高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.2 函数的基本性质教案

第第页高中数学人教A版(2019)必修第一册第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质教案备课时间年月日第周课时主备人执教人教学课题课型教材分析一、教材分析。本节是人教A版必修第一册第三章核心内容，主要学习函数的单调性、奇偶性及最值。是在学生掌握函数概念与表示方法基础上，从形与数两个维度探究函数的基本性质，为后续研究具体函数（如二次、指数函数）及解决函数应用问题奠定理论基础。教材通过实例观察、图像分析引导学生抽象定义，注重几何直观与代数推理的结合，符合学生认知规律，是培养数学抽象与逻辑推理能力的重要载体。核心素养目标分析二、核心素养目标分析。通过函数单调性、奇偶性的抽象概括，发展数学抽象素养；借助图像分析性质特征，提升直观想象能力；运用定义证明函数性质，强化逻辑推理意识；解决函数最值问题，培养数学运算与数学建模素养。学习者分析三、学习者分析。学生已掌握函数的概念、表示方法及基本初等函数图像，具备初步的代数运算和图像观察能力。高一学生思维活跃，对动态演示、图像探究兴趣浓厚，偏好直观与逻辑结合的学习方式，但抽象概括能力和严谨代数证明能力仍待提升。可能面临困难：从具体图像抽象出单调性、奇偶性定义时存在认知跳跃；运用定义证明性质时逻辑链条不完整；解决复合函数或分段函数性质问题时综合分析能力不足；将实际问题抽象为函数性质分析时建模能力薄弱。教学资源-软硬件资源：计算机、投影仪、图形计算器、实物投影仪。

-课程平台：学校学习管理系统。

-信息化资源：GeoGebra软件、Desmos在线工具、教学视频。

-教学手段：黑板、粉笔、小组讨论、实验活动。教学过程设计**1.导入新课（5分钟）**

目标：通过生活实例引发学生对函数性质的好奇心，激发探究欲望。

过程：

-开场提问：“同学们，观察一天中气温的变化曲线，或商场促销活动的折扣阶梯，这些现象背后隐藏着怎样的数学规律？”

-展示动态图像：用GeoGebra演示一次函数、二次函数的图像变化，引导学生观察图像的“上升”“下降”趋势及对称性。

-简述函数性质的重要性：“函数的单调性、奇偶性是刻画变化规律的核心工具，今天我们将从‘形’与‘数’两个维度揭开它的面纱。”

**2.函数基本性质基础知识讲解（10分钟）**

目标：掌握单调性、奇偶性的定义及几何意义。

过程：

-**定义解析**：

-单调性：强调“任意”和“恒”关键词，结合图像说明“增函数”“减函数”的区间划分。

-奇偶性：通过对比\(f(-x)\)与\(f(x)\)的关系，明确“对称性”的本质。

-**数形结合**：

-板书定义与图像特征对应表（如：增函数↗图像、奇函数关于原点对称）。

-实例：以\(f(x)=x^2\)为例，代数验证\(f(-x)=f(x)\)，图像展示对称性。

-**应用铺垫**：提问：“如何判断函数\(y=2x+1\)在\((-\infty,+\infty)\)的单调性？”引出定义证明思路。

**3.典型案例分析（20分钟）**

目标：通过分层案例深化对性质的理解，培养分析能力。

过程：

-**案例1：一次函数\(y=kx+b\)（基础层）**

-引导学生分组计算：取\(x_1<x_2\)，比较\(f(x_1)\)与\(f(x_2)\)的大小，归纳\(k>0\)时增函数、\(k<0\)时减函数。

-几何验证：观察不同斜率的直线图像，强化“斜率决定单调性”的认知。

-**案例2：二次函数\(y=x^2\)（重点层）**

-动态演示：拖动参数\(a\)，观察开口方向与对称轴变化，归纳顶点处取得最值。

-代数突破：证明\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上为增函数，强调定义法证明步骤（作差→变形→定号）。

-**案例3：分段函数\(f(x)=\begin{cases}x^2,&x\geq0\\-x,&x<0\end{cases}\)（挑战层）**

-分段讨论：分析每段单调性及分段点\(x=0\)处的连续性。

-拓展思考：该函数是否具有奇偶性？引导学生发现\(f(-x)\neqf(x)\)且\(f(-x)\neq-f(x)\)，深化对“整体性”的理解。

**4.学生小组讨论（10分钟）**

目标：通过合作探究，提升应用性质解决实际问题的能力。

过程：

-**分组任务**：每组选择一个主题深入讨论：

-A组：设计一个具有奇偶性的函数模型，描述其应用场景（如对称结构设计）。

-B组：分析函数\(y=|x-1|+|x+2|\)的单调性，并求最小值。

-C组：探究“函数单调性在优化问题中的价值”（如利润最大化）。

-**讨论要求**：

-结合定义和图像分析，形成结论性观点。

-记录关键步骤与争议点，准备展示。

**5.课堂展示与点评（15分钟）**

目标：锻炼表达与思辨能力，深化对性质的综合理解。

过程：

-**小组展示**：

-A组展示对称函数模型，提出“利用奇函数性质简化工程计算”的方案。

-B组通过分段讨论，得出函数在\([-2,1]\)上递减、在\([1,+\infty)\)上递增，最小值为3。

-C组举例“生产成本随产量变化”的单调性分析，强调定义域的重要性。

-**师生互评**：

-教师点评：肯定B组“数形结合”的解题思路，指出C组需注意实际定义域限制。

-学生提问：针对A组“函数定义域必须关于原点对称”的结论展开辩论。

**6.课堂小结（5分钟）**

目标：系统梳理知识，强化核心素养。

过程：

-**知识回顾**：

-单调性：定义法、图像法、导数法（后续延伸）；奇偶性：对称性、整体性。

-强调“形→数”转化：图像观察→抽象定义→严谨证明。

-**价值升华**：“函数性质是描述变化规律的通用语言，从物理运动到经济预测，都离不开对‘变’与‘不变’的数学刻画。”

-**作业布置**：

-基础层：用定义证明\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上为减函数。

-拓展层：设计一个具有特定单调性和奇偶性的函数，并解释其现实意义。

**设计说明**

-**时间控制**：总时长65分钟，严格按环节分配时间，预留弹性应对生成性问题。

-**技术融合**：GeoGebra动态演示贯穿始终，突破“静态图像”的局限性。

-**分层教学**：案例由易到难，小组任务兼顾基础与挑战，实现“因材施教”。

-**素养落地**：通过定义证明强化逻辑推理，案例分析渗透数学建模，小组讨论培养合作能力。知识点梳理1.函数的单调性

（1）定义：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I。如果对于区间D内任意两个数x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在区间D上为增函数；如果都有f(x1)>f(x2)，那么f(x)在区间D上为减函数。

（2）单调区间：函数的单调性是针对某个区间而言的，函数的单调区间是其定义域的子集。例如，f(x)=x²在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。

（3）判断方法：

①定义法：取值（设x1<x2）、作差（f(x1)-f(x2)）、变形（因式分解、配方等）、定号（判断差值的符号）、下结论。

②图像法：观察函数图像在某个区间内是上升还是下降，上升则为增函数，下降则为减函数。

（4）应用：比较函数值大小（如利用单调性比较log₂3与log₂5的大小）、解不等式（如f(x1)<f(x2)⇒x1<x2，若f在区间上单调递增）、求参数范围（如函数f(x)=ax²+2x+1在(0,+∞)上单调递增，求a的取值范围）。

2.函数的奇偶性

（1）定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于任意x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数；如果f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数。如果都不满足，则f(x)为非奇非偶函数。

（2）图像特征：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。反之，若函数图像关于原点对称，则为奇函数；关于y轴对称，则为偶函数。

（3）判断步骤：

①先求函数定义域，判断是否关于原点对称；若不关于原点对称，则必为非奇非偶函数。

②再计算f(-x)，与f(x)比较：若f(-x)=-f(x)，则为奇函数；若f(-x)=f(x)，则为偶函数；若两者都不满足，则为非奇非偶函数。

（4）性质：

①奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同（如f(x)=x³在R上单调递增，则f(-x)=-x³在R上也单调递增）；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（如f(x)=x²在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增）。

②若f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0（定义域关于原点对称）。

（5）应用：简化求值（如已知f(x)为奇函数，且f(2)=3，则f(-2)=-3）、解析式求参数（如f(x)=ax³+bx+1为奇函数，求a、b的值）、绘制函数图像（利用对称性，先画一半，再对称得到另一半）。

3.函数的最值

（1）定义：设函数f(x)的定义域为I，如果存在x0∈I，使得对于任意x∈I，都有f(x)≤f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的最大值；如果存在x0∈I，使得对于任意x∈I，都有f(x)≥f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的最小值。

（2）求法：

①图像法：观察函数图像的最高点或最低点对应的函数值。

②定义法：通过代数变形或利用函数性质（如单调性、不等式）直接求解。

③单调性法：先求函数的单调区间，再结合区间端点值求最值（如f(x)=x²-2x+3在[-1,2]上的最小值，先求对称轴x=1，再比较f(-1)、f(1)、f(2)）。

（3）常见类型：

①闭区间上连续函数的最值：如二次函数在闭区间上的最值，需讨论对称轴与区间的位置关系。

②分段函数的最值：分别求每一段的最值，再比较所有段的最值。

（4）应用：实际问题中的最优化问题（如利润最大、成本最低、面积最大等），需先建立函数模型，再求函数最值。

4.函数性质的综合应用

（1）单调性与奇偶性结合：

①求函数值域：利用单调性和奇偶性确定函数在定义域上的取值范围。

②解不等式：结合单调性和奇偶性将不等式转化为简单的代数不等式（如解f(x²-1)<f(2x)，需先判断f的单调性和奇偶性）。

（2）单调性与最值结合：

①求参数范围：利用单调性求最值，进而建立关于参数的不等式（如f(x)=x²-2ax+1在[1,2]上单调递增，求a的取值范围）。

②证明不等式：利用函数单调性比较大小，证明不等式成立。

（3）奇偶性与最值结合：

①求函数最值：利用奇偶性将问题转化为非负区间上的最值问题（如f(x)为偶函数，求f(x)在[-3,3]上的最值，可转化为求f(x)在[0,3]上的最值）。

（4）综合应用题：

①函数模型构建：结合实际问题背景（如增长率、成本变化、运动轨迹），建立函数关系式，利用函数性质求解实际问题。

②函数图像分析：通过函数图像的单调性、奇偶性、最值等特征，分析函数的性质，解决相关问题。

5.易错点与注意事项

（1）单调性：

①单调性是针对区间而言的，不能说函数在某点单调；单调区间必须是连续的区间，不能用“或”连接（如不能说f(x)=1/x在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减，而应分别说在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减）。

②用定义法证明单调性时，作差后的变形要彻底，确保能准确判断差值的符号。

（2）奇偶性：

①忽略定义域关于原点对称的前提条件，导致判断错误。

②混淆f(-x)与f(x)的关系，如将f(-x)=-f(x)写成f(-x)=f(x)。

（3）最值：

①区分“最值”与“极值”：最值是整个定义域或给定区间内的最大（小）值，极值是局部概念。

②求闭区间上函数最值时，容易忽略端点值的比较。

（4）综合应用：

①忽视函数的定义域，导致解题范围扩大或缩小。

②在解不等式时，未考虑函数的单调性和奇偶性，直接去掉函数符号，导致错误。【教学反思】这节课下来，学生基本掌握了函数单调性和奇偶性的定义，但定义法证明的逻辑严谨性仍有提升空间。课堂上用GeoGebra动态演示图像变化时，学生兴趣浓厚，但部分同学过度依赖观察，对代数变形的推导过程不够专注，特别是作差法中的符号判断容易卡壳。小组讨论时，B组分析分段函数单调性时暴露出对定义域连续性的忽视，这提醒我后续需强化区间端点的讨论。奇偶性判断中，定义域对称性这一前置条件被学生跳过，导致非奇非偶函数的案例出错率较高。最值求解时，二次函数闭区间问题能结合对称轴分析，但涉及参数范围时容易混淆“端点值”与“极值”的取舍。整体来看，数形结合的思想渗透较好，但代数推理的严谨性训练需加强，下节课可增加反例辨析环节，重点突破定义域和证明步骤的规范性。【内容逻辑关系】八、内容逻辑关系

①单调性定义与判断

重点知识点：任意、恒、区间

关键词：增函数、减函数、单调区间

重点词句：“对于区间D内任意x1<x2，恒有f(x1)<f(x2)”；“单调性是针对区间而言的”

②奇偶性本质与特征

重点知识点：定义域对称、f(-x)关系

关键词：奇函数、偶函数、对称性

重点词句：“定义域关于原点对称”是前提；“f(-x)=-f(x)”为奇函数，“f(-x)=f(x)”为偶函数

③最值求解与性质应用

重点知识点：最值定义、单调性结合

关键词：最大值、最小值、闭区间

重点词句：“存在x0使f(x)≤f(x0)”；“利用单调性求闭区间最值需比较端点值”【重点题型整理】1.**单调性证明题**

题目：用定义证明函数\(f(x)=x^3+1\)在\(\mathbb{R}\)上单调递增。

答案：设\(x_1<x_2\)，则

\[

f(x_2)-f(x_1)=(x_2^3+1)-(x_1^3+1)=x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2).

\]

因\(x_2-x_1>0\)且\(x_1^2+x_1x_2+x_2^2>0\)，故\(f(x_2)>f(x_1)\)，得证。

2.**奇偶性判断与参数求解**

题目：已知函数\(f(x)=\frac{ax+b}{x^2+1}\)是奇函数，且\(f(1)=2\)，求\(a,b\)。

答案：由奇函数定义\(f(-x)=-f(x)\)，得

\[

\frac{-ax+b}{x^2+1}=-\frac{ax+b}{x^2+1}\implies-ax+b=-ax-b\impliesb=0.

\]

代入\(f(1)=\frac{a}{2}=2\)，解得\(a=4\)。

3.**单调区间与参数范围**

题目：若函数\(f(x)=x^2-2ax+3\)在\([1,+\infty)\)上单调递增，求\(a\)的取值范围。

答案：对称轴\(x=a\)，要求\(a\leq1\)，故\(a\in(-\infty,1]\)。

4.**最值求解**

题目：求函数\(f(x)=|x-1|+|x+2|\)的最小值。

答案：分段讨论：

-当\(