2025-2026学年下学期云南昭通高一数学3月第一次月考试卷（含答案）

昭通市市直中学2026年春季学期高一年级第一次月考数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟.第I卷(选择题,共58分)注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题(本大题共8小题,每个小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数z=1A.2B.−2C.2D.−2.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,A.π4B.C.3π4或π43.向量的数量积可以表示为:以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图1所示:a⋅b=14AD2−BC2,我们称为极化恒等式.在△ABC中,M图1A.32B.-32C.16D.-164.在△ABCA.a=4C.a=35.向量m,n满足m⋅n=5，且m=−1,A.−12C.−5,6.在△ABC中,已知asinAa2+A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰或直角三角形D.等边三角形7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,cA.π4B.π3C.π8.如图2，在平行四边形ABCD中，CE=DE，EB和AC相交于点G，且F为AG上一点(不包括端点),若BF=λBE+图2A.5B.5C.5D.1二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.若复数z=3A.z的实部是12B.C.z−z=−210.已知△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,其中c=1,b=4,a=13,E为ACA.△ABC的面积为3B.C.sin∠ACB=11.在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,A.AB.△ABC的外接圆的周长为C.△ABC周长的最大值为D.若△ABC为锐角三角形，则△ABC面积的取值范围为第II卷(非选择题,共92分)注意事项:第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.若复数1+ai213.已知向量a,b满足a−b⊥b，且a=314.如图3,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60∘,E,F分别为BC,CD上的点，CE=2EB,CF=2FD，若线段EF上存在一点M，使得AM=56AB+图3四、解答题(共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)已知向量a,b满足a=2,b=2且向量a(1)求a−b(2)若向量2a−kb与向量a+216.(本小题满分15分)如图4,在平面四边形ABCD中,BC=2,∠BCD=图4(1)求BD；(2)若AD=22,∠ABD17.(本小题满分15分)某测量小组为测量如图5甲山的高度,建立了如图乙所示的数学模型三棱锥C−OAB，OC垂直水平面OAB,点C代表凤凰亭的上顶点,A,B两点代表山脚地面上的两个观测点,同学甲在A处测得仰角为45∘,同学乙在B处测得仰角为30∘,同学丙测得两个观测点之间的距离AB图5(1)求sin∠CABsin∠(2)同学甲测出∠CAB为钝角，同学乙测算出cos∠CBA=3418.(本小题满分17分)已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量(1)求角C的值；(2)若a=4，求b19.(本小题满分17分)我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”,即可将有序复数对z1,z2z1,z2∈C视为一个向量,记作α=z1,z2.类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算:两个复向量α=z(1)设α=3,i,β=1−i,4(2)①求证:对任意的实向量α与β，都有α⋅β②利用①的结论，求证:对任意实数a,b,c,d③设复向量α=z1,z2,β=z3,z4昭通市市直中学2026年春季学期高一年级第一次月考数学参考答案第I卷(选择题，共58分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案BADCACDB二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)题号91011答案ADABDACD第II卷(非选择题，共92分)三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)题号121314答案267四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)解:(1)因为a=2,b=2,且向量a与所以a⋅则a−(7分)(2)因为向量2a−kb与向量a+2b使得2a所以2=λ−k=2λ16.(本小题满分15分)解:(1)因为S△又BC=2,∠BCD=π在△BCDBD所以BD=2(2)在△ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD=即22sinπ4=2又∠BAD∈0,π2所以sin∠ADB=sin=sin∠=2故sin∠ADB=17.(本小题满分15分)解:(1)在Rt△AOC中,由∠OAC=45∘在Rt△BOC中,由∠OBC=30∘在△ABC中,利用正弦定理得:BCsin∠所以sin∠CABsin∠(2)在△ABC中，利用余弦定理得:AC(8分)即2OC2=8100+(10分)解得OC=90,或OC当OC=45时，BC=90=AB，与∠所以山高的近似值OC为90米.(15分)18.(本小题满分17分)解:(1)因为m⊥所以m=2sin方法一:利用正弦定理角化边得2asinC又cosB∴2asinC−a=0又△ABC为锐角三角形,故C=方法二:由和差公式可得2sin又因为A∈0,π2,sin又△ABC为锐角三角形,故C=(2)由正弦定理得b=asinBsinA由于△ABC为锐角三角形,则A∈又0<C=5π6−方法一:所以b=23而A2∈π6,π∴1tan故b+c的取值范围为2方法二:所以tanA>3,所以又b=23+2由余弦定理得c=记fb易知fb在23所以f23<fb所以b+c的取值范围为219.(本小题满分17分)解:(1)令α=由已知得α⋅α=z1(1分)由α=3,i