圆的方程 快速基础能力提升

专题35圆的方程快速基础能力提升

【考点预测】

一、基本概念

平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.

二、基本性质、定理与公式

1、圆的四种方程

(1)圆的标准方程：(冗-a?+(y-份)=尸,圆心坐标为3力)，半径为r(/•>())

(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心坐标为(_2,_旦］,半径

I22)

.sjD2+E2-4F

r一

2

(3)圆的直径式方程：若43,劣)必&,%)，则以线段AB为直径的圆的方程是

(x-x,)(x_乂)。'_)'2)=()

(4)圆的参数方程：

①/+)J=/(/>o)的参数方程为《x-rcos0(。为参数)；

y=rsin0

②(x-4)2+()，一b)2=/•2(r>0)的参数方程为1-"z»_1_>,C.CS(。为参数).

注：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(a+rcosa〃+rsin夕)(0为参

数，(4加为圆心，，•为半径)，以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后

利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.

2、点与圆的位置关系判断

(1)点。(演),凡)与圆(X-fl)2+(y-b)1=r2的位置关系：

①(x-a)2+(y-b)2>r-<=>点P在圆外;

@(x-a)2+(y'-b)2=r2o点P在圆上；

③a-4)2+G，一份2<r2Q点p在圆内.

(2)点P(x°，孔)与圆工2+V+Dx++产=()的位置关系：

①x；+y；+DXQ+Ey0+F>。Q点P在圆外;

②x；+y；+Dx0+Ei，。+F=0o点P在圆上；

③£+y：+Dxn+坊+尸<0o点尸在圆内.

三、直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交

四、直线与圆的位置关系判断

1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

圆心3㈤到直线Ax+&，+C=0的距离，则4=।丝+刖9：

>JA2+B2

则4<ro直线与圆相交，交于两点P,。，IPQ|=2Vr2-d-：

d=直线与圆相切；

〃>/,<=>直线与圆相离

2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转叱为方程根个数）

Ax+Bv+=0

由<、，"…2，消元得到一元二次方程〃/=。，〃/+/+，=。判别式为4,则:

（x-a）~+（y-b）-=r-

则A〉。0直线与圆相交；

△=0o直线与圆相切；

△<0=直线与圆相离.

五、两圆位置关系的判断

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆Q,。2的半径分别是R.r,（不妨设R>r）,且两圆的圆心距为d,则：

则“<R+厂o两圆相交；

d=R+r。两圆外切；

R—r<d<R+/'u>两圆出I离

d=R-ro两圆内切；

0<d<R-ro两圆内含（d=0时两圆为同心圆）

【典型例题】

例1.（2024.高二.安徽六安.期末）圆心在V轴上，半径为1,且过点（1,2）的圆的方程是（）

A.f+（）,-2）2=1B.x2+（y+2）2=l

C.（x-l）2+（y-3）2=lD.Y+（y_3）2=1

【答案】A

【解析】因为圆心在），轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为（0,6），

则圆的方程为/+。,_初2=],又点（1,2）在圆上，

所以1+（2-））2=1,解得b=2,

所以所求圆的方程为/+"-2）2=1.

故选：A

例2.(2024.高三•全国.专题练习)在平面直角坐标系中，以。为圆心的圆与直线x-Gy-4=0相

切，则圆O的方程为()

A.x2+y2=4B.x2+y2=3

C.x2+>-2=2D.x2+y2=\

【答案】A

【解析】依题意，圆O的半径「等于原点。到直线x-0y-4=O的地离，

即，=pL=2,

所以圆。的方程为f+y=4.

故选：A.

例3.(2024・高三・全国・专题练习)已知圆C:(X-6『+()，+8)2=4,。为坐标原点，则以OC为直径的圆的

方程为()

A.(x-3)2+(y+4)2=100B.(x+3)2+(y-4)2=100

C.(x-3)2+(y+4)2=25D.(x+3)2+(y-4)2=25

【答案】C

【解析】由圆C:(x—6f+(y+8)2=4,可得圆心C(6—8),

又由0(0,0),在以OC为直径的圆的圆心为(3,T),半径为一二；[0。|=5,

则所求圆的方程为(x-3>+(y+41=25.

故选：C.

例4.(2024.高二.四川成都.期末)圆€::"-1)2+()，-1)2=2关于直线/：)，=1-1对称后的方程为()

A.(X-2)2+/=2B.(X+2)2+/=2C.x2+(y-2)2=2

D.d+()，+[l=2

【答案】A

【解析】因为圆C：(.r-lf+(y-lf=2,所以圆C的圆心为(1,1),半径为r=&,

设点(11)关于直线/：丁二工-1对称的点为(知为),

1+%=1+%]

22=2

所以、，,,解得：P八，

止1x1=7屈二°

T

所以所求圆的圆心为(2,0),半径为一夜、

故所求圆的方程为：（X-2）2+/=2.

故选:A.

例5.（2024•广东•一模）过A（T,O）,5（0,3）,C（9,0）三点的圆与一轴交于M,N两点，则|MV|=（）

A.3B.4C.8D.6

【答案】D

【解析】设圆的方程为』+以+或+尸=0,代入点4T0）,3（0,3）,C（9,0）,

1一。+尸=0

则,9+3E+尸=0,解得。=—8,E=0,/=一9,

81+90+尸=0

可得x2+y2-8x-9=0,整理得（I7+/=25符合题意,

所以圆的方程为r+丁-8x-9=0,

令H=0,可得Ja。，解得尸±3,所以|MN|=6.

故选:D.

例6.（2024.陕西西安•二模）设直线x+）」2=0与圆f+）j=4交于AB两点，则|A@=（）

A.V2B.2x/2C.4D.4及

【答案】B

【解析】圆/+/=4的圆心为QO,O）,半径为r=2,

|-2|「

•・•圆心。到直线x+y-2=。的距离［=

Vi2+i2

:.\AB\=2^1r-d1=2小2、（&丫=2&.

故选:B.

例7.（2024•河南一模）已知圆M:（x-2）2+y2=i,则下列说法错误的是（）

A.点（3,2）在圆外B.直线24+），-4=0平分圆M

C.圆M的周长为2兀D.直线上+75），=0与圆M相离

【答案】D

【脩析】由"-2）2+y2=［可知圆心坐标为“（2,0）,圆的半径为1.

对于选项A：由点（3,2）到圆心的距离d=V（3-2）2+22=X/5>1

所以点（3,2）在圆外，故A正确；

对于选项B：因为圆心M（2,0）在直线2x+y-4=0匕

所以圆M关于直线2x+），-4=。对称，故B正确：

对于选项C,圆/W的周长为2口=2兀，故C正确；

对于选项D,因为圆心”（2,0）到直线x+0），=。的距离为4=&；（a2=1，

所以直线x+6），=0与圆M相切，故D错误.

故选:D.

例8.（2024・高三•云南昆明•阶段练习）若点A（0』）在圆。：f+y2-2x+4〃?.y+2"，-1=0外，则实数机的

取值范围为（）

A.口-力B.（-2,0）

（\\、

C.（YO,-l）u--,+00D.（YO,-2）5°，Y°）

1Nz

【答案】D

［解析］圆。化成标准方程为（x-1『+（y+2m）2=2/zr+2,

点入（0,1）在圆。外，则有（0-1）2+（1+2〃?）2>2〃，+2,

即2m2+4m>0>解得m<一2或"A0.

故选：D.

例9.（2024•高二.陕西西安.阶段练习）已知OC；:x2+y2+2x+8y-8=0,00”/+）,2+4工一4）-1=0,则

两圆的位置关系为（）

A.相切B.外离C.内含D.相交

【答案】D

［解•析】因为OG:/十）/十21十8,-8=0可化为（工十|）2+（>?+4|2=25

则C（—l,-4）,半径15,

因为0。2：/+）?+4工一4>一1=。可化为（工+2）2+（），-2『=9,

则。2（-2,2）,半径弓=3,

则|C|G|=J1+36=7^,因为彳一4=2<>/^<弓+"=8,

所以两圆相交.

故选:D.

例10.（2024・高三•全国•专题练习）若方程/+）2—2«+3求+2（1—4/2）），+16/4+9=0。£用表示圆，则实数/

的取值范围是（）

A.{d-l</<yl

B.{d-y<r<l}

c.{d-i</<^}

D.{Ml<r<2}

【答案】B

【解析】由U+E2—4尸>0,得力2-6L1V0,解得一

例11.（2024.辽宁.二模）已知圆F+y2=4与圆f+）,2—8工+4）+16=0关于直线/对称，则直线/的方程为

（）

A.2x+y-3=（）B.工一2），-8=0

C.2x-y-5=0D.x+2y=0

【答案】C

【解析】圆G：/+），2=4,圆心G（0,0）,半径4=2,

G:x2+y2-8x+4y+16=0,圆心G（4，-2）,半径二=2,

由题意知，/是圆G和圆圆心连线的垂直平分线，

•••〈（0,0）,q（4-2）,GG的中点（2T）,

圆心GG连线的斜率为此c,=-2，则直线/的斜率为2，

122

故/的方程：y+l=2（x-2）,即y=2x-5,故C正确.

故选：C.

例12.（2024•北京朝阳一模）已知直线x-Gy+6=0和圆^+尸=/（/>0）相交于4,B两点.若

|明一6,贝什=（）

A.2B.2GC.4D.3及

【答案】D

【解析】圆幻+0=，（->0）的圆心为：（0,0）,半径为

则圆心到直线x-Gy+6=0的距离为4=萼彳=3,

v1+3

由垂径定理可得r=j/2+（空、=行寿=3&-

故选：D.

例13.（2024•四川•模拟预测）若两条直线4：y=x+a,，2：y=x+b与圆/+/-44-2），+，〃=05<5）的四个

交点能构成矩形，则。+〃=（）

A.-1B.1C.2D.-2

【答案】D

【解析】由题意，直线/1，平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等且山〃，

由圆x2+y2-4x-2y+m=0的圆心为(2,1),

I员I心到4:>=x+a的距离为&=--^=—=।।,

圆心至|J/2：y=x+〃的距离为乩=—~~/=~---~~J-,

V2V2

月不以1^1=曙=|1+4=|1+w，整埋得至iJ(a—b)(a+b+2)=0,

由加b,所以〃+b=-2.

故选：D.

例14.(2024•全国•模拟预测)若直线/和圆C的方程分别为y=x+〃?,(x-1)2+()-2>=5-相，则

“3<〃?v5”是"直线/和圆C没有公共点”的()

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条件

【答案】C

【解析】因为(xT>+(y-2)2=5-m表示圆,所以5-〃?>0,即机<5.

若圆。与直线y=x+〃z没有公共点，则圆心Qi,2)到直线y=x+〃?的距离大于半径，

即।音'"'》出一加,解得〃？<一3或3<〃？<5.

所以“3<〃?<5”是“直线/和圆。设有公共点”的充分不必要条件.

故选：C

例15.(2024•广东韶关•二模)过点P(-2,3)作斜率为—2的直线，若光线沿该直线传播经工轴反射后与圆

。:。-3)2+(.》-2)2=/。>0)相切，则广=()

A.&B./C.2D.石

【答案】D

【解析】如图，设经过点P的直线交x轴于点A,反射直线与圆。相切于点8,

直线PA:3，-3=-2(&+2),即)，=-23-1,

令：/=0,解得x=—!，即A（—g,0）,

22

又7+软4=0，所以火私=2,

所以直线BA:y-O=2（A+1）,即21-），+1=0,

则点C（3,2）到直线直线班:2x7+1=（）的距离为d=笆锣=45,

即r=>/5.

故选：D

例16.（2024・新疆•二模）从直线K-y+2=0上的点向圆V+），2—4x-4），+7=（）引切线，则切线长的最小

值为（）

A.也B.1C.叵D.巫—1

242

【答案】B

【解析】圆/+,2_4l_4），+7=0化为（..2）2+（3」21一1,圆心为C（2,2）,半径为1,

直线x-y+2=0上的点，向圆x2+y2-4x-4y+7=0引切线，设切点为A,

则|酬2=|尸（2_/=|尸q2_],

要使切线长的最小，则|PC|最小，即直线上的点与圆心的距离最小，

由点到直线的距离公式可得，IPCImin=邑美曰=五.

所以切线长的最小值为J（小/_1=1.

故选:B.

例17.（2024・高三・河南•阶段练习）己知直线了=履+1与圆f+y2=4相交于LN两点，若1MN|=JiW,

则问=（）

A.yB.1C.V2D.2

【答案】B

【解析】如图所示：

|O-A:-O+1|1

设坐标原点。到直线1=0的距离为"，则d=I/,I=『=.

y]k2+l>Jk2+\

设线段MN的中点为P,则MN_LOP,根据勾股定理，有4=|0M『=|af+|PM『=d2+jMAf.

rh|MN|=E,得4=/+；眼用=普+?,故£二;，解得公=1，故|&|=1.

故选:B.

例18.(2024.广东广州.二模)若直线与圆。:/+),2=]相切，则圆。―4)2+小_加2=：与圆。

4

()

A.外切B.相交C.内切D.没有公共点

【答案】B

【解析】直线旧编・1与圆0：Y+)J=J相切，

则圆心。(0,0)到直线小切0的距离等于圆0的半径1，

即d=/??=1，得〃+从=1.

>Ja+b

圆(A-a)2+(y-h)2=(的圆心坐标为(。㈤，半径为\,

其圆心在圆。I-.,所以两圆相交.

故选：B

例19.(2024•高三•山东青岛•期末)圆。:丁+),2_4=()与圆。：/+),2一41+4)，-12=0相交于4、B两点,

则SwB=()

A.2B.2x/2C.3&D.6

【答案】D

【解析】两圆方程相减得直线的方程为x-)，+2=0,

圆。:/+>2-4工+4)，-12=0化为标准方程(工一2『+(旷+2)2=2(),

所以圆C的圆心为。(2,-2),半径r=2的,

|2-(-2)+2|f—

I员I心C到直线的距离为d=j.(])2=3.2,

弦长|=2"-/=2720-18=272,

所以S3C8=g|A8|W=gx3拒x2及=6.

故选：D

例20.(2024•高三•全国•专题练习)过点P(3,l)作曲线C:曲+<-24=0的两条切线,切点分别为A3,则

直线A3的方程为（)

A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+），-3=0

【答案】A

【解析】由曲线C：f+），2—2x=0,可化为（x—1）2+）,2=1,可得圆心C（l,0）,半径为r=|,

因为PA、分别切圆C于44,所以RARC四点在以PC为宜径的圆半径为「二四=正，

\2；22

故园的方程为：。'：。-2尸+（丁-；）=：,即炉十/一4工一），十3=0I；,

两圆的方程相减，可得两圆公共弦所在直线的方程为2x+y-3=0,

即直线A8的方程为2x+y-3=0.

故选：A.

例21.（2024.山西.模拟预测）写出一个过点（3,4）且与圆C：f+）,2—4.r+3=（）相切的直线方程____.

【答案】工=3或15工-8），-13=0（答案不唯一，写出一个即可）

【解析】依题意，将圆C化为标准方程可得。-2-十/―],则圆C表示以C（2,0）为圆心，半径厂=1的

圆，

当切线的斜率不存在时，过34）的直线工=3正好与圆C相切：

,\2k+4-3k\,15

当切线的斜率存在时，设切线方程为=3）,则.=—.=1,解得左==,此时切线方程

W+18

为15x-8y-13=0.

由于只需写出一个过点（3,4）且与圆（7:/+），2-4工+3=0相切的直线方程，

故答案为：x=3或15x-8y-13=0（答案不唯一，写出一个即可）

例22.（2024・高三•北京顺义•阶段练习）已知直线）=&+〃？（加为常数）与圆/+9=2交于点M.N,当

%变化时，若|MN|的最小值为2,贝卜"=.

【答案】±1

【解析】f+y2=2可知圆心为（0,0）,半径「=应.

圆心到直线的距离：（1=4=.

\J\+k~

由垂径定理可知：|MN|=2/一/=2.

当2=0时，|MN|取得最小值，并且|政7篇=2序不=2-〃=±1,

故答案为：±1.

例23.(2024.天津•一模)已知圆G：/+/=4与圆。2：/+V-8大+6丁+〃?=0外切，此时直线

//+)，+1=。被圆6所截的弦长为.

【答案】2币

【解析】由。炉+,2=4得

22

将C2：W+y2-8x+6y+〃?=O化为标准方程，WC2：(x-4)+(y+3)=25-w(/H<25),

G[4,-3),r2=\l25-m,

因为两圆外切，所以仁]。2|=/+与，即J(0-4『+(0+3/=2+125-〃?,解得〃?=16,弓=3.

G(4,-3)到直线/：x+y+1=0的距离d=片+J=&.如下图:

则直线/：/+丁+1=0被圆G所截的弦长卜同=2亚二形=2>/^»=2近.

故答案为：2J7.

【过关测试】

一、单选题

1.(2024.云南昆明.模拟预测)已知Q4是圆。:/+()，-1)2=1的切线，点A为切点，若|尸4|=2,则点p的

轨迹方程是()

A.(x-l)2+y2=5B.x2+(y-\)2=5C.y2=2xD.x2=2y

【答案】B

【解析】因为|必|=2,所以尸点到圆心的距离恒为亚乔=6,

所以点P的轨迹方程是以(0,1)为圆心，逐为半径的圆，即Y+()，-l)2=5,

故选：B

2.(2024.辽宁大连.一模)过点(T1)和(1,3),旦圆心在x轴上的圆的方程为()

A.厂+y-=4B.(X-2)2+/=8

C.(x-l)2+y2=5D.(A-2)-+y2=IO

【答案】D

【解析】令该圆圆心为（〃，0），半径为「，则该圆方程为

+1=r2[a=2

则有2，解得而,

（1-4+9=r2（r=V10

故该圆方程为（x-2>+），2=10.

故选：D.

3.（2024・浙江•一模）圆+）F—2x+4），=0的圆心C坐标和半径「分别为（）

A.C（l,-2）,r=^B.C（l,-2）,r=5

C.C（-l,2）,r=>/5D.C（-l,2）,r=5

【答案】A

【解析】圆+）?-2x+4）,=0,即+（y+2y=5,

它的圆心C坐标和半径r分别为C（l,-2）,r=V5.

故选:A.

4.（2024.高二.河北沧州.期末）已知点A为直线2x+），-10二。上任意一点，。为坐标原点.则以OA为直

径的圆除过定点（0,0）外还过定点（）

A.（10,0）B.（0,10）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】D

【解析】设OB垂直于直线2x+），-10=。，垂足为8,则直线OB方程为：y=

由圆的性质可知：以04为直径的圆恒过点8,

2x+y-10=0r=4

由1.得：｛0,••・以OA为直径的圆恒过定点（4,2）.

y=2

故选：D.

5.（2024.高二.全国•课时练习）点尸（5,加）与圆/+），2=24的位置关系是（）

A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不确定

【答案】C

【解析】因为5?+病=25+”>24,所以点在圆外,

故选：C

6.(2024.高三.北京西城.开学考试)已知圆/+/=/+4经过点(〃一2,与，且点P(«〃)到点。(1，0)的距离

为3,则()

A.a=­4B.a=2C./?=2\/2D.b=4

【答案】B

【解析】由题意知：(。-2)2+〃=/+4,整理得：①

又由点尸(a,b)到点0(1,0)的距离为3可得：3-Ip+从=9②

4=2a-2

联立①②，解得：8=2厅或\b=-2y/2'

故a=2.

故选：B.

7.(2024・四川南充•二模)已知圆。:/+2%+丁_]=0,直线/：<v+〃(y_l)=O与圆。()

A.相离B.相切C.相交D.相交或相切

【答案】D

【解析】根据题意，直线/的方程为，：x+〃(y-1)=0,恒过定点(0,1),

设户为(0,1),又由圆C:f+2x+y2-i=(),gp(-r+l)2+/=2,

其圆心为(-1,0),半径厂=血，

由|PC|2=?+12=2=/,则P在圆C上,

则直线/与圆C相交或相切.

故选：D.

8.(2024.高三•重庆九龙坡.阶段练习)若直线3一.丫+〃?=0。〃>0)与圆。-1)2+()，-1)2=3相交所得的弦长

为阳，则加=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】圆(一1『+()，-1『=3的圆心坐标为。』)，半径为6

|1-1+m|_m

圆心到直线大一)，+m=0(，〃>0)的距离为

由勾股定理得(+f-l=3,

〃?>0，解得〃z=2.

故选：B.

9.(2024♦辽宁•模拟预测)已知圆C"/+)，2=16与圆G：V+y2+心.+)，+用_]6=0交于A,8两点，当

Z变化时，|AB|的最小值为4豆，则〃2=()

A.0B.±1C.±2D.±>/3

【答案】C

【解析】两圆的公共弦所在线的方程为：如+)，+，〃=0国心C到直线的距离为d=/,

yj\+k2

所以2,16-=4>/3，解行〃z二9.

故选：C

10.(2024.高三.重庆•阶段练习)已知圆C:(x-l『+(y-2)、2,直线/：)，=履-1与圆C相离，点M是直

线/上的动点，过点例作圆C的两条切线，切点分别为A,B,若四边形AC0W的面积最小值为2g,则

()

A.k=-lB.k=-2

C.2=-1或kD.%=-2或4=L

72

【答案】C

【解析】圆C:(AI)2+()，-2)2=2的圆心为C(l,2),半径

由题意可知：5CBA/=25A4CW=2xlx|^W|x>/2=V2|>4M|>2^3.

解得|AM|26，即|AM|的最小值为卡,可知QM的最小值为2a，

11.(2024•而三・河南周口・开学考试)过圆O:f+y2=4外一点p(3,4)作圆。的切线，切点分别为A,B,

则M=()

A,坦2后4x/5D.竽

5~5~—

【答案】A

如图，由题意知|。4|=|。同=2,PA1OA,PB1OB,|。@=屈不=5,

所以|B4|=>JOP2-OA2=向，根据圆的对称性易知0P上AB,

则:x|OP|xM8|=；x|OA|xkP|x2,解得|4理=也史.

故选：A.

12.(2024.云南昆明.一模)过点户(-2,0)作圆C：f+y2—曲_4=0的两条切线，切点分别为A,B,则

四边形E4C8的面积为()

A.4B.4拒C.8D.8夜

【答案】C

【解析】由/+),2一以一4二0,得(彳一2尸+,，2=8,则圆心(2,0),，=2/,

则|PC|=4,则归却=，6—8=2也,

则四边形E4c8的面积为2sdsc=2x；x2&x2&=8.

故选：C

13.(2024・高二•全国•专题练习)已知圆6：/+3，2+2%+8丁一8=0和圆。2："-5)2+()，-4『二25,则圆q

与圆。2的公切线有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】C

【脩析】根据题意，圆弓：/+丁+2%+8>—8=0,即(x+ly+(y+4)2=25,

其圆心G(-L-4),半径左一5,

圆C2：(X-5)2+()，-4『=25,其圆心C2(5,4),半径r=5,

两圆的圆心距|CC|=J(5+1)2+(4+4『=]0=,.+R,

因此两圆外切；

则圆G与圆的公切线有3条.

故选：C.

22

14.（2024.高三•山东枣庄•期末）已知圆G：（x+l）2+（y+l）2=l,0C2:x+y-4x-4y-l=0,则两圆的

公切线条数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】由题意圆6：5+1）2+（3叶1）2=1是以（-1,-1）为圆心1为半径的圆；

。2/2+丁2_4》_43，-1=0即（.2）2+（），-2）2=9是以（2,2）为园心3为半径的圆；

I员1心距满足d=J9+9=3>/2>1+3=4,所以两圆相离，

所以两圆的公切线条数为4.

故选：D.

15.（2024.高三.河北衡水.阶段练习）圆G：*-3）2+），2=9与圆。2：/+1/+8），=0的公切线条数为（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由G：（x—3）2+），2=9可知圆心为（3,0）,半径4=3,

由G：—+y2+8），=0,即。2：/丁（），+4『=16,

则圆心为（0,-4）,半径4=4,

则两圆圆心距离为〃=行二不=5，彳+弓=7,4-弓二一1,

故心一目<1<1+4,即两圆相交，故公切线条数为2条.

故选:B.

16.（2024•高三•江苏苏州•期中）圆d+V-6x+4y+l2=0与圆Y+y2-14%-2y+14=0的公切线的条数是

A.iB.2C.3D.4

【答案】A

【解析】圆/+）,2-6.1+4），+12=0化成标准方程为（X-3『+（），+2）2=1,知。（3,-2）“=1

圆/+），2一14%一2），+14=。化成标准方程为（工一7『+（），-1）2=36,知。亿。,，'=6

圆心距|。02|=）（3-7）*+（-2-=5=弓-「可知两圆内切，则两圆有1条公切线.

故迄A

二、多选题

17.（2024.广东韶关•一模）已知圆W:』+y2-6x-8），=0,点P（2,2）,下列命题正确的是（）

A.圆M的圆心为（3,4）

B.过点。的直线可能与圆M相切

C.圆”上的点到点P距离的最大值为5+石

D.若以。为圆心的圆和圆M内切，则圆。的半径为5-6

【答案】ACD

【解析】选项A：J+y2-6x-8.y=0变形为（x—3y+G，—4『=25,

圆心为（3,4）,厂=5,A正确；

选项B：22+22-6X2-8X2<0，故P点在圆内，

故过户点的直线不可能与圆相切，B错误

选项C：圆M上的点到点”距离的最大值为圆心（3,4）到P（2,2）的距离加上半径，

即=J（3-2）2+（4-21+5=5+君,C正确；

选项D：两圆的位置关系为内切，且点尸在圆M的内部，则圆P的半径为―-|向7|=5-石，D正确.

故选：ACD

18.（2024.高三.湖南邵阳.阶段练习）已知圆C:/+y2—2x=0,则下列命题正确的是（）

A.圆C的圆心是（0,1）B.点（1,0）在圆C内

C.圆C的最大弦长为2D.过原点可以作圆。的两条切线

【答案】BC

【解析】将圆的方程化为标准方程可得（x-iy+y2=i,则圆C的圆心坐标为（1,0）,半径为1,

则圆C的最大弦长为2,

因为（0-1『+。2=1,则原点在圆C上，则过原点可以作圆C的一条直线，

BC对，AD错.

故选：BC.

19.（2024•辽宁葫芦岛•二模）过四点（0,0）,（4,0）,（71）,（4,2）中的三点的圆的方程为（）

A.（x-2）2+（y-l）2=5B.（x-2）2+（^-3）2=13

C.（x-^）2+（y-^）2=22D.U-|）2+（y-1）2=|

【答案】AB

【解析】对于A,点（0,0）,（4,0）,（4,2）在圆@一2）2+3一1）2=5上,故A正确;

对于B,点（0,0）,（4,0）,（—1,1）在恻（x—2）2+（），—3>=13上，故B.正确；

对于C,点（0,0）,（-1,1）都不在圆—$2+。管2=22上,故C错误;

QQ

对干D,点（4,0）,（-1」）都不在圆“一『+（），—1）2=］上，故D错误；

故选：AB.

20.（2024.云南封河•二模）若圆。|“2+/+2入-3=0与圆O2：V+y2-2y-l=0交于A8两点，则下列选

项中正确的是()

A.点(1,-1)在圆。2内

B.直线A3的方程为x+y—1=0

C.圆。|上的点到直线A3距离的最大值为2+夜

D.圆。2上存在两点P，。，使得归@>|明

【答案】BC

【解析】对于A,0^12+(-1)2-2X(-1)-1=3>0,所以点。，一1)在圆。2外，故A错误；

对于B,因为圆。1和圆Q相交，将两圆方程作差可得：2x+2y-2=0,

即公共弦人8所在直线的方程为工+)，-1=0,故B正确；

对于C,圆01的圆心坐标为(-1，0),半径为2,

圆心。1到直线A3：4+>-1=0的距离为"=上2=血，

V2

所以圆。।上的点到直线AB距离的最大值为2+正，故C正确；

对于D,直线A8经过圆。2的圆心(0/)，而0+1—1=0，

所以线段A8是圆。2的直径，故圆。2中不存在比48长的弦，故D错误.

故选：BC.

21.(2024•河北沧州•模拟预测)己知圆CI：f+)，2_2x-2y-2=0,圆g:―+)/一曲-10y+32=(),则下

列选项正确的是()

A.直线GG的方程为4x-3y-l=()

B,圆G和圆共有4条公切线

C.若P,Q分别是圆和圆C?上的动点，则归。|的最大值为10

D.经过点。，G的所有圆中面积最小的圆的面积为2三5兀

4

【答案】ACD

【解析】由题意得，I员ia：(x-l)2+(y-l)2=4的圆心半径4=2,

圆C2：(x-4)'+G，-5)'=9的圆心C2(4,5),半径4二3,

对于A,直线GG的方程为兵BP4x-3j-l=0,所以A正确；

5-14-1

对于B,因为|C£|/("Ip+(57)2=5且彳+3+3=5,可得|c£|=q+&,

所以圆G与圆4外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错误；

对于C,因为|CG|=5,所以的最大值为|GG|+A+2=1。，所以C正确；

对于D,当|CG|为圆的直径时，该圆在经过点C，c2的所有圆中面积最小，

此时圆的面积为兀图2弓兀，所以D正确.

故选：ACD.

22.(2024.高二.湖南郴州•期末)已知圆C:d+y2-4x-2y-13=0,则下列命题正确的是()

A.圆心坐标为(2,1)

B.直线/：x+)~l=O与圆C’相交所得的弦长为8

C.圆C与圆O:f+V=8有三条公切线.

D.圆C上恰有三个点到直线y=x+〃的距离为拉，则0=3或-5

【答案】ABD

【解析】对于A中，由圆C:/+y2—4x—2y—13=0,可化为(..2)2+()，-1)2=18,

可得圆心CQ』)，半径为r=3夜，所以A正确；

对干B中，由圆心C(2,1)到直线/:x+y-1=0的距离为"=爰=&,

则相交弦长为2尸彳=243人丫一曲=8,所以B正确；

对千C中，由圆O:f+y2=8,可得圆心须,0),半径产2加,

可得|OC|=6，且「一彳=50,则-<|0。|<一+(，

所以圆。与圆C相交，可得两圆有两条公共切线，所以C错误；

对于D中，由网CN•合令二个点到直线了=工+匕的距离为&,

则满足圆心C(2,1)到直线X-)，+〃=0的距离为2&，即、十目=20,

解得)=3或沙=一5,所以D正确.

故选：ABD.

23.(2024.黑龙江齐齐哈尔••模)已知圆G：(x-3)2+)，2=lC：/+(y_a)2=i6,则下列结论正确的有

()

A.若圆G和圆C2外离，则a>4

B.若圆G和圆。2外切，则。=±4

C.当。=0时,，圆C1和圆C?有且仅有一条公切线

D.当。=-2时，圆G和圆G相交

【答案】BCD

【解析】4(3,0),。2(0，。)，|。d='9+乙”=1,4=4.

若C]和G外离，则|C£|=的+£?>.=5,解得a>4或〃v-4,故A错误；

若CMG外切，|。6|=历靛=5,解得〃=±4,故B正确；

当4=0时.，|GGl=3=q7i，G秆g内切，故C正确；

当。二一2时，3<|CC|=屈<5<和C?相交，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

24.(2024.高三•河北阶段练习)已知圆C满足以下两个条件：①圆C的半径为G；②直线//-)-3=0

被圆。所截得的弦长为2.写出一个符合以上条件的圆C的标准方程为.

【答案】(x+1曰+./=3(答案不唯一)

【解析】设圆。的圆心坐标为3力)，因为直线/：x-y+3=。被圆。所截得的弦长为2,圆的半径为6，

所以『"一”"]+产=(百了,整理得〃_。+3=2或。一〃+3=—2,所以〃一。=一1或〃一。=一5.

IV2J

可取〃=-1,力=0,止匕时圆C：(X+1)2+)，2=3.

故答案为：。+1)2+了=3(答案不唯一)

25.(2024.高三.浙江湖州.期末)已知圆C的圆心在直线y=x+l上且与V轴相切，请写出一个同时满足上

述条件的圆的标准方程：.

【答案】3+1)2+)，=1(答案不唯一，(x—a『+()，—a—l)2=G(awR))

【解析】因为圆。的圆心在直线J=x+1上，不妨设其圆心cg,“+ix〃wR),

又因为圆。与>轴相切，则半径为「=同，

所以圆C的标准方程为(x—a)?+()，—〃—I)?=/(aGR),

取。=—1,则一个同时满足上述条件的圆的标准方程为(x+l)2+V=l.

故答案为：*+»+)，=1(答案不唯一，(x-a)2+(y—a-l)2=/(aeR))

26.(2024・高三•全国•专题练习)圆心在直线2/-)，-7=。上的圆月与)，轴交于八(0,-4),8(0,-2)两点，则

圆£的方程为.

【答案】(x-2)2+(y+3)2=5

【解析】由题意设圆心E(&2a-7),因为陷=|明=r,

所以/+(加一3『二/+(2〃-5)2,解得〃=2,

则半径r=4目="讦=石，圆心为E(2,—3),

则圆的方程为(X-2)2+()，+3)2=5.

故答案为:(x-2)2+(y+3)2=5

27.（2024.全国.模拟预测）若过点（3,1）的圆与两坐标轴都相切，则该圆的半径为.

【答案】4+卡或4-后

【解析】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（〃,〃），。>0，

则圆的方程为（x—4+（y—4=/，

再将点（3,1）代入（3-〃）2+（1-〃）2=/,得.=4土C.

故答案为：4土R.

28.（2024.高三.海南省直辖县级单位•阶段练习）写出一个圆心在x轴.匕且与直线），=弓工柱切的圆的标

准方程：.

【答案】3-2）2+y2=i（答案不唯一）

【解析】结合题意：设圆的标准方程为（x-a）2+.y2=〃，

因为该圆与直线），相切，

日

所以圆心（“0）到该直线3-3y=0的距离d=“百y32="，即a=2-，

则该圆的标准方程为：（x-2r）2+y2=，，

不妨取〃=1,故此时圆的标准方程为：*-2）2+9=]

故答案为：U-2）2+.y2=l（答案不唯一）.

29.（2024•广西•模拟预测）已知圆M：r+y2+6x+8y=0关于直线x-y+l=（）对称的圆为.

【答案】x2+y2+\0x+4y+4=（）

【解析