学习数学的兴趣。因此,分类讨论思想可以有效地提高学生思维的灵活性，还可以提高解题思路的能力,在中学数学解题应用中具有重要的作用。什么是分类思想分类思想,既是一种重要的解答逻辑方法,又是一种重要的思想模式,具备不重复、不遗漏、分层次的特点。分类思想在中学数学中的应用,可以使复杂的问题简单化。通过数学分类思想对学生进行思想观念上的数学教育,既可以促进学生研究问题,又可以提高探索规律的能力。在分类思想下,会做出一系列的具体实践,即分类讨论。当所解决的问题不能进行统一研究时,就需要对所研究的对象按某个标准进行分类,然后再对每一类进行研究剖析。进而得出每一类的结论,最后综合全部进行排除分析后获得正确的答案。简而言之,就是明确问题,确定分类标准,进行明确分类,逐类分类,获取阶段性成果,归纳总结。每一个步骤都条理清晰。分类思想应用于中学数学既符合新的课程标准,也是进行数学教育思维化的一个切入点。第二章中学数学分类思想的必要性提高教学质量,分类讨论思想既是中学数学教育的发展趋势,又贯穿于整个中学数学的全部内容中。对于中学的数学教学模式已经不能再仅仅局限于初级数学教学模式当中,随着学生的年龄增长各学习阶段的认识水平以及知识特点的都发生变化,教育模式也要发生改变,契合学生的发展,甚至推动学生的成长。而数学分类思想在中学数学的教育过程中是有利于推动学生思维成长的,是时间以及时间的优良产物,是值得在中学数学教学中广泛应用。从另一个层面而言,数学是学生成长过程中的必修课。中学是学生思维开发的一个重要的阶段之一。数学分类思想有利于学生减轻学业负担,提高学习效率。在一定程度上激发学生对数学学习的热忱,同时对锻炼学生思维具备重要的引导作用,培养学生的思维能力,养成良好的数学思维思考习惯,在一定程度上提高其解决问题的能力。第三章中学数学分类思想的应用数学分类思想,既是一种重要的数学逻辑模式,又是一种重要的数学思想。数学思想是人们在社会生活的长期实践中,通过不断累积筛选经验,从现实世界中获得数量关系、空间结构等科学成果,是人类思维活动的结晶。数学思想在历史中不断进行演变和发展,既帮助人类掌握了学习知识的技巧,还为他们提供最有效的解决方案,常见的数学思想包括分类讨论、数形结合、函数与方程等效思想等。数学学习与思维密切相关,数学中的探索需要通过思维来实现,在中学数学教学中逐渐渗透数学思想方法,培养学生的思维能力以及形成良好的数学思维习惯是中学数学教育的目标之一。本论文结合实际探讨其在初中数学中的具体运用。3.1中学数学分类思想的引导性应用在同一学习阶段的学生都具备了一定的共性,在中学这个学习阶段,大多数的学生都会接触并掌握了初级数学或者日常生活中的一些简单的分类。如在初级数学中对不同的水果进行分类;在生活过程中对不同折扣的商品采购时进行的分类等等。这是学生对分类思想的一些经验的积累,利用学生的这一认识将生活中的分类通过潜移默化的方式搬运到中学数学的学习中来。在教学过程中进行渗透数学分类思想,因材施教。中学数学课本都会标注公式、案例等,在对这些案例或公式的讲解的过程中巧用分类思想,通过分类讨论可以帮助学生总结出规律性的东西,同时在这个过程中需要引导学生使用分类思维是解决问题,让学生意识到分类思想在数学中的重要性。在中学数学的答题过程中使用分类思想,通过充分的分类讨论后方可能获得完整的、正确的答案。在具体的教学模式中,可引导其通过合作讨论的方式推动中学数学分类思想的运用,以及激发学生对中学数学分类思想的兴趣。引导其通过小组合作解题的方式营造一种积极交流的氛围。同时,小组成员又是一个独立的个体,有自己不同的独到的见解以及思维,小组内通过共同互帮互助消化或者验证进而在潜移默化中掌握中学数学分类思想。在解题的过程中,积极引导学生分类思考以及分类论证。以此让学生充分掌握中学数学分类思考的方式、一题多解。这样才能有效地培养正确的分类讨论思想,使其在中学数学学习过程中更好地运用数学分类,以及为进一步的数学学习打下坚实的基础。分类讨论的思想能够帮助学生们开拓了学习的思维,培养起严谨、多方面的思考方式,便其在生活中也收益良多。数学分类思想已经渗透到学习以及生活当中。3.2中学数学分类思想的应用条件不是所有的中学数学都要使用中学数学分类思想进行求证的,在应用的过程中要清楚是否需要分类讨论,明晰是否需要分类才能够更有效地提高学习效率,与中学数学分类思想相匹配。运用分类的思想解题首先需要明确题目是否需要分类讨论。部分中学生在面对一个数学问题的时候不会轻易判断此问题是否需要用到分类的方法来进行解答。即无法根据问题的已知条件以及所给出的问题中迅速辨认出这道题目是否与分类有关。如果全部都采用分类思想进行解答问题,那么有可能遇到题目根本就不需要分类解答,这无疑是在浪费时间。因此,对以上问题作出解决。能够快速的辨认题目中与分类有关的位置关系或数量关系,是解决问题的基础步骤。在中学数学的范围内,以下的情况下,一般都会使用到中学数学分类思想,特殊情况除外。涉及有理数、实数、绝对值、等腰三角形、平方根、有理式的概念等,当应用到这些概念时,就可以考虑使用中学数学分类思考,这些内容在中学数学学习中都有所涉及。在中学课程里直接运用了分类研究的公式或法则也不在少数,遇到这类型的公式或法则可以考虑使用中学数学分类思考。如:方程两边同时乘(或除以)相同且不为零的数,方程的解不变;不等式的两边同时乘(或除以)同一个正(负)数,不等号的方向不会发生变化;一次函数的性质;反比例函数的性质;一元二次方程根的判别式;二次函数的性质等。在解题时,遇到除法、开偶次方、含有绝对值符号等运算时,在这种情况下,数值都是具备了不确定的因数,出现可能不止一个答案的情况下,可以判断使用中学教学数学分类思想进行解答。在学生基本掌握分类讨论思想的情况下,要引导学生运用正确的解题思路。中学数学的研究每一个研究对象都会存在着一定的差异性,因而产生的条件以及结果都存在差异。要有针对性地面对研究对象,对研究对象进行分析,进而获悉最佳的解决思路。中学数学分类思想的应用也是有一定的前提条件的,需要对其合理地进行应用。3.3中学数学分类思想的实例分类思想不仅在数学知识的探究和学习概念中十分重要并且在解决数学问题过程中起有着不可取代的作用。利用分类讨论思想方法来解决的问题有两大类:其一是涉及代数式或函数或方程中,根据字母不同的取值情况;其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况。以下我们通过实例展现分类思想在这两种情况下的使用。第一个案例选用一次函数进行展示:案例一:已知一次函数y=x+8和反比例函数y=k/x(k≠0)(1)当k满足什么条件时,这两个函数在同一直角坐标平面中的图象有两个交点(2)若设(1)条件中的两个交点为C、D,试比较∠COD与90°的大小。解析:第(1)小题求得k<16且k≠0。第(2)小题,鉴于k<0或O<K<16这两种取值所得反比例函数的图像就会有有两种情况,这种情况下就不能使用解答(1)小题的方式进行解答,会应用到中学数学分类思想进行解析。回到题目当中,应按照参变量k的不同取值进行分类讨论。当k<0时,两个交点就在第二和第四象限,∠COD>90°;当O<k<6时,两个交点在第一象限,∠COD<90°。通过案例一可观察到中学数学分类思想在函数中应用,所举案例在并非特殊性的例子,在中学数学学习的过程中也会遇到或者遇到数值改变但是总体性质没有发生改变的题目。这种有多个答案或者不能直接确定的,在中学数学教育中就会采用中学数学分类思考法进行解决。案例二通过对几何图形的解析,分析分类细想在中学数学的实际运用。案例二:△ABC中,AB=8,角B等于30°,AC=5,求BC。解析:这道题目所获知的信息只知道这是一个一条边为8,角B为30°的三角形。三角形可分为等腰三角形、直角三角形、等边三角形、钝角三角形等不同形态的三角形,根据三角形的特点和已知的条件,把△ABC分为两种情况进行分类讨论分别是锐角三角形和钝角三角形,从而求出BC的两个结果。过A做AD⊥BC,因为∠ABC=30°,AB=8所以AD=4,BD=4√3在直角△ADC中,AC=5,所以DC=3BC=3+4√3或4√3-3结果所获得的是两个答案,而这两个答案都是正确的,如果没有使用数学分类思想,那么对于这道题目的解答就有可能会出现遗漏。面对这类型的题目,使用中学数学分类思想进行思考,论证,再进行解答才有可能获得正确完整的答案。由上面的几个例子可以看出分类思维往往能使一些错综复杂的问题变得简单化,解题思路清晰,更容易被人接受。除了以上的情况外,还有一些比较贴近生活的中学数学案例也需要通过分类思想进行解答。某超市推出如下优惠方案:一次性购物不超过100元不打折。(2)一次性购物超过100元且不超过300元打9折。(3)一次性购物超过300元打8折。这位同学两次购物的付款金额分别是80元和252元。如果他一次性购买与前两次购买你相同的商品时,要付款是多少钱?第一次购物没有超过100,因为80×0.9=88.88,因此第一次实质购物价值为80元。

设第一次实质购物价值为X,那么依题意有:<1>不超过300,X×0.9=252,解得X=280。应付金额为(X+80)×0.8=288<2>超过300,X×0.8=252,X=315。应付金额为(X+80)×0.8=316同样,这类型的题目也是有两种答案,也可以说是中学数学分类思想在方程式中的应用。在中学数学教学中可以充分利用这一点入手,因为他更加贴近生活,对生活产生思考更容易引发学生的思考兴趣,并在这个过程中做出引导以及鼓励结论本文主要通过对中学数学分类思考的研究,对现阶段中学数学的题目进行了简单的分析。分别论述了什么是中学数学中的分类思想及其重要性。如何引导分类思想在中学数学中的应用,分类思想在何种情况下运用等。以及通过实际的案例对其应用进行展示以及剖析。通过以上论述表明分类思想是数学本质归类为属性的相同点和不同点,将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。比较是分类的前提,分类是比较的基础,而又是分类是比较的结果。中学数学分类思想具有明确的逻辑性、综合性的特点。其适用于中学数学中需要分类或者又不确定因素的题目,合理的分类思考有利于提高解答效率。对培养中学生全面地分析问题和解决问题的能力起到了十分积极的提升作用。中学数学分类思想的运用与实际生活相结合,能提高学习的积极性以及让学生更加能够获得真切的理解。在中学数学教学的过程中合理地渗透数学思想方法,既可以培养学生的思维能力又可以学生形成良好的数学思维习惯,对数学素质教育的发展具备积极的作用。总而言之,中学数学分类思考是一种符合中学数学教育的一种教学模式以及思考模式。分类思想在中学数学教学中具备重要意义,有利于学生来理解、接受以及掌握系统化的知识,形成严谨科学的思维方式。同时,从另一个层面讲,对于推进教育事业的不断发展起到了积极的作用。参考文献[1]濮安山.中学数学教学论[M].哈尔滨工业大学出版社,2004.[2]宋凤英.分类讨论思想——解决数学问题重要思想之三[J].数学大世界（初中版）,2013（04）.[3]丁建强.加强数学思想方法渗透提高学生数学素质[J].天津教育,1999(3).35-37.[4]陈百华.数学思想方