湖南省长沙市2025中考第一次模拟考试数学试卷（含答案）

湖南省长沙市2025中考第一次模拟考试数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.下列数中是无理数的是（）

A.£B.0C.爷D.0.1223

2.对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称

之美惊艳了千年的时光.下列常见的运动图标是轴对称图形的是（）

3.湖内自古就有“湖广熟、天下足”的美誉，2024年全省粮食播种面积稳定在71000000亩以上，实现播种面

积、单产、总产“三增”。该数据用科学记数法可以表示为（）

A.710x103B.71x106C.7.1x107D.7.1x108

4.下列运算结果正确的是（）

A.4xy—3xy=1B.（―=一C.I5?2=—5D.V34-VT2=-/15

5.为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的

折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（）

1

0

9

8

7

6

5

4

3

B.甲、乙两班视力值的平均数相等

C.甲、乙两班视力值的中位数相等

D.视力值的波动程度甲班大于乙班

6.如图，将一块有30。角的直角三角板的直角顶点C放在一张宽为2cm的长方形纸带边上.另一个顶点4在纸

带的另一边上，测得三角板的较短直角边力。与纸带边所在的直线成45。角，则该三角板斜边4B的长为

)

第1页

A.4cmB.475cmC.4>/5cmD.6cm

7.在立面直角坐标系中，已知点3m-8),若点M在两坐标轴的角平分线上，则小的值为()

A.±2B.±4C.-2或一4D.2或4

8.“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量

持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一

月月销售量为Q辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是()

A.a(l4-%)2=3aB.cz(l4-2x)2=3aC.cz(l4-2x)(14-3x)=3aD.Q(1+x)(l+2x)=

3a

9.对二某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质.上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都

是正确的，设这个一次函数的解析式为y=kx+b(kHO),则下列结论中错误的是()

A.k>0B.kb<0C.k+b>0D.k=-yb

10.如图，菱形ABC。一菱形4EFG,菱形的顶点G在菱形的BC边上运动，GF与相交于点〃,

/-E=60°,若CG=6,AH=14,则菱形ABCO的边长为()

A.18V3B.16、"C.18D.16

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

11.因式分解4/-4=.

12.已知一元二次方程好一5X+Q=0的一个根是3,则。=

13.在平面直角坐标系中，双曲线y=K同时经过点A(Q,2),6(4,Q十1),则u的值为________.

X

14.如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径OQ=25cm,用长为

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125cm的连杆将点Q与动力装置P相连QOQP大小可变），点P在轨道48上滑动，并带动磨盘绕点。转动,

15.如图，在△4BC中，4c=90。，按以下步骤作图：①以点4为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交

AB,AC于点E,F；②分别以点E,F为圆心，大于劣EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线4G交

BC边于点0.若CD=5,AB=12,则△4BD的面积是

16.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如3=22-/,7=

42—32,16=52—32,3,7,16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数

是.

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分第22、23

题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步

骤）

1一2

17.计算：（-另+（1T-3）O-4cos30°+|3-/ni­

ls.先化简，再求值：，2+4+岛_%+］）,请从一2、一1、0、1、2中选择一个合适的值代入求值.

19.我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的

宽度MN,工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M,N两处的俯角分别为a=60。和/?=37。，测得无

人机离水平地面的高度PQ为240米，若Q,M,N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度MN为多少

米？（参考数据：Can37。40.75,V3«1.73,结果保留整数）

心LV\

QMN

20.如图，△ABC中，力8的垂直平分线EF交于点E,交A8于点F,〃为EC中点，BE=AC.

第3页

（1）求证：AH1BC；

（2）若28二36。，求48AC的度数.

21.初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类”的知晓情况分为A、

B、C、。四类.其中，A类表示“非常了解”，8类表示“比较了解”，C类表示,,基本了解”，。类表示“不太了

解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形

统计图和扇形统计图.

“垃圾分类”知晓情况各类别人数条形统计图“垃圾分类”知晓情况各类别人数扇形统计图

根据以上信息解决下列问题:

（1）初三（1）班参加这次调查的学生有人，扇形统计图中类别。所对应扇形的圆心角度数

为。；

（2）求出类别B的学生数，并补全条形统计图；

（3）类别人的4名学生中有2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分

类”知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率.

22.2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功.某飞

箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花

费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个.

（1）“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元?

第4页

(2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售

价为28元.设购进“神向”模型《个，销售这批模型的利涧为■元.若购进“神舟''模型的数量不超过“天宫”模

型数量的作，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？

23.已知：如图，在矩形4BCD中，E、F分别是边CO、4D上的点，且4E18?，AE=BF.

(1)求证：矩形ABCD是正方形；

(2)连接BE、EF,^DF2=AFAD,求证：乙DEF=LABE.

24.在△ABC中,8C为O。的直径，4c为过。点的切线.

(1)如图①，以点8为圆心，8c为半径作圆弧交4B于点M,连结CM,若々ABC=66。，求/4CM的大

小：

(2)如图②，过点。作。。的切线0E交AC于点E,求证：AE=EC；

(3)如图③，在(1)(2)的条件下，若taa4=%,求除於S-CM的值.

25.若一次函数y=mx+几与反比例函数y="同时经过点P(x,y)则称二次函数y=mx2+nx-k为一次函

X

数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点.

(1)判断、=2%-1与、二,是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”.如果不存在，请说明理

由；

(2)己知：整数m,n,t满足条件并且一次函数y=<1+兀)x+2m+2与反比例函数y=

型经存在“共享函数“y=(m+t)x2+x-2024,求m的值.

xJ

(3)若一次函数y=%+m和反比例函数、=吟竺在自变量％的值满足的mWxMm+6的情况下.其

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“共享函数''的最小值为3,求其“共享函数”的解析式.

第6页

答案解析部分

1.【答案】A

【解析］【解答】解：A、3是无理数，此选项符合题意；

B、。是有理数，此选项不合题意.

C、竿是有理数，此选项不合题意.

D、0.1223是有理数，此选项不合题意.

故答案为：A.

【分析】根据无理数的定义”无限不循环小数为无理数”并结合各分项即可判断求解.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；

B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故答案为：A.

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这

条直线叫做对称轴进行分析即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：71000000用科学记数法可以表示为7.1x107,

故答案为：C.

【分析】科学记数法的表现形式为ax10八的形式，其中14同＜10,〃为整数，确定〃的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，〃

是正数，当原数绝对值小于1时〃是负数；由此进行求解即可得到答案.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：

A.4xy-3xy=xy,因此选项A不符合题意；

B.(-a2)3=一d,因此选项B符合题意；

C.〃-5)2=|-5|=5,因此选项C不符合题意：

D.V5+V12=V5+2V3=375,因此选项D不符合题意.

答案为：B.

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【分析】根据合并同类项法则，幕的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简以及二次根式的加减法的计算

方法逐项进行判断即可.

5.【答案】D

【解析】【解答】解：甲班的数据为：4.8,4.9,4.648,4.7,4.5,4.6,4.7,

，平均数为:i(4.8+4.9+4.6+4.8+4.7+4.5+4.6+4.7)=4.7;

中位数为：1(4.7+4.7)=4.7;

222

方差为：g[2x(4.8-4.7)2+(49-4.7)2+2x(4.6-4.7)+2X(4.7-4.7)+(4.5-4.7)]=0.015

乙班的数据为:4.8,4.7,4.7,5.0,4.9,4.4,4.7,4.4,

・•・众数为4.7,

平均数为：i(4.8+4.74-4.7+5.0+4.94-4.4+4.7+4.4)=4.7：

中位数为：1(4.7+4.7)=4.7;

方差为：i[(4.8-4.7)2+(4.9-4,7)2+(5.0-4.7)2+2(4.4-4.7)2+3(4.7-4.7)2]=0.04：

故：乙班视力的众数为4.7,甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，甲班视力值的中位数等于乙班视

力值的中位数，视力值的波动程度甲班小于乙班；

・・・D选项描述错误；

故答案为：D.

【分析】从折线图中获取信息，求出每组数据的平均数，中位数，方差和乙班的众数，然后比较大小即可判

断求解.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：如下图所示，过点力作40CD,

•••Z-ACD=45°,

•・.△4CD是等腰直角三角形，

根据矩形的性质可得：AD=CD=2cm,

AC=V22+22=2或cm，

在人4RC中，/ACR=90°,/R=^0°.

AB=2AC=2x2V2=4>j2cm-

第8页

故答案为：B.

【分析】过点A作40_LC。，结合已知可得△ACO足等腰直角二角形，用勾股定理求出AC的直，在

RtAABC中，根据直角三角形中30。的锐角所对的直角边等于斜边的一半可求解.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：由点I例（m，3m-8））在两坐标轴的角平分线上，

得m=3m-8或m4-3m-8=0

解得ra=4或m=2,

故答案为：D.

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得答案.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：设第二个月销售量的增长率为，则第三个月销售量的增长率是2%,

根据题意得：Q（1+无）（1+2%）=3%

故答案为：D.

【分析】设第一月月俏售量为a辆，第二个月销售量的增长率为％,根据题意列方程即可.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：•・•函数图象经过点（2,0）,

2k+b=0,

即上=一/瓦故D选项正确，不符合题意；

・・•函数图象不经过第二象限，

：.k>0,b<0,故A选项正确,不符合题意;

••./^<0,故8选项正确，不符合题意；

1

1

・•.…=/

vb<0,

：.k+bV0,故C选项错误，符合题意；

故答案为：C.

【分析】根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解.

10.【答案】C

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【解析】【解答】解：连接AC.

「菱形ABCDs菱形AEFG,

••・ZB=ZE=ZAGF=60°,AB=BC,

・•・△ABC是等边三角形，设AB=BC=AC=a,

则BH=a-14,BG=a-6,

AZACB=60°,

'：ZAGB=ZAGH+ZBGH=ZACG+ZCAG,

VZAGH=ZACG=60°,

.\ZBGH=ZCAG,

VZB=ZACG,

・•・△BGH^ACAG,

：,AC=~CG,

a—6CL—14

:.a2—20a4-36=0,

・・・a=18或2（舍弃）,

.\AB=18,

故答案为：C.

【分析】连接AC,首先证明△ABC是等边三角形，再证明△BGHs/XCAG,推出第=黑，由此构建方程

即可解决问题.

11.【答案】4(x+l)(x-l)

【解析】【解答】解：4X2-4

=4(/-1)

=4(x+l)(x-1),

故答案为：4(x+l)(x-l).

第10页

【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因数4,于是先提取公因数4,括号内的多项式利用平方差公式

分解因式即可求解.

12.【答案】6

【解析】【解答】解：把x=3代入方程好一5%+(1=0得9-15+。=0,

解得G=6.

故答案为：6.

【分析】把％=3代入方程：%2一5%+。=0得关于a的方程9-15+Q=0,然后解关于a的方程即可.

13.【答案】-2

【解析】【解答】解：:双曲线y=[同时经过点4(。,2),8(4,Q+1),

/.k=2a=4(a+1),

解得：a=-2,

故答案为：-2.

【分析】把4(a,2),B(4,a+1)的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可.

14.【答案】60cm

【解析】【解答】解：如图，当点Q运动到Q1时，点P到力的距离最小,

由题意得：。4=80cm,OQi=OQ=25cm,0Q1+0Pl=PiQ,=125cm,

；.OP]—100cm,

由勾股定理可得：PM=JoP[2_oA2=60cni，

故答案为：60cm.

【分析】由当点Q运动到Qi时，点P到力的距离最小，由线段的和差PQ产OQI+OPI求得OPi的值，在

RtAOAP1用勾股定理计算即可求解.

15.【答案】30

【解析】【解答】解：如图，过点D作0M见48于M,

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由作图可知,AG平分LBAC.DC^AC,

由角平分线性质可知MD=CD=5,

•••SAy4gp=^AB-DM=1x12x5=30»

故答案为：30.

【分析】过点D作。例新IB于M,由作图可知平分2B/1C,进而由角平分线的性质可得MD=0)=5,再根

据三角形的面积公式计算即可求解.

16.【答案】2701

【解析】【解答】解：设两个数分别为k+1,匕其中kN1,且k为整数.

则(k+—/=(4+1+k)(k+1—k)=2A+1，

设两个数分别为k+l,k-l,其中k之1,且卜为整数.

则(k+l)2—(k—l)2=(k+i+k-i)

(k+l-k+1)=4k,

解得k=2时，4k=8,

・••除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数.

A4k(kN2且k为整数)均为智慧数；

除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，

特殊值2,6,10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：

•・•假设4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n,使得4k+2=m?—n2,

:.4k+2=2(2k+1)=(m+n)(?n-九)①，

m4-八和m-n这两个数的奇偶性相同，

・•・等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数.可左、右两边不

相等.所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数.

・•・把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每

组中第二个不是智慧数，

又・•:(2024-1)+3=6741,

・•・第2024个智慧数在1+674+1=676(组),并且是第1个数,即(675x4+1=2701.

第12页

故答案为：2701.

【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设两个数分别为k+1,k,其中kNl,且

k为整数，即智慧数=2k+1,由于k为正整数，则k+1和A-1就是两个自然数.要判断一个数是否是智

慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差.

17.［答案］解：2+(7T-3)°-4cos30°+|3-/12|

B厂

=4+l-4x^-+2V3-3

=2.

【解析】【分析】先运算负整数指数次塞、零指数次帝和绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并解答即

可.

】8.【答案】解：看护+(磊-x+l)

^(x-2)z.3-(x-l)(x+l)

x+1'x+1

=(x-2fx+1

x+l'3-X2+1

=(x-2)

(2+x)(2r)

_2-x

~2+x,

Vx+10,(2+x)(2-x)^0,

・”工一1,x0±2,

当x=0时，原式二=1.

或当％=1时，原式=得=/

【解析】【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，约分化为最简分式，然

后根据分式有意义的条件把X=1代入计算即可.

19.【答案】解：VPA||QN,

QMN

：./PNQ=/?=37°,ZPMQ=a=60。,

在Rt△PMQ中，

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♦:乙PQN=90°,

tanzPMQ=

・・・QM=俞输=1=皆=8。百、138.4（米），

在Rtz^PQ/V中，Ttan/PNQ=需，

・•.QN=GH%=3^*32。（米），

:・MN=QN-QM=320-138.4«182（米）.

答：这条河的宽度MN=182米.

【解析】【分析】在Rt△PMQfllRt>PQN中,利用锐角三角函数，求出QN和QM的长，然后计算出MN

的长即可.

20.【答案】（1）证明：如图，连接,4E,

•・YB的垂直平分线EF交BC于点E,

：.AE=BE

*：BE=AC

：.AE=AC,

VH为EC中点，

：.AH1BC；

（2）解：'：AE=BE,LB=36°

：.Z-EAB=Z.B=36°

：,^AEC=/.EAB+28=72°

*：AE=AC

・••乙C=Z-AEC=72°

J.LBAC=180°一4C一4B=72°.

【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到AE=BE,再根据等腰三角形三线合一的性质即可完成证

明；

（2）结合（1）的结论，根据三角形外角、等腰三角形和三角形内角和的性质计算，即可完成求解.

21.【答案】（1）40；144

（2）解：B类学生人数为40-（4+16+2）=18（人），

补全条形图如下：

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男1男2女1女2

男1--男2男1女1男1女2男1

男2男1男2--女1男2女2男2

女1男1女1男2女1--女2女1

女2男1女2男2女2女1女2--

由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生"有8种可能.

所以所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率为4=会

【解析】【分析】(1)由A类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360。乘以C类别人数所占比例

即可得：

(2)根据各类别人数之和等于总人数求出B类别人数即可得出答案；

(3)应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可.

22•【答案】(1)解：设“天宫”模型进价为每个x元，贝磐神舟”模型进价为每个(％+5)元,

依题意得衅=翟+2,

解得％=20.

经检验，％=20是原分式方程的解4+5=25.

答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元.

(2)解：•・•购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型(100-a)个，

•••w=(35-25)Q+(28-20)(100-a)=2a+800.

•・•购进“神舟•”模型的数量不超过“天宫”模型数帚的上.

a<(100—a)，

解得：QW20.

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w=2Q+800,k=2>0.

・••当a=20时，Wmax=2x20+000=840(元)，

即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元.

【解析】【分析】(1)设“神舟”模型的进价是x元，则“天宫”模型的进价是((%-5)元，根据同样花费20()元，

购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个，列出方程，解方程即可；

(2)根据题意列出函数解析式，根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的1,求出自变量的取值范

围，再根据函数的性质求最值.

23.【答案】(1)证明：・・•四边形4BCD是矩形,

：.Z.BAD=Z.ADE=90°,

4-Z-AFB=90°,

,：AE1BF,

：.^DAE+^AFB=90°,

：./,ABF=4DAE,

在ZMBF和△ZZ4E中，

Z-ABF=Z.DAE

^BAF=^ADE=90°,

BF=AE

：.LABF三△O4EQ4AS),

：.AB=AD,

・•・矩形/1BCD是正方形；

(2)证明：如图，连接EF、BE,

AFD

1^rx

由⑴可知,AABF三△D4E,

：.AF=DE,

・・,正方形ABC。,

：.AD=DC=BC=AB,4。=/C=90°,AB||CD,

：.DF=CE,

t：DF2=AF-AD,

.DF_DE

•・阮一前'

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VZ.FDE=乙BCE=90°,

△FDEBCE,

C.Z-DEF=乙CEB,

'：AB||CD,

：.Z-ABE=乙CEB,

・••乙4BE=乙DEF.

【解析】【分析】（1）由同角的余角相等可得/ABF=NDAE,结合已知，用角角边可证△48F三△OAE,由

全等三角形的对应边相等可得AB=AD,然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形可求证；

（2）连接EF、BE,结合已知，根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得

△FDE^ABCE,由相似三角形的对应角相等可得尸二/CEB,再结合平行线的性质“两直线平行，内错

角相等“可求解.

24.【答案】（1）解：由题意知，BC=BM,

.:乙ABC=66°,

:,乙BMC=乙BCM=57°,

'：Z.ACB=90°,

J.Z.ACM=LACB-乙BCM=90°-57°=33°

（2）证明：连接CD,

•；BC为00的直径，

：./-ADC=90°,

•「AC为过C点的切线，过点。作G）。的切线OE交AC于点E,

：.DE=CE,

工乙EDC=乙ECD,

:iEDC+/-ADE=90°,乙ECD+/A=90°,

/.Z.A=Z.ADE,

：.AE=DE,

：.AE=CE；

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(3)解：连接CD,

由(1)(2)可得4力DC=90°,AE=DE=CE,Z.A=乙BCD=90°-乙B,

3BD

tanzDCS=tan/A=4=而，

・••设8D=3x,CD=4%,则8C=BM=5x,

，•八，3CD4xBC5x

ttan£A=4=AD=AD=AC=ACf

,...16%._20%

••AD=AC=

7Rr

•9-AB=BD+AD

10

•\AM=AB-BC=^-x,

•=^CD-AM=2x4%x竽x=学

SfDE=3sMCD=/X・力。=X4xX竽X=竽/,