高考数学复习考点讲练：导数的基本应用（讲）解析版

第一篇热点、难点突破篇

专题04导数的基本应用（讲）

真题体验感悟高考

I.（2022•全国•高考真题（理））当工=1时，函数/（x）=alnx+2取得最大值_2,则/'（2）=（）

x

A.-1B.--C.TD.I

22

【答案】B

【分析】根据题意可知/（1）=・2,/'（1）=0即可解得再根据/'（X）即可解出.

【详解】因为函数/⑺定义域为（0,+8）,所以依题可知，/（1）=-2,/（1）=0,而广⑴一一与，所以

XX

22

b=-2,4-〃=0,即"-2,6=-2,所以,（x）=—W+彳，因此函数/（X）在（0,1）上递增，在（1,+8）上递减，x=l

XX

时取最大值，满足题怠，即有了'（2）=T+g=-g.

故选：B.

2.（2022•全国•高考真题（文））函数/（、）=cosx+（x+l）sinx+l在区间［0,2司的最小值、最大值分别为（）

7171兀兀-兀兀C-3兀兀c

A.—>-B.-----,—C.—»—F2D.----->—F2

22222222

【答案】D

【分析】利用导数求得/（工）的单调区间，从而判断出八》）在区间［0,2兀］上的最小值和最大值.

［详解］/'（X）=-sinx+sinx+（x+l）cosx=（x+l）cosx,

所以/'（X）在区间阊和仔,2冗）上八卜）>0,即/（X）单调递增;

在区间仁有）上f'（力<0,即/（”单调递减，

乂/（0）=/（2冗）=2,呜卜>2,/（当卜一仁+

所以/⑺在区间［0,2可上的最小值为-最大值为g+2.

故选：D

3.（2022•全国•高考真题（理））已知a=N*,b=cosLc=4sinL则（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

e11

【分析】由工=4tanT结合三角函数的性质可得c>b;构造函数/(x)=cosx+7x2-l,xe(O,+。),利用导数可得

b42

…，即可得解.

【详解】［方法一卜构造函数

因为当xe(0,5,x<tanx

C1c

故：=4tan:>1,故工>1,所以c〉b；

h4b

设/(x)=cosx+gx2-l,xe(0,4-oo),

fW=-sinx+x>0,所以f(x)在(0,+8)单调递增,

1A131

故>/(O)=O,所以cos；-弓>0,

\A)432

所以A>a,所以故选4

［方法二］:不等式放缩

因为当xe(0,2,sinx<x,

I2)

1।।/1YQi

取得：cos—=1-2sin2—>I—2—=—>故

848⑶32

4sin-+cos—=VT7sin(^—+,其中。,'且疝联上段。=3

V17V17

当4sin，+cos』=VT7时，—+^9=—,及(p=七-'

444224

此时sin!=cose=-^,cos!=sine=J

4V174V17

l_L<ii

ttC0S==sin<4sin故b<c

4折后44

所以A>a,所以。>力>4,故选力

［方法三人泰勒展开

gnocmu3110.252,1,0.2520.254

ixx=0.25,贝Ua=—=1----------,b=cos-al-----------+-------->

322424!

…1sm7,0.2520.254j3

c=4sin-=——=s1-----+——)计算得故选A.

43!5!

4

［方法四］:构造函数

因为f=4tan，，因为当xejo，V］,sinx<xvtanx,所以tan,>［,即1,所以c>8；设

b4V2；44b

/(X)=COSX+|X2-1,XG(0,-HX)),/Xx)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+功单调递增，则/(0)=0,所以

131

cos----->0,所以。一，所以c>6>a,

432

故选：A.

［方法五］:【最优解】不等式放缩

因为£=412/,因为当工€(0,：］,$吊工<.1<12113，所以12//,即：>1,所以06；因为当xe()，m),sinx<x,

h4V2J44/,V2J

11I门41

取x二大得cos—=1-2sin?->1-2-=—,故，>“，所以C>6>Q.

848⑶32

故选：A.

【整年点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe(0,5)，sinx<x<tanx放缩，即可得出大小关系，属于最优解.

4.(2021・全国•高考真题)若过点(。,6)可以作曲线p=e'的两条切线，则()

A.eh<aB.ca<b

C.0<tz<c/,D.0<b<ca

【答案】D

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果;

解法二：画出曲线_)，=/的图象，根据直观即可判定力：(。力)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】在曲线y=F上任取一点对函数丁=产求导得V=e"

所以，曲线y=e'在点尸处的切线方程为y—e'=e'(xT),即y=e'x+(lT)d,

由题意可知，点(。力)在直线歹=e'x+(lT)d上，可得b=ad+(lT)e'=(a+l-f)e\

令/(，)=S+l-/)d,则/'。)=1一)-.

当X。时，此时函数/(。单调递增，

当"。时，/(/)<0,此时函数单调递减，

所以，=/(〃)=，，

由题意可知，直线卜=方与曲线歹=”，)的图象有两个交点，则6</«)2=/,

当时,/(/)>0,当L+1时，〃。<0,作出函数/(f)的图象如下图所示:

由图可知，当0<b<e。时，直线y=b与曲线y=/(f)的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线y的图象如图所示，根据直观即可判定点(db)在曲线卜方和x轴上方时才可以作出

故选：D.

【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行

估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础匕直观解决问题的有效方法.

5.(2022•全国•高考真题(文))已知函数/*)=/—工名(幻=/+。，曲线》=/*)在点($,/($))处的切线也

是曲线V=g(x)的切线.

(1)若王=-1，求a；

(2)求。的取值范围.

【答案】(1)3

⑵[-1，同

【分析】(I)先由/&)上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求

出。即可；

(2)设出g(x)上的切点坐标，分别由/(x)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出。，构造函数，

求导求出函数值域，即可求得〃的取值范围.

(1)

由题意知，=-1-(7)=0,/'(幻=3/-1,A-l)=3-l=2,则y=/(x)在点(-1,0)处的切线方程为

y=2(x+l),

即j，=2x+2,设该切线与g(x)切广点(马者(工2))，g'(x)=2x,则8'(与)=2*2=2,解得々=1,则

g⑴=1+。=2+2,解得a=3：

(2)

f(x)=3x2-l,则y=/(x)在点(x“(X))处的切线方程为y-(MrJ=(3x：-l)(x-xJ,整理得

y=(3x；-1卜-2玉3,

设该力线与g(x)切丁・点仁应区))，gV)=2x,则g区)=2M，则切线方程为)一[；+。)=24公々)，整理得

y=2X2X-X：+a,

a31I

令力Q)=-x」一2/一一『+一，则〃'(工)=9.一一6/一3》二31(3工+1)。一1),令〃(x)>0,解得一〈》<0或4〉1,

4243

令如)<0,解得％<一；或0"<1,则x变化时，Mx),"。)的变化情况如下表：

_1-0

XST)I?)0(01)1(1,+00)

~3

“（X）一0+0—04-

5

妁）]Z]-1Z

274

则A（x）的值域为11,y），故。的取值范围为

总结规律预测考向

（-）规律与预测

1.高考对本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次

是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不

等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性

有机结合，设计综合题.

2.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小.

3.应月导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问

题.

4.涉及导数的几何意义、单调性、极（最）值的求参数取值范围问题，是常考题型.

（二）本专题考向展示

考点突破典例分析

考向一导数的几何意义

■

【核心知识】

1.基本初等函数的导数公式

原函数导函数

Ax)=c(c为常数)r(x)=o

Ax)=sinx/(x)=cosx

,/(x)=cosx/(x)=-siav

fl.x)=ax/(x)=arlna

段)=廿./W=e*

J(X)=\0gaX

/(x)=：

/(x)=lnx

人

2.导数的运算法则

(1)师)土g(x)]'=/(x)土g'(x)：

(2)[/(x>g(x)]'=/(x)ga)+Hx)g'3)：

F/U)!/(x)g(x)—gj>/(x)

(3)(g(x)WO).

|_g(x)」g,(x)

3.函数次幻在xo处的导数是曲线/(x)在点P(w/(3)处的切线的斜率，曲线/(x)在点P处的切线的斜率〃=/'('%)，

相应的切线方程为y—/(xo)=/'(xo>(x-xo).警示:求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点尸的

切线，前者点夕为切点，后者点夕不一定为切点.

【典例分析】

典例1.(2022・贵州遵义高三期中(理))若直线y=Hx-l)与曲线y=e*相切，则切点的坐标为

【答案】(2d)

【分析】设切点为(马/。)，求出函数的导函数，即可得到方程组，解得即可.

【详解】解：设切点为伍,为)，

:.k=e"，

又，.一=e"(x°T),解得x0=2,

儿=4(%-1)

・•・切点坐标为(Ie?).

故答案为：(2,e?)

典例2.（2021・全国•高考真题）已知函数/（幻=,-1|,$<0,々>0,函数〃x）的图象在点力（而,/（菁））和点

8（々，/（七））的两条切线互相垂直，且分别交），轴于"，N两点，则静1取值范围是.

【答案】（0,1）

【分析】结合导数的几何意义可得再+刍=0,结合直线方程及两点间距离公式可得==也|，

忸川=川+/2.网,化简即可得解.

々、।vI]-ex,x<0、\-e\x<0

【详解】由题意，/（x）=^-l=v则1（x）=>

[e-l,x>0[e,x>（）

xX}

所以点一d）和点8（马,泊一1|,kAM=-e\kBN=e,

X1

所以-e*'e=-l,x)+x2=0,

x,x,x,x,

所以4W:y-l+e=-e（x-x（）,2W（0,ext-e+1）,

所以=《X；+=Jl+e）•INI，

同理|8叫=4+匹卜|,

所以网=叵三闻=叵查=/1+g2X，=e-e（01）

故答案为：（0,1）

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件$+.0=0,消去一个变量后，运算即可得解.

典例3.（2019•江苏•高考真题）在平面直角坐标系xQr中，P是曲线y=x+2（x>0）上的一个动点，则点P到直

X

线x+y=0的距离的最小值是.

【答案】4.

【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离

4

【详解】当直线x+y=o平移到与由线夕=.丫+-相切位置时，切点。即为点尸到直线x+y=o的距离最小.

X

由y'=i-■^=-1,得x=&（-&舍），》=3人，

X-

即切点。（枝,3伪,

则切点0到直线x+V=0的距离为Nj+32|=4,

故答案为4.

【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式

法，利用数形结合和转化与化归思想解题.

【总结提升】

1.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法

⑴已知切点P(x°,yo)，求y=f(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率式殉),由点斜式写出方程.

(2)已知切线的斜率为k,求y=f(x)的切线方程：设切点P(x0,y°),通过方程k=F(xO)解得x0,再由点斜式写出

方程.

(3)已知切线上一点(非切点)，求y=f(x)的切线方程：

设切点P(x。，y。)，利用导数求得切线斜率「(X。)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得xn,再由点斜

式或两点式写出方程.

2.•些距离类最值，可以转化为求一条直线上的点到一条曲线上的点的最小值，此时与已知直线平行的曲线的

切线到已知直线的距离即为最小值.

考向二利用导数的几何意义求参数

■■■■■■■■■■■■■.■■■■■■•■■0•.■■■■■■■IBM■■■■■■■■■■■■■■MHi■■.■■■■

【核心知识】

主要涉及公切线问题、两直线位置关系问题、切点坐标、切线的斜率(切线方程)问题以及与切线相关的距离

问题.

【典例分析】

典例4.(2022•河南一模(理))已知曲线)，=机2在点(0,加)处的切线与直线歹=工垂直，则实数加的值为

().

A.-log2eB.log,eC.-In2D.In2

【答案】A

【分析】根据导数几何意义和垂直关系可得/'(0)=-1,解方程即可.

【详解】令/(%)="2",则/'(x)=〃?ln2-21

Q/(X)在点(0,〃。处的切线与y=x垂直，・.•/'(())=，〃ln2=—l,解得：加=——=—k)g,e.

In2

故选:A.

典例5.(2021・全国•高考真题)若过点(。力)可以作曲线p=e，的两条切线，则()

A.J<aB.ea<b

C.0<6r<ez1D.0<b<ea

【答案】D

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果;

解法二：画出曲线y=8的图象，根据直观即可判定点(。力)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】在曲线y=/上任取一点尸«0),对函数y=/求导得了=/,

所以，曲线y=/在点尸处的切线方程为j，-e'=d(xT),即y=dx+(lT)d,

由题意可知，点(。⑼在直线y=e'x+(lT)d上，可得6=ad+(lT)e'=(〃+lT)d,

令/(/)=(a+l-)d,则/'(，)=(〃T)d.

当/时，/(/)>0,此时函数/⑺单调递增，

当"。时，此时函数/(>)单调递减，

所以，/⑺皿-/。-/,

由题意可知，直线y=6与曲线y=f(f)的图象有两个交点，则

当，<〃+1时，当"Q+1时，/(/)<0,作出函数/(f)的图象如下图所示：

由图可知，当0<b<e。时，直线y=b与曲线y=/(f)的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线y的图象如图所示，根据直观即可判定点(db)在曲线卜方和x轴上方时才可以作出

故选：D.

典例6.(2022•全国•高考真题)若曲线y=(x+Ge'有两条过坐标原点的切线，则〃的取值范围是,

【答案】(―8,-4)U(0,”)

【分析】设出切点横坐标毛，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于小的方程，根据

此方程应有两个不同的实数根，求得〃的取值范围.

【详解】丁y=(x+a)e',y*1=(x+\+a)ex,

设切点为(与,"),则为=(%+。)*,切线斜率%=(为+1+。)*，

切线方程为：y—(%+。)。/=(.%+1+。)峭(.”不)，

•・•切线过原点，，一(x0+a)e%=(x°+l+a)e"(-/)，

整理得：xl+axo-a=O,

•・•切线有两条，△=/+4〃＞0,解得。＜・4或。＞0、

・•・a的取值范围是(—8,-4)U(O,a),

故答案为：(一刃,-4)U(0,*o)

【总结提升】

利用导数的几何意义求参数的基本方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组％进而求出参数

的值或取值范围.

考向三利用导数研究函数的单调性

【核心知识】

导数与单调性的关系

1.〃刈＞0是/(X)为增函数的充分不必要条件，如函数/(x)=x3在(-00,+8)上单调递增，但/(X心0;

2./(x)K)是儿丫)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有/(x)=0时，则./(X)为常数，函数不具有

单调性.

【典例分析】

典例7.（2022•全国•高考真题）设a=0.1e°」/=!c=-ln0.9,则（）

A.G<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【分析】构造函数/(x)=ln(l+x)-%，导数判断其单调性，由此确定出仇。的大小.

【详解】方法一：构造法

设/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因为/'(A-)=-^--1=,

\+X1+X

当X€(—1,0)时，f\x)>0,当X€(0,+8)时/'(x)<o,

所以函数/(x)=ln(l+x)X在(0,卜8)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以/'(")</(0)=0,所以故g>ln?=-ln0.9,即6>c,

1Q10--111

所以八-而)<〃o)=o,所以心正一历<°，故言…所以3°%

故a<b,

I(x?—l\e'+1

fx

设g(x)=xe'+ln(I-x)(0<x<l),贝!g(x)=(x+l)e+—=-——，

令砥r)=e、(x2-l)+l,A,(x)=er(x2+2x-l),

当时，、(x)<0,函数％(》)=6(2-1)+1单调递减,

当时，〃'(力>0,函数抑x)=e%x2-l)+l单调递增,

又力⑹=0,

所以当时，方(x)<0,

所以当时，g'M>0,函数g(x)=xe、+ln(l—x)单调递增，

所以g(01)>g(0)=0,即0.1e°」>Tn0.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

解：«=0.1e°,,〃=，c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①ln^-lnb=0.1+ln(I-0.l),

令f(x)=x+ln(l-x),xe(0,0.1],

LL

贝ij/(-V)=I--=7-<O,

\-x1-x

故/(x)在(O.o.l]上单调递减,

可得/(0.1)</(0)=0,即Ina-In5<0,所以a<b；

②a-c=0.1Z,+ln(I-O.l),

令g(x)=xex+ln(l-x),x€(0,0.1］,

r

M.I,/xv1(l+x)(l-x)e-1

则g(x)=xe+ex-----=--------------,

')\-x\-x

令k［x)=(1+x)(l-x)ex-1,所以ArrU)=(1-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上单调递增，可得«)>A(0)>0,即g\x)>0,

所以g(x)在(0,0.1］上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

【注：此类问题已连年考查】

典例8.(2022•广西北海一模(文))函数y=e'-e2x的增区间为.

【答案】［2,物)相(2,+8)

【分析】解不等式解=e，-e2>0即得解.

【详解】由题得y'=e'-e2>0,可得工>2.

故函数的增区间为［2,+8).

故答案为：［2,+oo)

典例9.(2021•全国•高考真题(文)；设函数/(x)=//+at-31ni+l,其中a>0.

(1)讨论/(工)的单调性；

(2)若)，=/(、)的图象与x轴没有公共点，求。的取值范围.

【答案】(1)/(x)的减区间为(0-］，增区间为U，+8)：(2)«>-.

【分析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

(2)根据/⑴>0及(1)的单调性性可得/(刈埒>0,从而可求”的取值范围.

【详解】⑴困数的定义域为(0,+«>),

又加)=(2如+3)3。

X

因为。>0,x>0,故2ar+3>0,

当0<x<,时，f(x)<0；当时，f\x)>0；

aa

所以/(x)的减区间为增区间为+8).

（2）因为/⑴=/+。+1＞0且y=/（x）的图与X轴没有公共点，

所以y=/（x）的图象在X轴的上方，

由（1）中函数的单调性可得/（力的=/g）=3_314=3+31n%

故3+3M。＞0即。＞1.

e

【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不

含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.

【规律方法】

1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解（证）不等式f\x）＞0（或/,（x）＜0）.

2.利月导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函

数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式.常见构造的辅助函数有：g（x）=.嗔x）,对工）=/1»,以刈=

x

。7（工），g（M=，（），半无）=/（x）lnx,g（x）='\，等•

eInx

3.温馨提醒：

（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.

（2）单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.

（3）所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“U”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔

开.

考向四由函数的单调性求参数取值范围

■■MB■■W■■MB■•■■MM.■■■MB■•■■■

【核心知识】

（1）可导函数在区间仅，刀上单调，实际上就是在该区间上/（工巨0（或/（x）WO）恒成立，得到关于参数的不等式，从

而转化为求函数的最值问题，求参数的取值范围；

（2）可导函数在区间（外份上存在单调区间，实际上就是/a）＞o（或/a）vo）在该区间上存在解集，即了（.）嬴＞0（或

/（X）mm＜0）在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求参数的取值范围.

【典例分析】

典例10.（2022・上海市进才中学高三期中）已知/（力=212—G+1M在区间（1,+8）上单调递增，则实数a的取值

范围是.

【答案】（-5].

【分析】求导后得到4--如+120在xc(l,+oo)上恒成立，参变分离后得到。K4X+-在xe(l,+co)上恒成立,

X

利用导函数求出4x+->5,从而求出实数。的取值范围.

X

【详解】/。)=4'一+1=4——G+1,XG(1,+OO),

XX

故只需4x?-ax+1NO在xw(l,+0°)上恒成立，

贝ijlx+g在—)上恒成立，

其中y，=4-[="二>0在X«L+8)上恒成立，

XX

故4x4—>5,所以a«5,

x

故答案为：(F,5].

典例11.(2022•陕西・蒲城县蒲城中学高三阶段练习(理))已知函数/(x)=(l-x)lnx+ax在(1,+8)上不单调,

则。的取值范围是.

【答案】(0,十。)

【分析】结合函数的导数讨论单调性，确定函数在(1，+8)上既有增区间又有减区间即可求解.

1_r1

【详解】由题可知，/'(切=一加+—+。=一一lnx+a-1,

xx

令g(x)=，_]n4+4-1，号'(4)=__y--=-(-V+-)»

xxxXX

因为所以g'a”o,则g(x)在a”)单调递减，

所以g(x)<g(l)=。，

若a40,则g(x)<0恒成立，即/'(力<0恒成立，

则函数/(x)在(1，m)上单调递减，不满足题意；

若a>0,则g⑴=a>0,

因为g(e")=4•-111/+4-1=4•-1,6/>0,ea>1,

ee

所以g(c“)=L-lvO,

e

所以由零点的唯一性定理可知，g(i)在(l,e")必定存在唯一的零点记为•％,

所以当xe(l,x0)时g(x)>0,即f\x)>0,

%€(%,+<»)时g(x)<0,即/'(%)<0,

所以〃X）在（l/o）时单调递增，（%,口）时单调递减，满足题意；

综上得a€（0,+<»）,

故答案为：（0,+8）.

典例12.（2019•北京•高考真题（理））设函数/（X）=ex+qex（a为常数）.若/（%）为奇函数，则

若/5）是R上的增函数，则a的取值范围是.

【答案】-I;（-oo,0］.

【分析】首先由奇函数的定义得到关于。的恒等式，据此可得。的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值

范围.

［详解】若函数/（X）=-+",为奇函数，则/（t）=-/（x）,"*+a=-（/+aC）,

（a+l）（ev+e-x）=0对任意的x恒成立.

若函数〃力=，+欣7是R上的增函数，则/"）二d-。120恒成立,。4/*,440.

即实数〃的取值范围是（-应。］

【总结提升】

1.利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.应用条件f\x）20（或

/,«<0）,xe（a力）恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成汇的理论求解），应注意参数的取

值范围是/''（x）不恒等于0的参数的取值范围.

2.可寻函数在区间（a,b）上存在单调区间，实际上就是F（x）>0（或/（x）VO）在该区间上存在解集，从而转

化为不等式问题，求出参数的取值范围.再验证参数取“=”时f（x）是否满足题意.

3.若已知f（x）在区间/上的单调性，区间/上含有参数时，可先求出Ax）的单调区间，令/是其单调区间的了

集，从而求出参数的取值范围.

4.函数y=f（x）在（。/）上不单调，则转化为f\x）=0在（。/）上有解.

5.特别提醒:

（1）弄清参数对f'（x）符号的影响，分类讨论要不重不漏.

（2）已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.

考向五利用导数研究函数的极值、最值

【核心知识】

1.导数与极值、最值

⑴函数/（X）在刈处的导数/（xo）=O且/（X）在X0附近“左正右负”U次X）在X0处取极大值；函数/（X）在X0处的导数/（Xo）

=0且/（X）在x0附近“左负右正”=危）在%0处取极小值.

（2）函数人工）在一闭区间上的最大值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最大者”；函数人工）在

一闭区间上的最小值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最小者”.

2.求函数/*）在口，切上的最大值利最小值的步骤

（1）求函数在（a,与内的极值.

（2）求函数在区间端点处的函数值/匕），4方）.

（3）将函数/（4）的各极值与/（〃），/（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

【典例分析】

典例13.【多选题】（2022•全国•高考真题）已知函数/（幻=$皿2》+0（0＜。＜兀）的图像关于点弓,0中心对称,

贝U（）

A.〃x）在区间单调递减

1]]、

B.〃外在区间一白，舌有两个极值点

7兀

C.直线X是曲线y=/（x）的对称轴

D.直线），=#-.丫是曲线、=/'*）的切线

【答案】AD

【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出.

【详解】由题意得：fT=sinT+w=0,所以*+。=桁，kwZ,

4兀

即°=——+Ait,keZ,

3

又0＜0＜兀，所以％=2时，8=与，故/（x）=sin（2x+^）.

对A,当X£（O,总时，2x+yejy,yj,由正弦函数N=sin〃图象知），="X）在（o,总上是单调递减;

对B,当耳|时，+仔片），由正弦函数尸sin”图象知y=/（x）只有1个极值点，由

2x+^=],解得.“泮即为函数的唯一极值点；

JN1ZIZ

对C,当X==时，2x+?=3兀，/（?）=0,直线X=?不是对称轴；

6366

..■〜，兀.A/兀

对D,由y=2cos2x+—=T得：cos2x+—=

(3JI3,J2

解得2x+/=/+2E或2x+g考+2E,%wZ,

7J

从而得：x=履或x=；+而,kwZ,

所以函数y=/(x)在点0,处的切线斜率为〃=14=。=2cosy=-l

切线方程为：=-(X—。)即y=~^~~x,

故选：AD.

典例14,(2019•全国•高考真题(文))已知函数/(%)=2/-尔+2

(1)讨论/J)的单调性：

(2)当0v“v3时，记/(X)在区间［。,1］的最大值为M,最小值为7，求的取值范围.

Q

【答案】(1)见详解；(2)%,2).

【分析】(I)先求/J)的导数，再根据。的范围分情况讨论函数单调性；(2)讨论。的范围，利用函数单调性进行

最大值和最小值的判断，最终求得M-制的取值范围.

22

【详解】⑴对/(x)=2?-ax+2求导得尸(x)=6x-2QX=6x(、-》所以有

当a<0时，(,q)区间上单调递增.0,0)区间上单调递减，0YO)区间上单调递增；

当。=0时，(-%+功区间上单调递增；

当。>0时，(-8,0)区间上单调递增，(0,§区间上单调递减，(£,+8)区间上单调递增.

Q)

若0<4«2,/(X)在区间(0,§单调递减，在区间q,l)单调递增，所以区间［0,1］上最小值为/(今.而

/(0)=2,/(l)=2-a+2>/(0),故所以区间［0,1］上最大值为/(I).

所以=/(|)-/(-)=(4-a)-［2(-)3-a(-)2+2］=—-a+2,设函数目(〃)=三-1+2,求导gQ:)=二一1当

D3327279

R43Q

0<xW2时g'(x)v0从而g(x)单调递减.而0<小2,所以且4幺-〃+2<2.即必-用的取值范围是。,2).

272727

若2<"3,〃x)在区间(0片)单调递减，在区间($1)单调递增，所以区间［0内上最小值为了(§而

/(0)=2,/(1)=2-«4-2</(0),故所以区间［0,1］上最大值为/(0).

所以=/（O）-/（j）=2-[2（^）5-a（^）2+21=»而2<a<3,所以，<券<1.即M-机的取值范围是

（―,1）.

27

Q

综上得M-m的取值范围是[五,2）.

【特别提醒】

1.不能忽略函数"X）的定义域.

2./'（%）=0是可导函数/（x）在工=/处取得极值的必要不充分条件.

3.函数的极小值不一定比极大值小.

4.若函数在区间5力）上有唯一的极值点，则这个极值点也是最值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.

考向六函数的极（最）值相关参数问题

【核心知识】

由函数极值（个数）求参数的值或范围.

讨论极值点有无（个数）问题，转化为讨论F5）=0根的有无（个数）.然后由已知条件列出方程或不等式求出

参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数

是否异号.

【典例分析】

典例15.（2021・全国•高考真题（理））设4=0,若x=〃为函数/（x）=q（x（x-5）的极大值点，则（）

A.a<bB.a>bC.ab<a1D.ab>a~

【答案】D

【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对。进行分类讨

论，画出/（X）图象，即可得到。力所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若则=为单调函数，无极值点，不符合题意，故小b.

•••/卜）有x=a和x=b两个不同零点，且在x=i左右附近是不变号，在x=6左右附近是变号的.依题意，X=〃

为函数/（X）二"（工—af（K—8）的极大值点，，在x=a左右附近都是小「零的.

当a<0时，由/（x）<0,画出/（x）的图象如卜图所示:

当。>0时，由x>力时、/(x)>0,画出/(•¥)的图象如下图所示:

由图可知b>a,Q>0,故出

综上所述，4b成立.

故选：D

典例16.(2022•广东实验中学高三阶段练习)设awR,若函数y=x+Hnx在区间-,e有极值点，则。取值范

c

围为()

【答案】B

【分析】先对函数求导，根据函数在区间有极值点，转化为导函数有零点，再由零点存在定理列出不等式求解

即可.

【详解】y=l+^(x>0),y为单调函数，所以函数在区间1,e

有极值点，即<0,代入解得

(l+ae)^H--J<0<=>6/24-^e+—ja+l<0<=>(^+e)a+—<0,

解得口取值范围为-eyv-J,

c

故选：B.

典例17.(2022•全国•高考真题(理))已知x=M和工=々分别是函数/G)=2a'-ex2(〃>0且"1)的极小值

点和极大值点.若再<X2，则〃的取值范围是.

【答案】gl)

【分析】法一：依题可知，方程21nq•优-2ex=0的两个根为西小，即函数y=Inas'与函数V=ex的图象有

两个不同的交点，构造函数g(x)=lna・a1利用指数函数的图象司图象变换得到g(x)的图象，利用导数的几

何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.

【详解】|方法一|：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的文点

因为/'(%)=211144,-2€,丫，所以方程21nqaJ2ex=0的两个根为玉，与，

即方程］naax=ex的两个根为演，々，

即函数y=Inas"与函数N=ex的图象有两个不同的交点，

因为小々分别是函数/a)=2a、-ed的极小值点和极大值点，

所以函数/(X)在(-8,王)和伍,+8)上递减，在(外,占)上递增，

所以当时(Y0)(马,”)，/'(x)<0,即丁二。》图象在y=lna•/上方

当xe(N，z)时，/«》)>(),即^=。工图象在y=lna-a'下方

«>1,图象显然不符合题意，所以0<a<1.

令g(x)=Ina-ax,则g'(x)=In2a•〃',()<a<1,

设过原点且与函数N=g(x)的图象相切的直线的切点为(xoJnod)

则切线的斜率为g'(%)=ln%・a%,故切线方程为J-Inaa”=hfa-a”(x-x(J,

则有-In4・*=-Xoln2ad。，解得5=白，则切线的斜率为而外〃*=e"。，

因为函数y=Ina•，与函数》=ex的图象有两个不同的交点,

综上所述，〃的取值范围为(/.

［方法二］:【通性通法】构造新函数，二次求导

/'(X)=2】nas'-2eX-0的两个根为玉,占

因为用，/分别是函数/(x)=2a、-e.d的极小值点和极大值点，

所以函数/(X)在(-%西)和(卬+8)上递减，在(M，/)上递增，

设函数g(x)=/'(x)=2(o'Ina-ex),则g*(x)=2ax(\na)2-2e,

若"1,则g'(x)在R上单调递增，此时若戈(%)=0,则/'(x