【《新课标下数形结合在教学中的应用浅析》9300字（论文）】

绪论（一）研究背景及问题提出众所周知，中学数学分为两大类，即代数和几何，两者有着密切联系，在很多数计算量较大的代数问题中，引入直观图形更有助于提高解决问题的效率，即“以数化形”；反之，在一些问题中，图形过于简单，无法直观观察到关键信息，或可能作不出关键辅助线，此时通过给图形赋值，将其转化为代数问题后更容易解决，例如边长、角度等，即“以形解数”，这便是数形结合思想方法。著名数学家华罗庚曾言“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，通过“以形助数”或“以数解形”，抽象思维与形象思维相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。广大数学教育者已认识到数形结合思想方法的教学价值及其解题功能，如果教师能在教学中有意识地将数形结合思想应用于课堂教学，运用恰当，将有助于学生从不同层面认识和理解数学，长期渗透，从而有助于培养学生形成良好的数学意识，提高解决问题的能力。然而在实际教学中，数形结合思想方法的教学理念并不明确，课堂随意盲目性较大，无法在教学过程中合理布点，甚至有的教师只是将其视为一种解题方法，一带而过，只重视学生解题的正确性，忽视了学生运用数形结合思想的过程和方向。基于上述背景，本文选取湖南教育出版社初中数学（以下简称“湘教版”）教材为研究对象，探讨如何有效的、系统的、有适应性和创造性的将数形结合思想运用于设计教学，加深对教材中此思想的理解和分析，更好的做到“寓数于形，以形释数，以形助教”，及数形结合思想如何具体应用于中学教学。（二）研究方法与思路1.研究思路本文一共分为五个章节。第一章为包括研究背景及内容、思路与方法；第二章为现代中学教学视角下，对数形结合思想进行详细阐述；第三章为相关研究文献综述；第四章为数形结合思想在湘教版数学教材中的体现；第五章给出数形结合思想在实际中学数学教学中的应用及教学案例；第六章对整个研究过程进行反思和总结，并给出教学建议。2.研究方法根据上述研究思路，主要运用的研究方法有文献研究法、案例分析法。2.1文献研究法通过搜集、整理、阅读与数形结合思想在中学教学中的应用相关的国内外文献，主要了解国内研究现状，对研究的主要内容和方法做出总结，思考已有研究成果的不足，提炼出新的视角，为本文奠定理论基础。2.2案例分析法从案例分析入手，提高对数学数形结合思想方法的认识。选择中学数学中的教学内容及经典例题进行分析研究，从案例中发现问题，并结合我国教育体系，提出科学可行的建议和措施。相关概念界定（一）教材《中国大百科.教育卷》对教材的解释为：一指教师指导学生学习的所有教学材料；二指一般以教科书的形式来具体反映，根据一定的学科任务来组织、编选具有一定范围及深度的知识技能体系[1]。由顾明远主编的《教育大词典》对教材的界定可知，教材包括文字教材和视听材料，师生开展教学活动的材料、教师教学的主要媒体即教材，通常是根据课程标准（或教学大纲）的规定，分学科和年级进行编写的。由此可见教材内涵丰富，研究者的立场观点不同，其对教材的理解界定也不同。总的来说，教材的定义有两个：狭义的教材即教科书，指一个课程的核心教学材料；广义的教材指可助于学习者扩充知识和提升发展技能的一切材料。本研究的教材概念即狭义层面的教材，指处于教材体系核心地位、根据课程标准或教学大纲规定编写的教科书，主要以湘教版初中数学课本为主。（二）数形结合思想《中国大百科.教育卷》对数学思想的解释为：从词意阐述思想是指客观存在呈现在人的意志中经过大脑不断加工而出现的结果[1]。许多学者理解不一，故对于“数形结合思想”的界定解读也不同，本文如第一章背景所述，采用下述解释：数形结合是一种表征方式、解题方法及解题思想[2]。相关研究综述在历史上第一次尝试“以形替数”的是毕达哥拉斯学派，曾运用几何物体代替数字，在国内，华罗庚先生在1964年首次提及“数形结合”，此后数形结合思想成为关注和研究的焦点。在现阶段，《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确提出:数形结合是解决数学问题的方法之一[3]。季嘉蕾（2021）、张永忠（2021）、李楠（2021）等人探讨了数形结合思想在小学数学教学中的应用意义与应用策略[4-6]。于冬梅(2021)给出数形结合提升学生数学思维能力的三个建议[7]。季香觅等人（2017）介绍了数形结合思想在线性规划、数列和对称问题中的应用[8]。李子川等人（2017）研究了数形结合思想在中学函数部分的应用，指出数形结合思想能跨越各个知识点间的界限，能加深学生对知识的记忆理解[9]。陈敏等人（2018）总结得出数形结合在实际教学应用中有指导意义，渗透于教学过程，有助于学生自主创新思维能力的形成和发展[10]。任晓华（2019）介绍了如何掌握数形结合思想及如何培养学生的数形结合思想[11]。董洁（2020）指出将数形结合思想应用于初中数学教学，提升了课程质量，是落实素质教育的贯彻[12]。贾艳艳（2021）对初中生数形结合能力进行了理论研究,研究表明初中生在数形结合能力上总体表现一般,仍存在较大的提升空间[13]。于善光（2021）结合自身教学实践，简述了数形结合思想，并探讨了数形结合思维在初中数学的有效应用方法[14]。徐敬华（2021）阐述了在初中函数教学中渗透数形结合思想的必要性，并举例说明数形结合思想在函数教学中的适度渗透的意义[15]。李飞（2021）探讨了数形结合思想在初中数学线上教学中的应用，并就如何引导学生应用数形结合思想解决数学问题,提高解题效率提出了一些可行性措施[16]。陈华平（2019）、徐建国（2021）、何映霞（2021）、孔钱发（2021）等人研究了数形结合法在初中数学解题中的应用、现状及培养策略[17-20]。综上，目前对于数形结合思想在教育教学中的相关研究取得了一定的成果，但当前研究主要集中在小学数学领域，或者中学数学解题方面，对于数形结合在实际的中学课堂教学中的应用研究较少，为本文的研究提供了方向。新课标下数形结合在湘教版教材中的体现新课程标准（2011版）将初中数学课程安排为“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”四个内容，基于湘教版初中数学教材，下面对数形结合思想在“数与代数，图形与几何，统计与概率”三个内容中的应用进行梳理，并选取教材中的部分内容进行详细分析。（一）数形结合在“数与代数”中的体现1.有理数的加减法有理数是湘教版七年级上册的第一课，有理数的认识建立于数轴、相反数和绝对值的学习上，在这一部分充分体现了“以形助数”的数形结合思想，例如将数轴上的点用以表示数，进而认识相反数，借助数轴比较有理数大小，描述绝对值的几何意义和其性质以简便求解数学问题，以及利用数轴直观化有理数的加减法、乘法等。例1.（比较有理数大小）设a<0,b>0，且a>（1）a,b,-a-b的大小关系为（）;（2）a-b〇0，-ab〇0,1a〇1b解析：引入数轴解决这两道题，以形述数，更容易达到培养学生思维清晰的目标。例2.x2+4+GFMNP解析：如下图4-1，构造MN=8，在MN上取点P，满足MP=x,则NP=8-x,作辅助线MG⊥MN，NF⊥MN，其中MG=2，NF=4，联结PGGFMNP图4-1根据勾股定理可得，PG=x因此，x2当G、P、F不在同一直线上，根据三角形三边关系可知PG+PF>GF,当G、P、F位于同一直线上，根据勾股定理可得，PG+PF=GF=(MG+NF)因此x2+4+2.函数与图象例3.已知抛物线y=x2+3m−1x+m+2的图象与x轴交于点A和原点O，请写出函数的解析式；假设在第一象限抛物线上有一点，该点与OA解析：应用数形结合，通过作图可使抽象的问题直观具体化。依题意，∵抛物线与x轴交于原点，∴m+2=0，即m=−2，∴y=x2已知抛物线与a=1>0，函数图象开口向上，假设抛物线的右侧有一E点，过E点作EF垂直x轴，与x轴交于F，如下图4-2所示。FEFE图4-2令x2−7x=0，解得x=0或∴OA=7∵∴EF=8∴x2−7x=8，解得x=-1或因为点B在第一象限，因此B点坐标为（8,4）。（二）数形结合在“图形与几何”中的体现几何本身便可视为数与形之结合，数形结合将代数理论夯实，精确的“数”凸显了数学的严密严谨性，形象直观的“形”显现了数学之美，化抽象为具体，可以令学生更易于理解接受新知，在图形与几何的学习中，关键在于发现、捕捉图形间的联系，应用数形结合寻求深层次内在联系，清晰化看问题的思路。1.几何图形变换例4.如图4-3，矩形草地长为m，宽为n，在草地上有一条水平宽为w的弯曲小路，将草地分成一分为二，求草地部分的面积。草地A草地草地A草地B草地A草地B小路图4-3 图4-4解析：将小路沿着左右边界切割，草地A向右移动w个单位，如图4-4，得到长为（m-c）、宽仍为n的新矩形，故草地面积为n（m-c）.2.三角形及多边形对于三角形及多边形教学板块，可谓是数形结合应用的典型体现。例如通过分割多边形得到三角形内角和，及湘教版八年级上册第二章中的“三角形”板块，教材在第1节中由生活实例观察勾画出三角形，接着给出三角形的定义，以形概数。在第5节“全等三角形”板块，由图形完全重合给出全等概念和性质，在“探究”环节以引导学生动手画三角形，独立思考总结规律，给出判定三角形全等的条件，又由“边、角”关系探析图形性质，学习过程充满数形转化思想。再如湘教版八年级下册第2章在平行四边形定义、性质和判定定理的学习过程中，均是由从等量关系边、角、对角线开始探究，向学生展示了数形结合的数学魅力。3.圆与直线、点和圆的位置关系遵循数学源于生活用于生活，在湘教版九年级下册第2章对“圆”的学习中，同样是从实际生活中的“车轮、光碟、钟表”等实物导入新课，由“形”给出圆的直观印象，而后在点、线、圆与圆的关系，由圆心到点、线距离与圆半径，两圆圆心距离与半径差或和的数量关系得到对应的位置关系，由“数”推“形”，以数解形，充分体现了数形结合的作用。例5.圆的圆心记为O，半径为r，点Q到圆心O的距离OQ记为d，则点和圆的位置关系有哪些可能？解析：（1）当d=r时，Q点在圆上；（2）当d<r时，Q点在圆内；（3）当d>r时，Q点在圆外。（三）数形结合在“统计与概率”中的体现1.数据的整理对数据进行整理即“以数助形”，收集得到数绘制图表，据直观的图表，例折线统计图、扇形、条形统计图描述数据，观察变化趋势，分析数据，进而发展学生在概率统计学习中的数学思维。例6：（七年级上册第154页练习1）七年级（2）班同学在一次课外活动中，有11人当裁判，9人打乒乓球，8人打羽毛球，10人打篮球，剩下12人打排球。请你制作扇形统计图表示出参加各项活动人数占总人数的百分比。解析：步骤一，七年级（2）班总人数为11+9+8+10+12=50（人），计算出参加各项活动人数占总人数的百分比，课外活动裁判乒乓球羽毛球篮球排球占总人数百分比11981012步骤二，计算出各部分扇形的圆心角，课外活动扇形部分圆心角裁判360乒乓球360羽毛球360篮球360排球360步骤三，在同一个圆中，根据上表所得圆心角度数画出各个扇形，并注明各扇形对应活动名称及所占百分比（如下图4-5），图4-52.概率的求解方法例7：（九年级下册第130页例题）解析：（1）可能的传球方式（结果）之一为：甲传给丙、丙传给乙、乙传给甲，球依次落入丙、乙、甲手中，记为（丙、乙、甲），用“树状图”表示所有可能的结果：共有8种出现可能性相等的结果，（2）由“树状图”清晰看到，事件A发生有两种可能的结果：（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）；（3）PA通过“列表法”或“树状图”，学生可以从直观观察中清晰化解题思路，简化问题，体会适当运用数形结合的优越性。新课标下数形结合在教学中的应用数形结合在实际中学数学教学中的应用是极富现实意义的，新课标也强调了培养学生数形结合思想的重要性。教师作为课堂的主导者，学生的引导员，既要掌握基本教学技能，要挖掘数学教材中蕴含的思想和方法，更要帮助学生提炼、掌握思想方法，引导学生内化思想方法。（一）以形助教，新知探索直观化基于数学源于生活且用于生活教学理念，在新知学习前，教学通常由实际情境、实物导入新课，使得新知探索更直观形象，例如八年级下册平行四边形学习中，教材先给出“做一做”（如下图），引导学生观察总结，随后给出平行四边形的定义。（二）以形解数，课堂教学有效化例如，在一次函数、反比例函数、二次函数的教学过程中，借助图象，以形解数，将形象和抽象相结合，引导学生动手画出函数图象，观察图象特点，概括和理解函数图象及其性质，有效提高教学效率。（三）数形结合，解题教学灵活化数形结合主要应用于问题解决，在解题教学过程，充分给予学生思考时间，引导学生积极探索数形结合适用于什么情境的问题及如何用，此外面对部分复杂问题时，在教学中通过数形结合化抽象复杂为简单直观，在教学中向学生展现清晰的、有条理的解题思路，循序渐进，灵活化解题教学。（四）教学案例在教学的任一环节都需要有针对性地因材施教，除了传道授业解惑，更需要有意识和目的地引导学生感知、思考和内化数学思想。以反比例函数为例，依据教学大纲进行教学设计，为其他适用融入数形结合的教学内容提供一些参考。《反比例函数的图象与性质》【设计理念】以人为本，师生共同参与，授人以鱼的同时授人以渔，授人以愉的同时授人以欲，追求教得轻松、学得快乐、低负高效的数学课堂。【教材分析】反比例函数是初中生在二次函数学习之前，正比例函数和一次函数之后学习的新内容，反比例函数概念对于初中生来讲是一个全新的概念，在之前学习里没有接触过，因此对其基本概念认真学习首先要做到，同时学好反比例函数的图象和性质，为后面反比例函数实际应用以及为后续二次函数做了充分准备，起到承上启下的重要作用。【教学目标】1.知识与技能：理解掌握反比例函数的概念；体会反比例函数图象意义；能独立描点作图做出函数图象；能通过图象分析探索并理解反比例函数性质。2.过程与方法：从学习由正比例函数、一次函数得到反比例函数的过程，在过程中获得通过猜想得出规律的学习经验，逐步锻炼合情推理能力，体会转化的数学思想，培养逆向思维，进一步感受和发展数形结合思维、分类讨论、合作交流等学习与探究数学的方法。3.情感与态度：认识与体验反比例函数模型的实用与审美价值，感受数学抽象、数形结合、分类讨论等数学思想方法的魅力，进一步增强学习数学的信心与兴趣。【重难点】1.重点：反比例函数图象作图，抽象出并理解反比例函数图像的性质。2.难点：结合图象理解并掌握反比例函数的性质，能从数与形分析和解决问题。【教学过程】1.感知情境，初步认知首先通过递进式提问帮助学生回顾旧知，问题情境产生认知冲突，驱动学生解题欲望。设问1：我们已经学习过用描点法作一次函数图象，并知道一次函数图象是一条直线，一次函数图象描点作图的步骤有哪些？设问2：反比例函数的解析式是什么？2.数形结合，理解模型（1）从“数”的角度，理解函数模型首先提问“与一次函数解析式对比，反比例函数解析式y=kx（k为常数，k≠0）有什么特征？”，引导学生从解析式的角度理解函数的结构特征及关键信息，渗透分类讨论、化归、以数推形等数学思想方法，为探究函数的图象和性质（2）从“形”的角度，理解函数模型引导学生从图象的角度理解函数的图象特征，动态演示图象生成过程，用形象化语言概括，突出重点，破解难点，同时渗透分论讨论、归纳类比，以形概数等数学思想方法，为探究函数的性质铺垫。首先，提问“研究了一次函数的结构，那么反比例函数的图象具有什么特征？k与图象之间存在什么联系？”。接着，呈现如下问题：“怎么用描点法作出反比例函数y=6x，y=4x,y=2x的图象？”，要求先独立思考再合作交流然后，让小组代表描述所画图象的形状，思考图象是否会与坐标轴相交？图象分布在什么象限？引导学生发挥主观能动性，独立作图、观察分析并大胆猜想。以y=6列表：根据上一节的学习已知反比例函数的自变量x取值范围是非零的实数，所以让x取一些正数值，一些负数值，计算出相应的函数值y,列成下表：x…-6-5-4-3-2-1.5-111.523456…y=…-1-1.2-1.5-2-3-4-664321.51.21…描点：在平面直角坐标系内，横坐标为自变量x的取值，纵坐标为相应的函数值y，描出相应的点，如下图所示，连线：把y轴左边和右边分别用一条光滑曲线顺次连接，如下图所示，（3）数形结合，探究函数性质首先提问，“研究了反比例函数的结构与图象，接下来我们应该探究什么呢？”。追问“探究函数的性质，如何探究？”接着，引导学生类比学习一次函数的方法(如下列表)，即列表和数形结合深入理解，渗透分类讨论、数形结合等数学思想方法，扎实学法指导，养好习惯，再次应用动态数学软件突破难点或凸显关键信息。动态演示k(k>0)引起图象的变化，让学生确信猜想。进而引导学生思考y随着x如何变化？设问3：当x(x>0)逐渐增大时，y轴的左边和右边的各点会如何变化？图象会发生变化吗？x<0时呢？反比例函数k>0k<0图象象限二、四象限一三象限性质x的取值范围是（）y的取值范围是（）x的取值范围是（）y的取值范围是（）在每一象限内，y随x的增大而（）在每一象限内，y随x的增大而（）对称性：1.图象关于原点中心对称2.图象关于直线y=x，y=-x轴对称3.学以致用，巩固模型回答“如何用反比例函数解决问题”，强调学以致用，变式训练，授人以鱼的同时授人以渔。设问4：你可以写出一个图象在第一、三象限，和第二、四象限的反比例函数吗？设问5：请大家独立思考，画出问题4中写出来的反比例函数图象。设问6：已知反比例函数y=k−3x的图象位于第一、三象限，问题7：指出下列图像中，（）是一次函数y=kx和反比例函数y=kx（k为常数，k≠04.小结反思，完善模型全面小结与反思学习过程与结果，相互启发。呈现如下ppt，(1)这堂课，我学到了什么？我是怎样学到的？(2)这堂课，给我留下印象最深的是什么，为什么？(3)这堂课，我还有一些什么想法或发现？强调回顾与思考，接着抽问学生，然后强调指出注意点。5.迁移创新，拓展模型变式问题情境，迁移创新和拓展模型，布置题目：必做题：课本第9页练习题，第12页习题1.2A组，1；2；3。选做题：课本第12页习题1.2A组4；5；13页B组第6题。总结及反思下面就分析结果提出几点建议，并对本文进行反思。（一）教学建议俗话说，要给学生一杯水，教师要有一桶水。教师作为引导者，想要更好的发挥数形结合在中学教学的应用作用，最重要的是教师必须先加强对数形结合概念和思想理念的全面理解，并能够知晓学生对数形结合思想的学习、接受并掌握运用的这一循序渐进的过程，才可能在课堂教学中有针对性地帮助和引导学生主动去探索数与形的练联系。此外，还有以下四点建议：1.概念教学，渗透数形结合数学概念可谓数学的逻辑起点，是学生认知学习的重要基础。中学数学教材给出的概念全都是浓缩，在概念教学中借助图形的直观形象，引导学生由感性认知过渡到理性认识，可以更好的帮助学生完整和系统地理解先前感到抽象的概念。在概念教学中，避免对教材中的概念文本强行记忆，而是通过画图、生活实例举例等表述概念的数形特征，例如对“数轴”、“函数”等概念教学中，可以合理运用信息技术，展示更贴近生活的具体实例，通过画图呈现函数定义域、单调性、值域等基本性质，引导学生观察、分析和总结，激发学生学习兴趣，进而帮助学生理解概念，提高接受新知的能力。2.解题教学，激活数形结合“授人以鱼不如授人以渔”，解题教学是学生学习过程的重要过程之一，这一环节最主要的目标是传授给学生解决问题的方法，更是完善学生的思维认知结构，提高利用数形结合去解决问题的能力。因此，教师需要适当选取典型和有质量的例习题，控制题目的难度，丰富题目背景，在剖析问题过程注重引导学生将关注点放在数形结合应用的情境、条件、题目信息等，进而对解题过程进行思考总结，懂得思考在遇到问题时，应以何种思维、思想去解决，培养初中生以形助数，以数思形，数形结合的能力。3.练习教学，应用数形结合练习做题是中学数学中的一种重要的学习方式，学了还要会用，学生只有在受到适量适度的练习训练，主动去探索数与形之间的关系，能将数形结合思想应用于课上所学，多次练习，才可能理解和掌握所学知识，熟练掌握数形结合的技巧，而后培养提升思维能力，内化数形结合思想为个人的思维产物。练习题是无法做完的，因此需要教师在教学过程中对中考中的数形结合思想可起到事半功倍的相关考察内容、题型和趋势进行研学总结，因材施教，依据学生个人的能力和思维认知水平，有选择性和针对性地挑选练习题，逐步优化和发展学生的认知结构，培养与提高学生的思维能力。4.复习教学，巩固数形结合温故而知新，复习教学是不可或缺的教学环节，复习教学对帮助学生系统掌握知识和发展学生思维能力积极重要，同时有助于弥补教学过程的欠缺。在复习教学中，教师需要帮助学生对知识进行系统完整的归纳整理，但更重要的是，要注意引导学生反思总结和对数形结合思想的深层次理解和掌握，进而巩固数形结合应用意识和内化数学方法和思想，最终进一步提高独立思考解决问题的能力和思维认知水平。（二）反思首先，因为存在现实因素限制,无法通过使用湘教版数学教材的师生了解实际课堂教学情况等，缺乏对教材的动态分析，这有待日后予以完善；其次，由于自身的教学经验不足，提出