湖北武汉市2026届高中毕业生三月调研考试数学试卷（学生版+解析版）

武汉市2026届高中毕业生三月调研考试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|k²-3x-4≤0},B={x∈Z|x-1|≥2},则A∩B=()2.已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为()A.-3B.3C.-3.记半径为R的球体的表面积和体积分别为S₁和V₁,记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为S₂4.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A.2B.35.记等比数列{a}的前n项和为Sn,若2S₉=S₃+S₆,且则正整数k的值为()A.3B.66.连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得-1分，记总得分为X,则()A.E(X)=8B.E(X)=12C.D(X)=6D.D(X)=18A.1B.28.已知A,B是双曲线1(a>0,b>0)左右顶点，P₁,P2,…,P是该双曲线上异于顶点A.2B.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.现有10个数据为：3,3,3,3,4,4,4,5,5,6,对于该组数据，下列说法中正确有()A.众数4B.平均数是4C.极差是3D.中位数是4.510.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁说法中正确的有()A.PQ//平面ABCB.MN⊥BCC.PQ⊥平面ABB₁A₁D.PQ与MN相交列说法中正确的有()C.存在正实数a和x₀,使得x>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.平面向量a,b满足：la=1,|5=2,(2a+35)·(a+b)=8,则a与b的夹角的余弦值是13.平行于x轴的直线交抛物线C₁:y²=2x于点P₁,交抛物线C₂:y²=8x于点P2,记抛物线C₁和C₂的14.如图，已知@>0,在函数f(x)=sin(wx+4)的部分图象中，其图象上的点A,B,C是同一直线上的三点，且该直线与x轴交于点D,若|A四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在数列{a}中，a₁=6,a₃=20,a₄=30,且{a₄+-a}是等差数(1)求a₂;16.如图，在三棱锥P-ABC中M,N分别是棱PB,PC上的点，且直线PA⊥平面AMN.(2)求三棱锥P-ABC的体积；(3)求直线BC与平面PAB所成角的正弦值.(2)讨论f(x)的单调性；求a的取值范围.与直线l:x+y=1交于点A,过点A且与I垂直的直线交曲线E于另外的点B,设线段AB的中点为P,定点Q的坐标为(3)是否存在某条直线始终与以PQ为直径的圆相切?若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理A₂,…A₀,记此时的卡片排列为(A₁,A₂,…A,).对这n张卡片的排列进行如下三步操作：1.取出最左Lk-1(若不存在则为空),标号大于k的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为R₁,R₂,…Rn₋k(若不存在则为空);3.对这n张卡片重新排列，得到新排列：(L,L₂,…L-1,k,R₁,R₂,…Rn₋k).每进(1)若初始排列为(3,5,2,4,1),写出连续经过两次完整操作后得到的新排列；(2)求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到(1,2,…,n)的顺序排列的概率；(3)记初始排列中有B。个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到(1,2,…,n)的顺序排列，当n≥2时，证明：Bn+1≤nB+B₁-1·武汉市2026届高中毕业生三月调研考试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x²-3x-4≤0}B={x∈Z/|x-1|≥2},则A∩B=()A.{0,2,3,4}【答案】C【解析】【详解】不等式x²-3x-4≤0,解得-1≤x≤4,即A={x|-1≤x≤4}。化简得x-1≥2或x-1≤-2,又因为x∈Z,因此B={x∈Z|x≥3或x≤-1}所以A∩B={-1,3,4}.2.已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为()A.-3B.3C.-【答案】A【解析】【详解】3.记半径为R的球体的表面积和体积分别为S¹和V₁,记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为S₂和V₂,若S₁=S₂,【答案】D【解析】代入所求式化简计算即得.【详解】依题意，S₁=4πR²,,设该圆锥的高为h,4.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则A.2B.3【解析】【分析】利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式化简，再由同角三角函数化弦为切即得.因sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,将其代入(*)整理得sinAcosB=4sinBcosA,5.记等比数列{a,}的前n项和为Sn,若2S₉=S₃+S₆,且则正整数k的值为()A.3【答案】A【解析】【分析】设等比数列{an}的公比为9,根据题意，利用等比数列的求和公式，化简求得,再由等【详解】设等比数列{an}的公比为9,当q=1时，可得S₉=9a,S₃=3a,S₆=6a₁,因为a₁≠0,所以2S₉≠S₃+S₆,所以q≠1,此时又因为2S₉=S₃+S₆,可所以2(1-q⁹)=(1-q³)+(1-q⁶),解得或t=1(舍去),所以法一：由,提取公因式,可得因为代入化简得1-2+q³-k=0,即q³-k=1,所以3-k=0,解得k=3;法二：由等比数列的通项公式，可得aₙ=a₁q"-¹,,即即A.E(X)=8B.E(X)=12C.D(X)=6D.D(X)=18【答案】D【解析】【详解】设Y为正面向上的次数，则总得分X=2Y+(-1)×(8-Y)=3Y-8,由于所以E(X)=E(3Y-8)=3E(Y)-8=4D(X)=D(3Y-8)=9D(Y)=9×2=18,所以D正确.7.若存在正实数a,使得函数是定义在(-∞,-a)U(a,+∞)上的奇函数，则b=()A.1【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，以及a>In3,分类讨论，取绝对值号，即可求解b的值.因为函数f(x)是奇函数，可得f(-x)+f(x)=0,当x>a>In3时，可得eˣ-1>0,3eˣ-1>0,eˣ-3>当x<-a<-ln3时，可得eˣ-1<0,3e-1<0,eˣ-3<0,综上可得，实数b的值为2.8.已知A,B是双曲1(a>0,b>0)的左右顶点，P₁,P₂,…,Pn是该双曲线上异于顶点A.2B.4【答案】D【解析】【分析】设P(xn,yn),利用坐标计算PA·P,B以及cosθₙ=cosPA,P,B,再根据化简两式，根据等差数列的定义求出公差即可列出等式求解.【详解】由题意知，A(-a,0),B(a,0),c²=a设P,(xn,yn),则则则PA=(-a-x,-yn),P,B=(a-x所以n+1为常数，因为其公差相等，所!要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.现有10个数据为：3,3,3,3,4,4,4,5,5,6,对于该组数据，下列说法中正确的有()A.众数是4B.平均数是4C.极差是3D.中位数是4.5【答案】BC【解析】【详解】10个数据中3出现了4次，4出现了3次，5出现了2次，6出现了1次，所以次数最多的数据是3,所以众数是3,故A错误；10.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点P,Q,M,N分别是AB₁,CC₁,A₁C₁,BC的中点，则下列说法中正确的有()A.PQ//平面ABCB.MN⊥BCC.PQl平面ABB₁A₁D.PQ与MN相交【答案】ACD【解析】【分析】对于A,取AB的中点D,证明PQ//CD,结合线面平行判定定理证明PQ//平面ABC,即可判断，对于B,若MN⊥BC,则MB=MC,连接ME,E为AC的中点，证明ME⊥EC,ME⊥EB,设AB=2a,AA₁=h,求MB,MC,推出矛盾，对于C,根据线面垂直判定定理证明结论即可判断，对于D,证明PN//MQ,PN=MQ,由此即可判断.【详解】对于A,取AB的中点D,连接PD,CD.Q为棱CC₁的中点，∴CQ//BB₁,且∴四边形PDCQ为平行四边形，从而PQ//CD.又∵CDc平面ABC,PQ女平面ABC,∴PQ//平面ABC,A正确，对于B,因为N为BC的中点，若MN⊥BC,则MB=MC,连接ME,E为AC的中点，则ME//CC₁,又CC₁⊥平面ABC,所以ME⊥平面ABC,EC,EBC平面ABC,所以ME⊥EC,ME⊥EB,设AB=2a,AA₁=h,对于C,在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC.又∵AB∩BB₁=B,ABc平面ABB₁A₁,BB₁C平面ABB₁A,所以PQ⊥平面ABB₁A₁,C正确；列说法中正确的有()C.存在正实数a和x₀,使得x>【解析】【详解】因为当n-1<x≤n时，f(x)=(x-n+1)(x-n)"=(-1)"(x-n对于A,对于任意x,若x∈N⁴,则f(x)=0,f(x+1)=0,若n偶数，则f(x)>0,f(x+1)<0,此时f(x)f(x若n为奇数，则f(x)<0,f(x+1)>0,此时f(x)f(x+1)<0,对于C,若n-1<x<n时，f(x)=(x-n+1)(x-n)",f'(x)=(x-n)"+n(x-n)"⁻¹(x-n+1)=(x-n)"⁻令f'(x)=0,则,则f'(x)<0,函数f当n为奇数，若n-1<x<n,则f(x)<0,此时f(x)<ea,当2≤t<5时，3≤t+1<6,0≤2t-4<6,,则,2≤t<5,2t-4<t+1,,2≤t<5,2t-4<t+1,则,2≤t<5,2t-4<t+1,满足条件的t不,故大于等于的极值点都不在区间(2t-4,t+1)内，故t的取值范围12.平面向量a,b满足：|a|=1,|b=2,(2a+3b)(a+b)=8,,则a与b的夹角的余弦值是【解析】【分析】利用向量点积运算展开条件式，代入已知模长求出数量积，再通过数量积公式得到夹角余弦值.【详解】解得13.平行于x轴的直线交抛物线C₁:y²=2x于点P₁,交抛物线C₂:y²=8x于点P2,记抛物线C₁和C₂的焦点分别为F₁和F₂,若|PF|=|P₂F|,则四边形FF₂PP₂的面积为【答案】3【解析】【分析】设平行于x轴的直线方程为y=t,然后求出P,P2的坐标，进而判断四边形F₁F₂PP2的形状，进而求出面积.【详解】由题意可得，设平行于x轴的直线方程为y=t.,E₂(2.0),所以,化简解得t=±2.根据对称性，不妨取P(2,2),i,所以四边形F₁F₂PP₂矩形，【答案】【解析】【分析】设D(x₀,0),A(x₀-a,b),B(x₀+设D(x₀,0),A(x₀-a,b),B(x₀+a,-b),C(x₀+2a,-2b),且a²+b²=1,a,b>0,所以2sin(wx₀+4)cos(wa)=0,故sin(wx₀+4)=0或cos(wa)=0,所以cos(wa)=0,,而所以,结合①有所所以四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在数列{a}中，a=6,a₃=20,a₄=30,(2)证明：【答案】(1)a₂=12(2)证明见解析【解析】【分析】(1)使用等差中项性质即可求解；(2)使用累加法求得{aₙ}的通项公式，再使用裂项相消即可得证.【小问1详解】设bn=an+1-an,则b₁=a₂-a₁=a₂-6,b₂=20-a₂,b₃=10,因为{a₄+-a}是等差数列，即{bn}是等差数列，则有b₁+b₃=2b₂,即a₂-6+10=2·(20-a₂),解得a₂=12.【小问2详解】由(1)知，b₁=6,b₂=8,则{b}的公差为2,首项为6,将各式相加，得an-a₁=2n+2+2n+…+6,,即aₙ=n²+3n+2,而a₁=6满足因此aₙ=n²+3n+2,因为n≥1,则,则,得证.M,N分别是棱PB,PC上的点，且直线PA⊥平面AMN.(2)求三棱锥P-ABC的体积；(3)求直线BC与平面PAB所成角的正弦值.【解析】【分析】(1)根据线面垂直性质，结合勾股定理的逆定理、余弦定理、锐角三角函数定义进行求解即可；(2)根据三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可；(3)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】在PAB中，由余弦定理，因为PA⊥平面AMN,AM,ANc平面AMN,所以在△PBC中，由余弦定理，得【小问2详解】所以在Rt△PAM中，AM=√PM²-PA²=√2,设点A到平面PBC的距离为h,【小问3详解】所以PA⊥OM,,,,,由上可知：M是棱PB中点，设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),所以取该平面的一个法向量为m=(√3,-√设直线BC与平面PAB所成角为θ,(2)讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)有极小值，且f(x)≥0,求a的取值范围.【答案】(1)4x-y-1=0调递增.【解析】(3)结合(2)可得a>0时，f(x)有极小值，进而结合题意可得a(1-a-2lna)≥0,进而求解即可.【小问1详解】【小问2详解】由函数f(x)的定义域为(0,+o),【小问3详解】由(2)可知当a>0时，f(x)有极小值，极小值为又a>0,所以1-a-2lna≥0.(3)是否存在某条直线始终与以PQ为直径的圆相切?若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理【答案】(1)A(t,1-t)(2)证明见解析(3)y=-x【解析】【分析】(1)联立曲线E和直线l求交点A.(2)先求出过A与直线l垂直的直线方程，联立曲线E方程，用韦达定理求B点坐标，进而得到P点坐标，最后计算|PA|+|PQ|为定值.(3)根据直线与以PQ为直径的圆相切验证特殊直线是否存在.【小问1详解】因为曲线E和直线l交于点A,所以将直线l:y=1-x代入曲线E:所以A(t,1-t).【小问2详解】因为直线l斜率为-1,所以直线AB斜率为1,联立直线AB和曲线E得：化简得：x²+2t(1-2t)x+t²(4t-3)=0,设A(x,y₁),B(x₂,y₂),AB中点P(x₀,y%),由韦达定理可得：x₁+x₂=-2t(1-2t),所以P(2t²-t,2t²-3t+1), 又因为线段AB的中点为P,所以由两点距离公式可得：【小问3详解】存在直线I:y=-x满足条件，下证之.设圆心为T,半径为r,直线AP交y=-X于M,所以圆心T到I的距离故eT与y=—X相切，直线y=-x满足条件.A₂,…A₀