浙江省温州市2024-2025学年浙教版八年级上册期末数学培优竞赛试卷1（含答案）

浙江省温州市2024-2025学年浙教版八年级上册期末数学培优竞赛试卷1

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1.设Q=J7-1，贝ij3a3+12Q2-6Q-12=（）

A.24B.25C.4>/74-10D.4夜+12

2.小明在做数学题时，发现一个有趣的结果（如图），由此，我们可知道第100行的最后一个数是（）

14-2=3

44-5+6=7+8

9+10+11+12=13+14+15

16+17+18+19+20=21+22+23+24

A.1OOOOB.10020C.10120D.10200

3.化简—6/0+4>/3—2%的结果是()

A.3+V2B.3-V2C.3+2V2D.3-V2

4.按图中的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值/到，，结果是否>487?”为一次操作，如图操作

四次才停止，那么》的取值范围是（）

1I否

A.x>7B.x<19C.7Vx<19D.7<x<19

5.如图，三角形纸片ABC,点D是BC边上一点，连接AD,把AABD沿着AD翻折，得到△AED,DE

与AC交于点G,连接BE交AD于点F.若DG=GE,AF=4,BF=2,△ADG的面积为热则点F至l」BC

的距离为（）

4店D迪

*—

6.方程x?+2xy+3y2=34的整数解（x,y）的组数为（).

A.3B.4C.5D.6

7.如图，+4B+ZT+乙D+ZE+乙产+4G=几・90。，贝加的值为（）

第1页

B

cG

D

A.4B.5C.6D.7

8.在下列三个2x2的方格中各画出一个三角形，要求所画的三角形是图中△4BC经过轴对称变换后得到的

图形，且所画三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画的三角形涂上阴影，符合要求的三角形的

)

A.3个B.4个C.5个D.6个

9.由1、2、3、4这四个数字组成四位数abed（数字可重复使用），要求满足Q+c=b+d.这样的四位数

共有（）

A.36个B.40个C.44个D.48个

10.若abc=l,a+b+c=2,a2+/?2+c2=3»则1+“上1+1的值为（）

ab+c—1oc+a—1ca+b—1

A.-|B.-1C.?D.1

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）

11.分解因式炉+3xy+2/+轨+5y+3=.

12.甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地，乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上内车；甲车

比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后分钟追上乙车.

13.某商场经销一种商品，由于进货时价格比原价降低了6.4%,使得利润率增加了8个百分点，那么经销这

种商品原来的利润率是.（注：利润率二销』进价x100%）

---------进价

14.已知一个直角三角形的边长均为整数，周长为30,则斜边的长为.

15.设6=33+I+3+当+I1+当+3+…+1■*"—"—7~—2,则与S最接近的整数

71‘2’72’3‘73'4"q2024’2025

是.

16.如图，在平面直角坐标系中，点A（0,V2）,B（V2,0）,C是线段AB的中点，D是x轴上的一个动

点，以AD为直角边作等腰直角△ADE,其中NDAE=90。，连结CE.当CE为最小值时，此时△ACE的面

积是.

第2页

三、解答题(本题共7小题，共46分)

17,设兀为正整数，化前R+袅+另+…+(2九_]；)1(2"+]).

18.如图，在平面直角坐标系中，直线h：y=kix+b(匕和)经过点A(4,0),B(0,2),与直线L：y=

kax(ki^O)交于点P(a,1).

(1)求直线h、12的表达式；

(2)C为直线A上一点，过点C作直线m_Lx轴于E,直线ni交h于点D.当CD=3ED时，求C点的

坐标.

19.一个正整数刈若加上100是一个完全平方数；若加上168,则为另一个完全平方数，求这个正整数.

20.已知。*,(：,居丫,2都是非零实数，且+必+=/+y2+]2=QX+by+CZ，求证：5

ULzV

21.如图1,△/IBC中，CD1AB^Dt且BD:力D:CO=2:3:4.

(I)试说明△4BC是等腰三角形；

(2)已知SM3C=40cm2,如图2,动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N

从点力出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点M运动的时间为£

(秒).

①若八0MN的边与平行,求f的值：

②若点E是边力C的中点，问在点M运动的过桂中，aMDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值，若不

第3页

能，请说明理由.

22.已叫+去+9=忌记求证：

(1)Q,b,c三个数中必有两数之和为零；

11111

(2)对于任意奇数九，均有凝+庐+萍=曲+心己=(a+b+c/

第4页

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：由Q=X/7—1,

可得：a+1=V7，

；•(a+1)2=a2+2。+1=7，

・\。2+2Q=6,

/.3a3+12a2-6a-12

=3a(a2+2a)+6a2-6a-12

=18a+6Q2—6a—12

=6a2+12a—12

=6(a2+2a)-12

=6x6-12

=24.

故答案为：A.

【分析】根据已知条件可得a+l=V7,HiJ(a+1)2=a2+2a+1=7,化简可得a?+2a=6,则3a3+12a?-6a-

12=3a(a2+2a)+6a2-6a-l2=18a+6a2-6a-l2=6(a2+2a)-l2,然后代入计算即可.

2.【答案】D

【解析】【解答】列表找规律

行数1234,..100

381524

该行最后的数・・・

即1x3即2X4即3x5即4x6即100x102

由上表可知，第100行的最后一个数是10200,

故答案为：D.

【分析】根据题意得到规律每层最后一个数为n(n+2),然后代入计算即可.

3.【答案】D

10+4J(加-1尸

【解析】【解答】解：原式一23-6

23-6J10+4V2-4

第5页

=^23-6^4^+6

23-12-6&

=Jll-6V2

=J(3-五》

=3—A/2>

故答案为：D.

【分析】利用二次根式的性质化简解题.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：先列表

操

作

1234

次

数

输

出

3%-23(3%-2)-2=9%-83(9%-8)-2=27x-263(27x-26)-2=81x-80

结

果

由题意得｛次二北/二

解得:7<x<19.

故答案为：D.

【分析】输入x的值，根据程序的运算法则依次运算得到四次后的结果，根据题意列不等式组解题即可.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：・・・DG=GE,

SAADG—SAAEG—

•••SAADE=5»

第6页

由翻折可知，AADB^AADE,BE1AD,

.,.SAAbD=SAADt=5,ZDPD=90°,

.4(AF+DF)・BF=5,

・・g・(4+DF)・2=5,

ADF=1,

***DB=y/BF2+DF2=Vl2+22=VS，

设点F到BD的距离为h,

则点BD・h=^・BF・DF,

即：ixV5h=x2x1»

乙乙

故答案为：B.

【分析】先求出4ABD的面积.然后求出DF长，进而根据勾股定理得到DB长，设点F到BD的距离为

h,再利用/BD・h=2・BF・DF,求出BD解题即可.

6.【答案】B

【解析】【解答】解:方程可化为(x+y)2+2y2=34,

显然x+y必须是偶数，

・•・设x+y=2t,则原方程变为2t2+y2=i7,它的整数解为匕：2

・••原方程的整数解(x,y)=(-7,3),(I,3),(7,-3),(-1,-3),共4组.

故选：B.

【分析】根据式子结构可配成完全平方式，经奇偶分析可进一步缩小平方数的组合范围，后在较小数的平方

数间枚举即可得出答案.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：乙1++乙C++NE+乙/+乙G

=zG+(Z-A+乙D)+(乙B+/C+4E+乙F)

=々G+42+(540°-Z1)

=z.1+540°-zl

=540°

=6x90°.

n=6.

第7页

故答案为：C.

【分析】根据三角形的外角性质转化角，然后根据多边形的内角和定理解题即可.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：如图所示,符合要求的三角形共有5个,

故答案为：C.

【分析】利用轴对称图形的性质，选择不同的对称轴，画图即可解题.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：由题意根据使用的不同数字的个数分类讨论；

（1）只有1个数字，组成的四位数可以是1111,2222,3333,4444,共有4个；

（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2,1、3,1、4,2、3,2、4,3、4）,如果使用

的数字是1、2,组成的四位数可以是1122,1221,2112,2211,共有4个；同样地，如果使用的数字是另外

5种情;兄，组成的四位数也各有4个，于是这样的四位数共有6x4=24个；

（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4,组成的四位数可以是1232,2123,2321,

3212,2343,3234,3432,4323共有8个；

（4）使用4个不同的数字1,2,3,4,组成的四位数可以是1243,1342,2134,2431,3124,3421,

4213,4312,共有8个;

因此，满足要求的四位数共有4+24+8+8=44个.故选C.

【分析】由题意可知这样的四位数可分别从使用时不同数字的个数分类讨论：（1）只有F个数字，（2）使

用2个不同的数字，（3）使用3个不同的数字，（4）使用4个不同的数字，然后分别分析求解即可.

10.【答案】A

【解析】【解答】解：TQ+力+C=2,

第8页

c—1=1—a—b,a—1=1—b—c,b—1=1—a—c,(a+b+c)2=4»

(a+b+c)2=4

联立

,a2+Z?2+c2=3

得ab+be+CQ=*,

・•・原式=―1-+-1—+-1—

ab-a+1-bbc-b+1-cca-c+1-a

111

(a-1)(6-1)+(c-1)(/)-1)+(c-l)(a-1)

a+b+c—3

二(a-i)(b-i)(c-1)

一1

―abc—ac—be—ab+c+a+b—1

-1

♦T+2-1

2

="3-

故答案为：A.

【分析】由已知条件得出c—1=1—Q—b,a—1=1—b—c,b—1=1—a—Ct(a4-/j+c)2=4»然后

计算得到ab+儿+ca=*再代入计算解题.

11.【答案】(％+2y+3)(x+y+1)

【解析】【解答】解：原式=x2+3xy+4x+(2y2+5y+3)

=x2+(3y+4)x+(2y+3)(y+1)

=(x+2y+3)(x+y+1).

故答案为：(x+2y+3)(x+y+l).

【分析】利用分组分解和十字相乘法因式分解解题即可.

12.【答案】180

【解析】【解答】解：设甲、乙、丙速度分别为%匕、c,甲车出发后之分钟追上乙，根据题意:

(40(8-c)=5c①

则1100(a—c)=25c②，

(x(a—b)=20b③

由①得c=

4

-a

由②得c5

第9页

84

-匕--a

95

190b

由③得工(¥。-8)=20b,

*.x=180,

・••甲车出发后180分钟追上乙，

故答案为：180.

【分析】设甲、乙、丙速度分别为°、氏c,根据路程、时间和速度的关系列方程组解题.

13.【答案】17%

【解析】【解答】解：设原进价为a,则后来进价为0.936a,倘售价为匕，

则1x100%一等x100%=8%，

喊U.7猊DOUU

.4=1.17.

；・原利润率=。^x100%=(^-1)x100%=(1.17-1)x100%=17%,

故答案为：17%.

【分析】设原进价为a,销售价为b,先求出a,b的关系，再根据利润率=(售价一进价户进价解题即可.

14.【答案】13

【解析】【解答】解：设两直角边为*从则斜边c=30-a-b,

由勾股定理得a2+b2=(30-a-力9，即(30-a)(30-b)=450,

va+^>c=30-a-b,

.，.a+/>>15.

:.c<15,

•••a<c<15,b<c<15,

*'•15<30—a<30,15<30—b<.30.

.(30-a=25即/a=5

"130-/J=18'U=12'

c=13,

・•・斜边的长为13.

故答案为：13.

第10页

【分析】设两直角边为a、b，则斜边c=30-a—b,根据勾股定理可得(30-a)(30-b)=450,然后利用

三角形三边关系得到整数a,b的值即可.

15.【答案】2025

【解析】【解答】解：Tn为任意正整数,

九2(九+1)2(九+1)2n2

n2(n+I)2n2(n+I)2n2(n+l)2

n2+n+1-

九(几+1)

1

1+n(n+1)

14-1-4，.

nn+l

1111111

AS=1+1—5+I+5•—3+I+5•—彳+…+1+

ZZD342024~2025

1

=2025-

2025

2024

=20242025,

・••与S最接近的数是2025.

故答案为:2025.

【分析】先得到规律/1+3+示备可化为1+玄-击，然后运算判断即可.

16.【答案】1

【解析】【解答】如图，把线段AC绕点A顺时针旋转90。，得到AC,连接CD,过C作CM_LAO于M.

第11页

E

D3

V0A=0B=V2,

.\ZOAB=45°,AB=

AAC=1AB=I,・・・AC'=AC=1.

ZC'AC=90°,

ZC'AM=90o-45o=45°,

.•.△CMA为等腰直角三角形，.二CM=AM]=¥，

v2/

AOM=OA-AM=V2-^=・・・C(—孝，孝)，

・・.C为定点.

在^ACEDIAAC'D中，

(AC=AC

乙C'AD=乙C4E，

(AD=AE

/.△ACE^AAC'D(SAS),

AC'D=CE.

当CTLLOD时，CD最小，CE最小值为挈，此时△ACE面积等于△ACD=1x①x^=L

22224

故答案为上.

［分析】把线段AC绕点A顺时针旋转90°,得到AC,连接CD,过C作CM1AO于M.得到点C的坐

标，可以知道C为定点，然后推理证明△ACEg△ACD,即可将CE转化为CD,分析可得CD_LOD时，

CD最小，即CE最小，解题即可.

17,【答案】解：原式=1(i_g+g_\+<_；+...+急一焉)

11

=2(1-2??+1)

n

=2n+\'

第12页

【解析】【分析】，先得到公式西壶的=看3一焉，利用利用公式裂项相加解题即可解.

18.【答案】解：(1);直线21：、=幻工+力(右。0)经过点人(4,0),B(0,2),

.(0=2

••(4附+b=(T

Ib=2

，直线的解析式为y=-/x+2,

当y=|时，则一,工+2=1,

x-2>

二点P(2,1),

1=2k2，

..1

••K2=2,

・•・直线6的解析式为y=/x；

(2)设点C(t,—/t+2),则点点E(£,0),

3—u3

•，•一t+2=£或一亡+2+5£=0,

**.t=卷或t=-4，

・••点C(K)或(―4,4).

【解析】【分析】(1)利用待定系数法可直线解析式即可；

(2)设点。3-4亡+2),表示点D和E的坐标，根据线段倍数关系列方程可解题即可.

第13页

19.【答案】解：设这个数为工,根据题意，得：x+100=m2@,x+168=M②，

由②①得：(n十m)(n—m)=68,

*/(九+m)与(九一m)奇偶性相同，

则只能是1+m=

<n—m=2

・•・解得：俨=

=18

/.%=m2-100=156.

・•・这个正整数为156.

【解析】【分析】设这个数是》,根据题已得到x+100=nRx+168=n2,作差得到(n+m)(n-m)=68,即可得

至ljn+m=34,n-m=2解题.

20.【答案】证明：由题意得小+产++%2+,2+z2—2(ax+by+cz)=0.—x)2+S—y)2+

(c—z)2=0.

a=x,b=y,c=z.

xyz

Aa=b=?

【解析】【分析】运算可得(a—x)2+(b—y)2+(c—z)2=0,然后根据完全平方的非负性得到a=x,b=y,

c=z解题即可.

21.【答案】(1)解：证明：设=2x,AD=3%,CD=4x,

则4B=5%,

在RtZkACO中，AC=>JAD2+CD2=5%，

:.AB=AC,

.•・△力8c是等腰三角形；

2

(2)解：S^ASC=x5xx4x=40cm>而％>0,

x=2cm,

则BD=4cmAD=6cm,CD=8cm,AC=10cm.

①当MN||BC时，AM=AN,

即10-t=t,

•••t=5,

当ON||8c时，AD=AN,

得：t=6»

.•.若△DMN的边与8c平行时，t值为5或6.

②•••点E是边力「的中点，CDIARf

DE=^AC=5,

第14页

当点M在80上，即0<t<4时，△M0E为钝角三角形，但0M¥DE；

当t=4时，点M运动到点。，不构成二角形

当点M在。A上，即4vtW10时，aMDE为等腰三角形，有3种可能.

如果DE=DM,则1一4二5,

•••t=9；

如果ED=EM,则点M运动到点4

•••£=10；

如果MD=ME=t-4,

过点E作EFl48于F，如图3所示：

图3

vED=EA,

DF=AF=^AD=3,

在RtzME尸中，EF=4：

vBM=3BF=7,

：.FM=t-7

则在々△EFM中，(t-4)2-(t-7)2=42»

49

力二T

综上所述，符合要求的唯为9或10或詈.

故答案为:9或案或警

【解析】【分析】(1)根据比值设BZ)=2x,AD=3x,CD=4x,贝必B=5x,再根据勾股定理得到4C二

5%,即可判断三角形的形状；

(2)根据△ABC的面积可以求出8。、40、CD、ACx然后分为①当MN||8C时，AM=ANx当ON||BC

时，AD=AN；两种情况列方程解题即可；

②当点M在ZM上，即4<t<10时，△MDE为等腰三角形，分为DE=DM、ED=EM、MD=ME三种情况,

利用勾股定理列方程解题即可.

(1)W：证明：设BO=2x,AD=3%,CD=4x,

第15页

则48=5x,

在RtMC。中，AC=>]AD2+CD2=5x.

AB=AC»

•・.△ABC是等腰三角形；

（2）S&ABC=x5%x4%=40cm2.而x>0,

•••x=2cm,

则BO=4cm,AD=6cm,CD=8cm,AC=10cm.

①当MN||8C时，AM=AN,

即10—亡=3

t=5,

当DN||BC时，AD=AN,

得：t=6»

.•.若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6.

②•••点E是边4c的中点，CDJ.4B,

:.DE=,4。=5,

当点M在80上，即0W£V4时，aMDE为钝角三角形，但OM¥OE；

当£=4时，点M运动到点。，不构成三角形

当点M在。4上,即4V£W10时,AMDE为等腰三角形,有3种可能.

如果DE=DM,则£—4=S,

t=9；

如果ED=EM,则点M运动到点4,

•••t=10；

如果MD=ME=亡-4,

过点E作EFJL48于心如图3所示：

DFM

图3

ED=EA,

第16页

DF=AF=^AD=3