倍角公式高一下学期数学人教B版必修第三册

8.2三角恒等变换

8.2.3倍角公式第八章

向量的数量积与三角恒等变换数学人教B版必修第三册目录课标要点03010204必备知识解读题型解析高考考向分析06高考模拟05知识测评学习目标01必备知识解读02知识点

二倍角的正弦、余弦、正切公式1

二倍角的正弦、余弦、正切公式

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..

..

.2

推导过程

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3

倍角公式的变形

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..

.拓展延伸三倍角公式（不要求记忆）

.

.典例详解

B

A

D

题型解析03题型1

利用倍角公式化简、求值、证明1

化简例6

化简：

.

..

.

【解析】

（从“角”入手，“倍角”变“单角”）

（从“名”入手，异名化同名）

（从“幂”入手，利用降幂公式降次）

（从“形”入手，利用配方法，对二次项配方）

解答第（1）小题的关键在于使被开方式变为完全平方式（升幂），以便去掉根号，且在去根号时，要注意符号的选取.

名师点评

在对三角函数式进行变形时，第（2）小题中的四种方法提供了四种变形的角度，即分别从“角”的差异，“名”的差异，“幂”的差异及“形”的特征四个方面着手研究.这也是研究其他三角问题时经常要用的变形方法.此外要熟知化简的要求.2

求值例7

求下列各式的值：

.

.

3

证明

所以原式成立.

名师点评

以上几种方法大致遵循以下规律：第一，从复杂端化向简单端;第二，化倍角为单角；第三，注意对数字的处理，尤其是“1”的妙用.【变式题】

1

题型2

用倍角公式处理连乘式致敬经典

名师点评

本题是倍角公式应用的经典题型，经常出现在各类考试卷中.方法1和方法2通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.在此过程中还应该看到化简以后的分子、分母中的角是互补（余）的关系，从而求得最终的结果.此外，对于方法3，利用构造对偶式解题，更具有一般性.事实上，有些数学问题，可根据本身的特点，相应地构建与其“匹配”的另一整体，然后由其相依相伴的关系进行求解，这种思想我们称为“配对”.

【变式题】

题型3

条件求值

B

A

.

..

.

.

.

【变式题】

B

题型4

与倍角公式相关的交汇问题1

与三角形的交汇问题

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2

与三角函数的交汇问题

【变式题】

.

..

.

.

..

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3

与向量的交汇问题

倍角公式与向量综合的题目的特点及求解方法倍角公式与向量综合的题目一般都不是单纯的倍角公式的运用，还有对角的变换、诱导公式、三角函数的性质等的综合考查.涉及的向量问题一般为向量的夹角、向量垂直、向量共线等知识，解题时需准确写出对应的坐标表示.高考考向分析04考情揭秘二倍角公式是三角恒等变换的重要工具，也是高考的必考点之一.考查内容主要涉及利用二倍角公式进行化简、求值，且常与同角三角函数的基本关系以及三角函数的图象、性质相结合进行综合命题.各种题型都会出现，试题难度中等.核心素养：逻辑推理（以二倍角公式为依据研究三角函数的性质），数学运算（求三角函数值）.考向1

倍角公式的简单应用

D

B

C

A

.

.

A

考向2

以倍角公式为工具考查三角函数的图象和性质

C

C

.

.命题探源本题组取材于教材第103页【练习B】第1,5题，主要考查同角三角函数的基本关系式、倍角公式、三角函数的性质等基础知识.素养探源素养考查途径数学运算三角恒等变换.逻辑推理

.

.高考新题型专练

ACD

【答案】由（1）可得

知识测评05建议时间：15分钟

A

D

C

A

5.［多选题］(2025·江苏省南京市期末)下列计算正确的是(

)ABC

高考模拟06建议时间：25分钟

D

D

图D

8.2.3-1图8.2.3-1

BA.

B.